孫 伏

(陜西理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

在磨削細(xì)長軸時(shí)，由于工件長徑比大，剛性差，在磨削力和夾緊力作用下，工件會(huì)產(chǎn)生變形和振動(dòng)。每次走刀時(shí)，工件在砂輪處的最大讓刀量對工件的直線度、圓柱度等精度起到非常重要的作用，采用中心架輔助支撐，合理設(shè)置中心架的數(shù)量和位置，可以有效地提高支承剛度，減少彎曲變形和振動(dòng)。通常中心架的設(shè)置根據(jù)經(jīng)驗(yàn)調(diào)試，輔助時(shí)間長，成本高，而采用CAE技術(shù)可以方便地分析各種支承設(shè)置下的變形，為工藝設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

當(dāng)中心架數(shù)量選定時(shí)，中心架位置設(shè)置問題是尋求一種方案，使一次走刀的最大讓刀量最小的二層嵌套優(yōu)化問題。ANSYS軟件中的優(yōu)化模塊可實(shí)現(xiàn)參數(shù)有限元優(yōu)化，但對該嵌套優(yōu)化過程，采用交互式，需要人為多次修改中心架位置參數(shù)，逐步篩選，多次求解對比。不能直接實(shí)現(xiàn)嵌套優(yōu)化過程，人工干預(yù)多，操作費(fèi)時(shí)，精度差。目前少見ANSYS軟件中采用嵌套優(yōu)化方法[1-7]。

本文針對磨削細(xì)長軸時(shí)，采用雙頂尖支承、中心架輔助支承下，中心架數(shù)量及位置設(shè)置的有限元優(yōu)化問題進(jìn)行分析研究。理論分析了磨削時(shí)細(xì)長軸的讓刀量，建立了中心架位置優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，研究在ANSYS中實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的關(guān)鍵問題，采用APDL參數(shù)化編程，實(shí)現(xiàn)了該二層嵌套優(yōu)化，并通過實(shí)例驗(yàn)證了合理性和可操作性。

1 讓刀量分析

在切削加工中，機(jī)床-夾具-刀具-工件構(gòu)成加工系統(tǒng)。在采用雙頂尖支承，中心架輔助支承下磨削細(xì)長軸時(shí)，工件在砂輪、頂尖、中心架等的作用下進(jìn)行磨削。當(dāng)機(jī)床、砂輪、工藝參數(shù)確定以后，在冷卻充分的情況下，讓刀量會(huì)受到中心架支承和砂輪磨削位置的影響。

進(jìn)行細(xì)長軸受力分析，將驅(qū)動(dòng)端簡化為固定鉸支，另一端簡化為移動(dòng)鉸支；對有三個(gè)觸點(diǎn)的中心架，三個(gè)觸點(diǎn)彈性支承；外載荷主要是磨削力，根據(jù)磨削力經(jīng)驗(yàn)公式，可計(jì)算出徑向、切向和軸向分力。由于軸向分力對讓刀量影響很小，分別分析徑向和切向分力引起的彎曲變形，圖1為采用一個(gè)中心架時(shí)的力學(xué)模型，P為外載荷，這里為相應(yīng)的磨削分力。

圖1 一個(gè)中心架支承力學(xué)模型

假設(shè)在一次走刀中磨削力恒定，且由于彈性支承剛度足夠大，在支撐處的彎曲變形極小，細(xì)長軸的所有支座在同一水平線上。將細(xì)長軸看作簡支梁，中心架簡化為軸的中間支座。則有幾個(gè)中心架，就是幾次靜不定結(jié)構(gòu)。應(yīng)用連續(xù)梁彎曲變形理論，分析細(xì)長軸在砂輪作用處P作用下的彎曲變形，即撓度。

將細(xì)長軸在每個(gè)中間支座處截?cái)?，并裝上鉸鏈，分解成幾段。根據(jù)相鄰兩段聯(lián)接點(diǎn)處轉(zhuǎn)角相同，得到中間支座i處的三彎矩方程。當(dāng)為光軸時(shí)，方程為

式中Mi-1、Mi分別為跨度Li的左端、右端截面彎矩(N·mm)；Mi+1為跨度Li+1右端的彎矩(N·mm)；ωi、ωi+1分別為跨度Li、Li+1作為簡支梁時(shí)外載荷單獨(dú)作用下的彎矩圖面積(N·mm2)；ai、bi+1分別為跨度Li、Li+1彎矩圖形心到左端、右端的距離(mm)。

聯(lián)立各中間支承處的三彎矩方程，可求出各中間支承處的截面彎矩，解決了靜不定問題。再應(yīng)用莫爾定律分析砂輪處的撓度。

當(dāng)采用一個(gè)中心架時(shí)，載荷P作用在圖1所示的左段時(shí)，可推導(dǎo)出載荷P處的撓度：

(1)

