夏順友，王常春，陳治友，汪少祖，劉益波

(1.貴州師范學院數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，貴州 貴陽 550018；2. 遵義師范學院數(shù)學學院，貴州 遵義 563006；3.貴陽學院數(shù)學與信息科學學院，貴州 貴陽 550005)

0 引言

解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)學理論，是培養(yǎng)六大數(shù)學核心素養(yǎng)(數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析)的重要內容之一。高中數(shù)學的解析幾何內容主要以五種曲線(直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線)的定義(滿足某種性質的動點集合)、代數(shù)形式(各種形式的方程表示)、性質(利用方程中系數(shù)特征進行分析)以及各種曲線之間關系(利用方程系數(shù)或方程組解情況研究)作為核心研究內容。但是由于該部分內容關鍵是從幾何到代數(shù)的方程(組)建立和由方程來確定幾何性質、幾何關系等，需要較強的數(shù)形結合思維，因此是高中數(shù)學學習難題之一。

高中解析幾何所包含的基本知識涵蓋五種曲線的定義表述、方程表述、性質特征，以及直線、圓與圓錐曲線綜合問題。另外還涉及五種曲線的極坐標和參數(shù)方程。在綜合考核中該部分內容常與平面幾何、函數(shù)、三角函數(shù)等知識內容、思想方法結合考查，增加了難度。

下面先簡述解析幾何的核心知識，然后給出2019年12月貴州省高中數(shù)學畢業(yè)會考數(shù)學第43題(解析幾何綜合題)的多種解法，接下來提出關于解析幾何教學的幾點建議。

1 解析幾何的核心知識概要

1.1 直線的核心知識

直線的核心知識包括：直線的傾斜角、斜率概念、范圍，斜率計算公式，以及兩者對應關系，要注意的特殊情形；直線的點斜式方程、一般式方程、斜截式方程、兩點式方程和截距式方程以及參數(shù)方程、極坐標方程；兩直線平行、垂直的關系判定及其逆問題；點到直線距離、相交直線夾角和平行線間距離計算公式；直線族問題等。

注：確定直線一般需要兩個獨立條件。如已知其過已知點加上斜率兩個條件等；特殊直線：垂直于坐標軸、過原點的特征。

1.2 圓的核心知識

圓的核心知識包括：圓的定義、圓的標準方程與一般方程。確定圓的關鍵是圓心與半徑;直線與圓、圓與圓的關系以及德爾塔方法，圓心與直線距離及圓心與圓心之間的距離同半徑關系判定方法;另外是圓的參數(shù)方程和極坐標方程。

注：解題中要特別注意圓的一些幾何特征，如垂徑定理等等。還要注意恰當方程的選取。

1.3 圓錐曲線的核心知識

圓錐曲線的核心知識包括：圓錐曲線的第一、二定義，標準方程、一般方程、極坐標方程和參數(shù)方程，頂點、焦點，準線、漸近線，長短軸、實虛軸，切線、割線，切線長、弦長，中點弦、焦點弦等問題。

注：確定方程需要兩個獨立條件(拋物線僅一個)。切線問題對圓、橢圓與雙曲線、拋物線差別(封閉曲線的切線的特殊性)。割線與弦長、中點弦和焦點弦特征和一般計算方法及公式。

2 學生答題基本情況和該題的分析及多種解法

2019年貴州省高中數(shù)學畢業(yè)會考第43題是關于解析幾何中直線與圓的方程及直線與圓的關系，并綜合不等式、平面幾何、參數(shù)方程、三角函數(shù)和函數(shù)最值的題目。其題目如下：

本題滿分為10分，(1)與(2)分別為5分和5分?？傇嚲?萬多份，根據(jù)評卷系統(tǒng)的最后統(tǒng)計結果，本題平均得分在包含零分卷時是2.08，如果不包含零分卷時，則平均得分是4.31。具體說來，得分為8分至10分的考生比例是1.5%，而得分為4分至7分的考生比例是26.29%，得分為0.5分至3分的考生比例是16.69%，得分為0分的考生比例是51.79%。這說明考生總體上對基礎知識、基本技能和基本方法掌握得不好，能拿到本題的優(yōu)良分數(shù)的考生不到2%。接近半數(shù)考生雖然能答對問題的(1)部分，但是在準確表達上還不夠嚴謹，并且基本沒有利用直線與圓的平面幾何特征簡潔求解的。特別是問題(2)，絕大部分考生不能求解。還有半數(shù)以上的考生對直線與圓的方程等基本知識沒有掌握。

該題在考核直線與圓的概念、方程及關系的核心知識和方法之外，綜合考核了有約束條件下的函數(shù)的最值問題的建模和求解，考核了學生的綜合分析和解決問題能力，是此次考試中難度最大的題目。

下面先給出該題問題(1)的多種解法。其中解法一是命題者給出的參考解答。

圓心O到直線l的距離為:

注：命題者意圖是直線方程的點斜式，一般式，圓方程的標準式. 直線與圓相切的判定方法.

因此，圓O的方程為x2+y2=4.

注：該法借助幾何性質，比較直接簡單。

解法三：設直線l與圓O交點為C,D(左下右上)，C(x1,y1),D(x2,y2)，則

再設圓O的方程為x2+y2=r2，聯(lián)立直線方程得：

x2+3(x+2)2=r2，即4x2+12x+12-r2=0.

