王莉丹
(廣西桂林市寶賢中學,廣西桂林 541001)
隨著科技的迅速發(fā)展,數(shù)學更加廣泛地應用于社會生產(chǎn)和日常生活中。但是,不少學生不知道為什么要學數(shù)學,數(shù)學在日常生活中有什么作用。于是,教師在數(shù)學課堂教學中搭建聯(lián)系數(shù)學世界和現(xiàn)實世界的橋梁,旨在幫助學生體會和了解數(shù)學與外部世界的密切聯(lián)系的重要性?!读x務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出,模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界的基本途徑。那么何為模型思想?
模型思想是針對要解決的問題,從而構(gòu)造相應的數(shù)學模型,通過對數(shù)學模型的研究來解決實際問題的一種數(shù)學思想方法[1]。
模型思想的核心在于建模。數(shù)學建模的過程可分為現(xiàn)實問題數(shù)學化、數(shù)學模型求解、數(shù)學模型解答、現(xiàn)實問題解答驗證四個階段。這四個階段實際上是從實際問題到數(shù)學模型,再從數(shù)學模型回到現(xiàn)實問題的不斷循環(huán)。
階段1:現(xiàn)實問題數(shù)學化
數(shù)學化是根據(jù)數(shù)學建模的目的將現(xiàn)實問題翻譯轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,并用數(shù)學語言表述出來,得出的數(shù)學模型。
問題情境:某網(wǎng)絡玩具店引進一批進價為20元/件的玩具,如果以單價30元銷售,那么一個月內(nèi)可售出180件。根據(jù)銷售經(jīng)驗,銷售單價每上漲1元,月銷量相應減少10件。當銷售單價為多少元時,該店能在一個月內(nèi)獲得最大利潤?
師:最大利潤問題是我們實際生活中經(jīng)常遇到的問題,能不能用我們所學的數(shù)學知識來解決呢?請同學們通過閱讀、審題,找出問題中的主要關系,即目標與條件的關系。
(學生審題約2分鐘)
師:題目要我們求什么?
生1:求1個月的最大利潤。
師:我們之前遇到過“求最大值”的問題嗎?
生2:遇到過,求三角形面積的最大值。
師:還記得我們是怎么求三角形面積的最大值嗎?
生2:先求出三角形面積的表達式,一般得出一個二次函數(shù),再求二次函數(shù)的最大值就可得出面積的最大值。
師:很好,運用函數(shù)模型,我們可以快速解決三角形的面積最值問題,甚至還可推廣到其他圖形的面積最值問題。我們能否類比面積最大值的問題來解決最大利潤的問題呢?
生3:我認為可以先求利潤的表達式,再求這個表達式的最大值。
師:不錯的思路,利潤是由什么決定的?
部分學生答道:售價和進價。
師:題目是求單件利潤還是總利潤呢?
生4:是求總利潤,總利潤是由單件利潤和銷量決定的。
師:好,能說說他們的關系嗎?
生4:能,總利潤=單件利潤×銷量=(售價-進價)×銷量。(教師同時板書此關系式)
師:在這個關系式中,哪些是已知的?
生(眾):進價是已知的。
師:售價和銷量已知嗎?
生(眾):原來是已知的,后來就是未知的了。
師:我們可以借助表格來進一步厘清他們的關系(教師用PPT顯示表1)。下面請同學們開展小組合作,用數(shù)學語言表示后來的售價、銷量和總利潤。
表1
(讓學生討論3分鐘,再請小組代表發(fā)言)
生5:設后來每件商品售價為x元,則銷量為[180-(x-30)×10]件,總利潤為(x-20)[180-(x-30)×10]元。
師:(x-30)代表什么?
生5:代表售價上漲了(x-30)個1元。
師:好,總利潤的式子還可以進一步化簡嗎?
生(眾):化簡得-10x2+680x-9600。
師:我們不妨設總利潤為y元,則y=-10x2+680x-9600,請同學們觀察總利潤的表達式,它是什么類型?
生(眾):是二次函數(shù)。
師:還有不同設法嗎?
生6:設每件商品售價上漲了x元,則售價為(30+x)元,銷量為(180-10x)件,總利潤為(x+10)(180-10x)元,即(-10x2+80x+1800)元。
師:不同的設法得到了不同的利潤表達式,而且第二種計算量更小些。這兩個總利潤的表達式有什么共同特征呢?
一位學生搶答道:它們都是二次函數(shù)。
師:原來總利潤的模型是一個二次函數(shù),那我們求利潤的最大值可以怎么求?