式中EI為抗彎剛度。

同理可得到載荷作用在右段時(shí)的撓度公式。

以直徑30 mm，長900 mm某軸為例，繪制載荷P作用位置處的變形量曲線，如圖2所示?？梢娫趦啥蔚膿隙惹€為上凸曲線。

圖2 一個(gè)中心架時(shí)變形量曲線

當(dāng)采用兩個(gè)中心架時(shí)，同理可分成三段分析，在各支承間的三段上，撓度曲線也呈上凸性。

而引起細(xì)長軸讓刀量的載荷可分為磨削力的徑向分量和切向分量，讓刀量應(yīng)為兩方向變形量的疊加。分析可見，在中心架輔助支承下，一次走刀過程中，在磨削處的讓刀量在各軸段上亦呈上凸性。

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

2.1 內(nèi)層區(qū)間優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

內(nèi)層優(yōu)化是在中心架位置確定時(shí)，以磨削位置為優(yōu)化變量，求解一次走刀中的最大讓刀量。根據(jù)讓刀量在支承間各段的上凸性，以中心架位置將整軸分段，分別優(yōu)化出每段內(nèi)的最大讓刀量，比較后，求解整軸上的最大讓刀量。

當(dāng)中心架數(shù)量為n時(shí)，各中心架與軸左端的距離表示為L1，L2，…，Ln，則第i段的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

(2)

式中Lp為磨削位置與軸左端的距離(mm)，ux、uy分別為磨削處的徑向、切向撓度(mm)。

該優(yōu)化屬于一維區(qū)間最大化優(yōu)化問題。

2.2 外層優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

外層優(yōu)化是當(dāng)中心架的數(shù)量選定時(shí)，中心架位置的優(yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)為最大讓刀量最小。因此，當(dāng)中心架數(shù)量為n時(shí)，外層優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為

優(yōu)化設(shè)計(jì)變量:X=[L1，L2，…，Ln]T,

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù):minf2(X)=maxf1(Lp),

(3)

其中目標(biāo)函數(shù)是內(nèi)層優(yōu)化的結(jié)果。該優(yōu)化屬于最小化優(yōu)化問題。

3 嵌套有限元優(yōu)化實(shí)現(xiàn)

ANSYS軟件提供了APDL參數(shù)化設(shè)計(jì)語言，擴(kuò)展了傳統(tǒng)有限元分析能力。根據(jù)以上優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，研究采用APDL編程實(shí)現(xiàn)該嵌套有限元優(yōu)化的方法，主要解決以下問題。

(1)有限元模型的建立

設(shè)置參數(shù)并初始化后，在預(yù)處理中，建立細(xì)長軸的參數(shù)化三維模型，設(shè)置和劃分網(wǎng)格，設(shè)置材料屬性，添加頂尖、中心架支承處的約束等。

(2)內(nèi)層優(yōu)化分段分析文件

根據(jù)讓刀量分析，每段軸上讓刀量呈上凸性，可選擇黃金分割法分段優(yōu)化。建立宏文件，當(dāng)分析第i段時(shí)，以軸段區(qū)間端點(diǎn)Li-1和Li為輸入?yún)?shù)，輸出該段上的最大讓刀量。

其間進(jìn)行讓刀量有限元分析時(shí)，以分量方式在磨削處的節(jié)點(diǎn)加載磨削力，求解器求解后，提取節(jié)點(diǎn)處的徑向和切向變形量，應(yīng)用式(2)求解讓刀量。

(3)ANSYS優(yōu)化分析文件生成

ANSYS優(yōu)化分析文件應(yīng)包含一個(gè)參數(shù)化定義的模型和一個(gè)完整的分析過程，形成一個(gè)優(yōu)化循環(huán)文件。該文件包括了參數(shù)化有限元模型的建立和內(nèi)層優(yōu)化，求出最大讓刀量的過程。

(4)優(yōu)化求解

調(diào)用ANSYS軟件的優(yōu)化模塊實(shí)現(xiàn)外層優(yōu)化。進(jìn)入優(yōu)化處理器，聲明優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量為中心架位置參數(shù)并設(shè)置變量區(qū)間，聲明優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為內(nèi)層優(yōu)化得到的最大讓刀量，選擇ANSYS軟件中的優(yōu)化方法如SWEEP、RAND、SUBP等，并設(shè)置優(yōu)化方法所需的參數(shù)。

執(zhí)行優(yōu)化命令，列出優(yōu)化迭代結(jié)果并繪制圖形，輸出和顯示優(yōu)化結(jié)果。

4 實(shí)例分析

磨削一光軸，長900 mm，直徑φ30h6，材料40Cr，調(diào)質(zhì)至215～235 HBS，要求圓度誤差不大于0.005 mm，直線度誤差不大于0.01 mm，表面粗糙度為Ra0.4 μm，磨削余量為0.40 mm。