注：該法利用直線與二次曲線截得弦長的一般計算方法并結合幾何特征。

解法四：設直線l與圓O交點為C,D(左下右上)，C(x1,y1),D(x2,y2)，則

再設圓O的方程為x2+y2=r2，聯(lián)立直線方程得：

x2+3(x+2)2=r2，即4x2+12x+12-r2=0.

注：該法利用直線與二次曲線截得弦長的一般計算方法并結合待定系數(shù)法。

下面再給出該題問題(2)的多種解法。其中解法一是命題者給出的參考解答。

解法一：因為點P(x,y)(x≥0)在圓O上，所以

x2+y2=4.

又A(-2,0),B(4,0)，則

|PA|2=(x+2)2+y2=4x+8，

|PB|2=(x-4)2+y2=20-8x.

所以有

令u=8x+16,v=20-8x，則u+v=36.

因為0≤x≤2，所以16≤u≤32,4≤v≤20.

u=24,v=12

注：命題者意圖是考核化歸思想方法和均值不等式求解最值問題。

解法二：因為點P(x,y)(x≥0)在圓O上，所以

x2+y2=4.

又A(-2,0),B(4,0)，則有

|PA|2=(x+2)2+y2=4x+8，

|PB|2=(x-4)2+y2=20-8x.

于是由f′(x)=0得，x=1,x=7.

因為點P(x,y)(x≥0)在圓O上，所以0≤x≤2.

因此x=1是所求最小值點。

注：該法是化歸為函數(shù)最值問題。

|PA|2=(2cosθ+2)2+(2sinθ)2=8(cosθ+1)

|PB|2=(2cosθ-4)2+(2sinθ)2=4(5-4cosθ)所以有

注：該法是利用圓的參數(shù)方程，再化歸所求問題為含三角函數(shù)的函數(shù)的最值問題。

|PA|2=(2cosθ+2)2+(2sinθ)2=8(cosθ+1)

|PB|2=(2cosθ-4)2+(2sinθ)2=4(5-4cosθ)

所以有

令u=16cosθ+16,v=20-16cosθ，則有

u+v=36.

u=24,v=12.

注：該法是利用圓的參數(shù)方程，再把所求問題化歸為均值不等式求最值問題。

雖然題目涉及直線與圓，是解析幾何學習的基礎，但是不能就認為其簡單。因為直線方程的選取可以是幾種形式之一，圓的方程也可以是幾種形式之一，不同選取的組合會產(chǎn)生其它不同解答過程(在此略去)。

另外，在第二問解答中出現(xiàn)一些考生對

連續(xù)作兩次均值不等式，在第二次時斷定PA=PB時取得最小值。盡管結果會正確，但其解法有缺陷。原因是兩次均值不等式取等號的條件不同，僅用第二次取等號得出結論，需要證明沒有逾越第一次均值不等式成立的范圍。

3 關于高中解析幾何教學的幾點建議

高中解析幾何主要內容是將直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線這五種曲線在合適的平面直角坐標系下轉化為二元一次方程(僅直線)或二元二次方程，然后通過研究方程(組)來研究曲線等具有的性質和關系。因為代數(shù)化以后，距離、夾角、面積和平行、垂直、相切以及弦長等問題都可以通過涉及方程系數(shù)的相關計算進行。不僅由于各種曲線的方程表示有幾種情形，導致解決問題在選擇上不一定唯一，從而體現(xiàn)靈活性，而且由于平面幾何中計算和證明問題涉及較多點，如距離、面積和夾角等，從而容易與純幾何、函數(shù)、三角等內容綜合考查。因此是考核綜合分析解決問題能力的重要內容之一。

(1)重視平面幾何的基本知識的幾何集合表述到代數(shù)表述的理解與訓練，增強學生從幾何到代數(shù)的建模思想方法和能力。

建議從平面直角坐標系針對點與有序數(shù)對的一一對應開始使學生建立形與數(shù)的對應方法。 然后針對五種曲線(除直線外)定義出發(fā)建立方程的思想方法。這樣重點培養(yǎng)由形到數(shù)(方程或方程組)的幾何問題之代數(shù)表示思想方法。

(2)在建立曲線的代數(shù)表示(方程)后，強化如何利用方程的系數(shù)研究平行、垂直、相切和相交關系以及距離、夾角、弦長等計算方法與分析能力。

建議以直線和圓的相關內容為該要點的基礎，避免許多教師和學生誤以為此部分屬于比較簡單的知識。然后以圓錐曲線部分為強化與提高。重視思維誤區(qū)點的點撥，一般方法與特殊情況的不同對待，綜合問題的拆分與組合等訓練與強化。

(3)對綜合問題要恰當分類對待，如直線與二次曲線相切、相交中的問題以及分類，以便清楚常規(guī)類型和常規(guī)方法的深刻理解與應用。

建議從直線與圓的三種關系開始，重點突出常規(guī)方法，如德爾塔法和距離法等，強調在方程、方法、關系等選取上的不同會導致各種不同的求解過程，培養(yǎng)發(fā)散的靈活的思維能力。在教授圓錐曲線與直線關系時，先在直線與橢圓的關系和圓與直線的關系的比較上下功夫，再研究雙曲線和拋物線與直線的關系處理的不同和相同之處。在“定”與“變”問題上下苦功夫。具體教學理論、策略和方法等可參考文獻[1-4]。