江蘇省常熟市商城小學 邵月芳
小學階段,學生的思維處于具體形象思維向抽象思維過渡的重要階段,但形象思維仍占主導地位。在現(xiàn)行修訂的蘇教版教材中,我們也不難發(fā)現(xiàn),各種實物圖、各式圖形及簡約符號等隨處可見,直觀性強成為本套教材的一大亮點?!靶巍迸c“數(shù)”形影不離,成為數(shù)學的兩塊大基石。再來看看《義務教育數(shù)學課程標準(2011 年版)》,幾何直觀作為十大核心概念之一,充分體現(xiàn)了幾何直觀的價值。在教學中,教師應該充分利用幾何直觀的優(yōu)勢,通過想象、推理、比較等培養(yǎng)學生空間想象能力,直覺洞察能力,和主動使用圖形的意識和習慣,從而提高問題探究的興趣,有效理解概念本質(zhì),加強數(shù)量關系的內(nèi)化,促進學生數(shù)學思維水平的提升。
愛因斯坦說過:“想象力比知識更重要,因為知識是有限的,想象力概括著世界上的一切,推動著進步,并且它是進化的源泉。嚴格地說,想象力是科學研究中的實在因素。”通過直觀的圖形開展想象,可以大大提高學生研究問題的興趣。
在進行六年級“平面圖形總復習”一課的教學時,我設計了“回憶再現(xiàn)來溫故”“系統(tǒng)梳理悟轉(zhuǎn)化”“應用拓展促知新”和“反思總結(jié)談收獲”四個復習板塊。在第二板塊中,為了加深對轉(zhuǎn)化思想魅力的體悟,我講述了從前一個部落只有梯形面積計算公式的故事情境,啟發(fā)學生思考如何求其他圖形的面積。我還借助幾何畫板出示一個可以動態(tài)拉動的梯形,讓學生發(fā)揮想象。隨后通過動態(tài)演示,直觀獲得變化形成的三角形、平行四邊形、長方形。之后,我又引導學生根據(jù)梯形面積公式逐一得到這三種圖形的面積計算方法。學生從中體會到了這種“特殊的轉(zhuǎn)化”的奇特之處。在這個故事結(jié)束時,我又巧妙地拋出了這樣的問題:“此時,你對梯形面積公式有什么新的認識?你想對梯形說什么?”學生此時不禁說出:“太神奇了,這樣看來,我們之前的平面圖形面積之間的關系圖不是可以改一改了,改成用梯形推導出其他圖形的面積?!?/p>
穿梭于圖形和文字之間,幾何直觀發(fā)揮著重要的作用。老師應該利用圖形引導學生進行數(shù)學思考、想象,并獲得數(shù)學結(jié)論或新的猜測。
接著“平面圖形總復習”一課的教學,在“應用拓展促知新”板塊中,我又一次借助幾何直觀的魅力,讓孩子們進行大膽猜測,發(fā)揮想象,將轉(zhuǎn)化思想推到了新的高度。我設計了如下求橢圓面積的問題。
這個問題看似有拔高要求之嫌疑,但是我想說,本課教學目標的達成,很大程度是要看學生對“轉(zhuǎn)化”經(jīng)驗的自覺調(diào)用和自我提升。實際教學中,當我提出“你有辦法求出橢圓的面積嗎?”這個問題后,一部分學生很自然地就想到數(shù)格子的方法,也有一部分學生提出要轉(zhuǎn)化來求,但思維受到一定阻礙,沒法實現(xiàn)成功轉(zhuǎn)化。此時,我有意識地引導學生聯(lián)想:“橢圓的面積計算,你覺得可能和哪個圖形的面積計算最相似?”學生自然聯(lián)想到圓形。我繼續(xù)引導學生觀察:“圓的面積公式中半徑的平方表示什么?”喚起學生對圓中半徑為邊長的正方形的再現(xiàn),從而歸納出:其實圓的面積是這個正方形面積的π 倍。順勢,我就引導學生聯(lián)想:“橢圓中是不是也有這樣相似的情況呢?”當場,就有一個男孩子興奮地說出了他的大膽猜測,這是學生經(jīng)歷的第二次“思維風暴”。此時,“轉(zhuǎn)化”思想或者說經(jīng)驗已經(jīng)深入學生內(nèi)心,很多孩子品嘗到了轉(zhuǎn)化的甜頭,我的設計也因此順利達到了預設的目標。
數(shù)學教學的核心是促進學生思維的發(fā)展。教學中,教師要全面通過幾何直觀的數(shù)學思維過程,啟迪和發(fā)展學生思維。而在小學數(shù)學教學體系中,概念教學作為數(shù)學知識體系的基本構(gòu)成單位,是“四基”教學的核心內(nèi)容,是進行邏輯思維的第一要素。為此,在概念教學中,嘗試通過展開推理,借助已有直觀經(jīng)驗,可以幫助活化概念本質(zhì)的理解。
例如教學“認識負數(shù)”時,在綜合練習部分,通過設計“我來當裁判”的實際運用,來考查學生對負數(shù)這一概念本質(zhì)的理解。
師:學校對四年級男生進行了雙飛跳繩測試,達標成績?yōu)?0 個。(出示統(tǒng)計圖,依次出示幾位同學成績的記錄。)
師:李斌的成績記作-4。你覺得他達標了嗎?