該工件長徑比達(dá)到30，屬于細(xì)長軸，在粗磨階段，選擇WA、46#～60#、寬度25 mm的平形砂輪，背吃刀量0.01 mm，縱向進(jìn)給量0.5倍砂輪寬度，工件圓周速度36 m/min，砂輪圓周速度26 m/min。對中心架的數(shù)量和位置進(jìn)行優(yōu)化分析。

在APDL程序中，參數(shù)包括軸的幾何參數(shù)、磨削位置、中心架位置、砂輪處的讓刀量、最大讓刀量、最大讓刀量位置等；三維模型為圓柱體，單元類型Solid95，為了節(jié)省分析時(shí)間，半徑等分段數(shù)設(shè)置為4，長度分段數(shù)設(shè)置為300，映射網(wǎng)格劃分后如圖3所示。形成65 561個(gè)節(jié)點(diǎn)，14 400個(gè)單元。材料密度為7900 kg/m3，彈性模量206 GPa，泊松比0.3。

圖3 網(wǎng)格劃分

在左端面添加固定位移約束，右端面中心施加X、Y向零位移約束，Z向自由，中心架作用處采用Spring-Damper Combin14單元模擬彈性支承；將磨削力以分量加在砂輪處的節(jié)點(diǎn)上。

為了節(jié)省時(shí)間，內(nèi)層區(qū)間優(yōu)化的最大循環(huán)次數(shù)設(shè)置為10，收斂區(qū)間精度設(shè)置5 mm。外層優(yōu)化以設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)的公差控制優(yōu)化過程的收斂性，如果兩次設(shè)計(jì)變量之間的差值小于設(shè)計(jì)變量的公差時(shí)，優(yōu)化過程自動(dòng)停止。

當(dāng)采用一個(gè)中心架時(shí)，中心架位置設(shè)為400～600 mm。外層優(yōu)化采用等步長優(yōu)化方法。設(shè)置搜索10次。優(yōu)化結(jié)果見表1。顯示當(dāng)中心架位于511.11 mm時(shí)，在磨削至279.25 mm時(shí)，最大讓刀量最小值為1.445 ×10-2mm。和加工要求比較，不滿足精度要求，需要增加中心架。

表1 一個(gè)中心架時(shí)位置優(yōu)化分析結(jié)果

當(dāng)采用兩個(gè)中心架時(shí)，中心架位置分別定在300～360 mm和600～660 mm，采用隨機(jī)法進(jìn)行外層優(yōu)化，循環(huán)次數(shù)設(shè)為12。優(yōu)化結(jié)果見表2所示。可見，當(dāng)左、右中心架位于346.51 、642.44 mm時(shí)，砂輪在767.847 mm處最大讓刀量達(dá)到最小值5.181×10-3mm，與加工要求直線度誤差0.01相比，已經(jīng)達(dá)到要求。進(jìn)一步對該位置在磨削力、軸的重力等外載荷作用情況下進(jìn)行有限元分析，讓刀量最終確定為2.728×10-3mm?？梢?，隨機(jī)法求出的結(jié)果偏于安全，對滿足加工要求有利。

表2 兩個(gè)中心架時(shí)位置優(yōu)化分析結(jié)果

結(jié)果分析：(1)和實(shí)際加工經(jīng)驗(yàn)比較，分析結(jié)果和推薦的中心架數(shù)量一致；(2)由于循環(huán)精度較低，且外載荷只考慮了磨削力，與人為調(diào)整分析結(jié)果[6]有一定偏差。如在使用兩個(gè)中心架時(shí)，人工調(diào)整中心架位置參數(shù)時(shí)，分析出當(dāng)中心架位置在330、630 mm時(shí)，最大讓刀量最小。可見分析結(jié)果與實(shí)際基本相符，可以證明模型和方法的可行性；(3)在優(yōu)化中心架位置時(shí)，與人為調(diào)整中心架位置，有限元分析優(yōu)化最大讓刀量的方法相比較，該方法減少了人工干預(yù)，實(shí)際中可操作性更強(qiáng)。

5 結(jié)論

本文針對磨削細(xì)長軸中的中心架設(shè)置問題進(jìn)行研究。分析了雙頂尖支承，中心架輔助支承下一次走刀中工件的讓刀量，建立了中心架位置的嵌套優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。基于ANSYS平臺，采用APDL實(shí)現(xiàn)了中心架位置的自動(dòng)優(yōu)化。根據(jù)工藝要求，從小到大調(diào)整中心架數(shù)量，自動(dòng)優(yōu)化出位置和最大讓刀量，與工藝要求比較，最終確定出合理的中心架數(shù)量和位置。通過實(shí)例驗(yàn)證，結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)推薦值一致，與實(shí)驗(yàn)基本相符，通過提高有限元模型和循環(huán)精度，可以進(jìn)一步提高精度，說明該方法的正確性和可行性。方法可操作性好，成本低，可輔助工藝設(shè)計(jì)人員進(jìn)行類似工藝設(shè)計(jì)。