生7:可以求對應二次函數(shù)的最大值。
師:非常棒!同學們已經(jīng)成功地將一個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。接下來我們只要把數(shù)學問題即二次函數(shù)的最大值解出來,就可以求出實際問題中的最大利潤了。
階段2:數(shù)學模型求解
求解是利用已有的數(shù)學知識,選擇恰當?shù)臄?shù)學方法和數(shù)學解題策略,求出數(shù)學模型的解答。
師:我們不妨選第二種表達式來求它的最大值。(同時教師板書如下)
解:設每件商品單價上漲x元,一個月獲取的商品總利潤為y元,y=(10+x)(180-10x)
=-10x2+80x+1800
師:求二次函數(shù)的最值一般有哪些方法?
生(眾):配方法、公式法、對稱軸法。
師:下面請同學們選擇一種方法在練習本上把這個二次函數(shù)的最值求出來。
階段3:數(shù)學模型解答
數(shù)學模型解答是指把用數(shù)學語言表述的解答翻譯轉(zhuǎn)化到現(xiàn)實問題中,并給出實際問題的解答。
師:接下來我們要回到現(xiàn)實問題,當銷售單價定為多少元時,該店在一個月內(nèi)能獲得最大利潤,最大利潤又是多少元?
生(眾):當銷售單價定為34元時,該店在一個月內(nèi)能獲最大利潤1960元。
階段4:現(xiàn)實問題解答驗證
師:我們還應思考一個問題,當漲價4元即售價為34元時,最大利潤為1960元能否實現(xiàn)?
大部分學生點頭表示同意,有少數(shù)學生表示不一定。
師:在實際問題中,我們還應考慮什么?
生8:還應考慮自變量的取值范圍。
師:不錯,那自變量的取值范圍是什么?
生9:因為180-10x>0,且x<0,所以0<x<18。
師:最大利潤為1960元能否實現(xiàn)?
生10:可以,因為x=4在此取值范圍內(nèi)。
師:很好,由數(shù)學模型回到現(xiàn)實問題時,我們一定要考慮自變量的限制條件。
變式1:某公司在甲、乙兩地同時銷售某品牌的汽車,已知甲、乙兩地的銷售利潤y(萬元)與銷售量x(輛)之間分別滿足y甲=-x2+10x,y乙=2x。若該公司在甲、乙兩地共銷售15輛該品牌的汽車,求該公司能獲得的最大利潤。
變式2:某工藝廠設計了一款每件成本為10元的產(chǎn)品,并投放市場進行實銷。經(jīng)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y件與銷售單價x元存在一次函數(shù)關系y=-10x+700。若物價部門規(guī)定,該產(chǎn)品的最高銷售單價不得超過35元,那么銷售單價如何定位才能獲得最大利潤?
師:剛才我們經(jīng)歷了現(xiàn)實問題數(shù)學化、數(shù)學模型求解、數(shù)學模型解答、現(xiàn)實問題解答驗證四個階段,這樣的過程就是數(shù)學建模過程,最大利潤與最大面積都有相應的數(shù)學模型。求最大利潤的一般步驟有哪些?
生11:先根據(jù)題意列出利潤的表達式,即二次函數(shù),然后求二次函數(shù)的最大值,從而得出利潤的最大值。
師:二次函數(shù)的最大值一定就是最大利潤嗎?
生12:不一定,還應考慮自變量的限制條件,結(jié)合函數(shù)的圖像性質(zhì)來求最大值。
師:對,不要忘記最后驗證的環(huán)節(jié),這樣我們的工作才是真正有意義的。
在初中數(shù)學教學中,模型思想的滲透與數(shù)學教師密切相關。因此,教師要在課前、課中做好充分準備:精心挑選建模的素材,素材可來源于課本或現(xiàn)實生活中比較有趣的、有豐富學科內(nèi)涵的問題,讓學生真切體會到數(shù)學不僅有趣還有用。教師還要精心設計相應的活動,讓學生親身經(jīng)歷建模的完整過程,即將現(xiàn)實問題數(shù)學化、數(shù)學模型求解、數(shù)學模型解答、現(xiàn)實問題解答驗證這四個階段,在活動中體會數(shù)學與外部世界的密切關聯(lián),初步掌握數(shù)學建模的一般方法,進而形成模型思想,能像數(shù)學家一樣進行“模型化”地處理問題。在課堂中,教師更要對學生進行引導,引導學生從不同的問題情境中找出同一類數(shù)學結(jié)構(gòu)關系的數(shù)學模型的思維習慣和觀念意識。為此,教師可采用變式教學,通過一系列由淺入深、層層遞進的變式題使事物的非本質(zhì)屬性不斷變化,以揭示其本質(zhì)屬性,進而提煉和總結(jié)出相應的模型。