生:沒有。
師:為什么?
生:因為他比達標成績少了4 個。(結(jié)合學生回答條形圖演示比達標個數(shù)少4 個)
師:那陳軍達標了嗎?(教師指著表格中的5 問,此時意見不統(tǒng)一,舉手表決)
師:現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種不同的觀點,怎么辦?同桌先討論一下。
師:現(xiàn)在請雙方各派一名代表來闡述一下你的理由。
生1:我方認為陳軍沒有達標,因為5 小于10。
生2:我方認為陳軍達標了。這個5 是記作5,它表示比10 個還多5 個。
生3:我再來補充一下,這個5是+5 的意思,因為正數(shù)前面的正號可以省略。
師:現(xiàn)在你們同意他們的觀點嗎?陳軍實際跳了幾個?(詢問后,條形圖演示比達標個數(shù)多5 個)
師:張華的成績記作什么?
生:記作0。因為他的成績正好達標。(結(jié)合學生回答條形圖演示記作0)
師:三位同學的成績分別記作-4,5,0,體育老師為什么這么記?
小結(jié):可以清楚地看出和達標成績的差距。
在上述這個練習設計中,教師巧妙地將條形統(tǒng)計圖作為幾何直觀的圖形,輔助學生進行推理和思維,牢牢扣住標準個數(shù),圖中用紅色的虛線標注十分醒目,突出了負數(shù)概念中關于“標準0”這一本質(zhì)特征。在此,利用數(shù)形結(jié)合,幫助學生深化對負數(shù)的認識,而且也巧妙地為下節(jié)課進一步研究負數(shù)做好了準備。
數(shù)量關系具有高度的抽象性,是具體情境中概括出來的。徐利治先生提出:幾何直觀是借助見到的或想到的幾何圖形的形象關系產(chǎn)生對數(shù)量關系的直接感知。利用幾何圖形的直觀對問題中的關系和結(jié)構(gòu)進行表述,幫助學生分析問題和解決問題!這是一種非常重要的策略。
常見的數(shù)量關系是過去小學數(shù)學教學的一個重要內(nèi)容,修訂教材對此項內(nèi)容引起高度重視。在“常見的數(shù)量關系”一課教學時,原本教材只是靜態(tài)地呈現(xiàn)了兩組數(shù)量關系的例題,我對此進行了改造,充分挖掘?qū)W生購物素材,采擷生活中的數(shù)學原型。本課中的單價標簽和購物小票等(如下圖所示),把數(shù)學學習置身于生動有趣的活動中,讓學生感受到數(shù)學有趣、有用、好學。特別是借助購物小票中幾種商品的單價、數(shù)量和總價三欄信息,通過引導學生自主交流,發(fā)現(xiàn)小票中所蘊含的豐富的信息和數(shù)量關系,并通過數(shù)形結(jié)合,讓學生聯(lián)系線段圖初步理解其中隱含的數(shù)量關系。在學生掌握了單價、數(shù)量和總價之間的乘法數(shù)量關系后,我安排了“去哪家買果汁便宜”的購物情境,一方面讓學生用乘除法之間的運算經(jīng)驗掌握求單價的數(shù)量關系,另一方面巧妙地從單價“元/瓶”的聚焦,讓學生萌生“為什么單價的單位要用復合單位”的疑問,在學生提出問題后,教師巧妙借助多媒體動態(tài)演示將“元/瓶”中的“/”變化成“÷”的過程,讓學生形象理解其中隱藏的數(shù)量關系,實現(xiàn)幾何直觀一箭雙雕的作用!
借助幾何直觀把抽象的數(shù)量關系用畫圖的形式表達出來,是“去情境化”的過程,是一個數(shù)學建模的過程。它把情境中的數(shù)量關系進行提煉,并且直觀表達,然后運用這個數(shù)學模型解決類似的問題,形象思維由圖形帶來的直覺,增進學生對數(shù)學的理解,增強其創(chuàng)造能力?;橄鬄橹庇^,化內(nèi)隱為外顯,教師依托幾何直觀的方法從冗長的、大量的問題情境中剝離出共同的數(shù)量關系,從而讓學生聚焦目光、聚焦問題、聚焦思維,從而數(shù)學化地解決問題,提高課堂教學效率。