王莉丹

（廣西桂林市寶賢中學，廣西桂林 541001）

引 言

隨著科技的迅速發(fā)展，數(shù)學更加廣泛地應用于社會生產(chǎn)和日常生活中。但是，不少學生不知道為什么要學數(shù)學，數(shù)學在日常生活中有什么作用。于是，教師在數(shù)學課堂教學中搭建聯(lián)系數(shù)學世界和現(xiàn)實世界的橋梁，旨在幫助學生體會和了解數(shù)學與外部世界的密切聯(lián)系的重要性?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界的基本途徑。那么何為模型思想？

一、模型思想概述

模型思想是針對要解決的問題，從而構(gòu)造相應的數(shù)學模型，通過對數(shù)學模型的研究來解決實際問題的一種數(shù)學思想方法[1]。

模型思想的核心在于建模。數(shù)學建模的過程可分為現(xiàn)實問題數(shù)學化、數(shù)學模型求解、數(shù)學模型解答、現(xiàn)實問題解答驗證四個階段。這四個階段實際上是從實際問題到數(shù)學模型，再從數(shù)學模型回到現(xiàn)實問題的不斷循環(huán)。

二、基于模型思想的課堂實踐

（一）教師引領，親歷建模過程

階段1：現(xiàn)實問題數(shù)學化

數(shù)學化是根據(jù)數(shù)學建模的目的將現(xiàn)實問題翻譯轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并用數(shù)學語言表述出來，得出的數(shù)學模型。

問題情境：某網(wǎng)絡玩具店引進一批進價為20元/件的玩具，如果以單價30元銷售，那么一個月內(nèi)可售出180件。根據(jù)銷售經(jīng)驗，銷售單價每上漲1元，月銷量相應減少10件。當銷售單價為多少元時，該店能在一個月內(nèi)獲得最大利潤？

師：最大利潤問題是我們實際生活中經(jīng)常遇到的問題，能不能用我們所學的數(shù)學知識來解決呢？請同學們通過閱讀、審題，找出問題中的主要關系，即目標與條件的關系。

（學生審題約2分鐘）

師：題目要我們求什么？

生1：求1個月的最大利潤。

師：我們之前遇到過“求最大值”的問題嗎？

生2：遇到過，求三角形面積的最大值。

師：還記得我們是怎么求三角形面積的最大值嗎？

生2：先求出三角形面積的表達式，一般得出一個二次函數(shù)，再求二次函數(shù)的最大值就可得出面積的最大值。

師：很好，運用函數(shù)模型，我們可以快速解決三角形的面積最值問題，甚至還可推廣到其他圖形的面積最值問題。我們能否類比面積最大值的問題來解決最大利潤的問題呢？

生3：我認為可以先求利潤的表達式，再求這個表達式的最大值。

師：不錯的思路，利潤是由什么決定的？

部分學生答道：售價和進價。

師：題目是求單件利潤還是總利潤呢？

生4：是求總利潤，總利潤是由單件利潤和銷量決定的。

師：好，能說說他們的關系嗎？

生4：能，總利潤=單件利潤×銷量=（售價－進價）×銷量。（教師同時板書此關系式）

師：在這個關系式中，哪些是已知的？

生（眾）：進價是已知的。

師：售價和銷量已知嗎？

生（眾）：原來是已知的，后來就是未知的了。

師：我們可以借助表格來進一步厘清他們的關系（教師用PPT顯示表1）。下面請同學們開展小組合作，用數(shù)學語言表示后來的售價、銷量和總利潤。

表1

（讓學生討論3分鐘，再請小組代表發(fā)言）

生5：設后來每件商品售價為x元，則銷量為[180-（x-30）×10]件，總利潤為（x-20）[180-（x-30）×10]元。

師：（x-30）代表什么？

生5：代表售價上漲了（x-30）個1元。

師：好，總利潤的式子還可以進一步化簡嗎？

生（眾）：化簡得-10x2+680x-9600。

師：我們不妨設總利潤為y元，則y=-10x2+680x-9600，請同學們觀察總利潤的表達式，它是什么類型？

生（眾）：是二次函數(shù)。

師：還有不同設法嗎？

生6：設每件商品售價上漲了x元，則售價為（30+x）元，銷量為（180-10x）件，總利潤為（x+10）（180-10x）元，即（-10x2+80x+1800）元。

師：不同的設法得到了不同的利潤表達式，而且第二種計算量更小些。這兩個總利潤的表達式有什么共同特征呢？

一位學生搶答道：它們都是二次函數(shù)。

師：原來總利潤的模型是一個二次函數(shù)，那我們求利潤的最大值可以怎么求？

生7：可以求對應二次函數(shù)的最大值。

師：非常棒！同學們已經(jīng)成功地將一個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。接下來我們只要把數(shù)學問題即二次函數(shù)的最大值解出來，就可以求出實際問題中的最大利潤了。

階段2：數(shù)學模型求解

求解是利用已有的數(shù)學知識，選擇恰當?shù)臄?shù)學方法和數(shù)學解題策略，求出數(shù)學模型的解答。

師：我們不妨選第二種表達式來求它的最大值。（同時教師板書如下）

解：設每件商品單價上漲x元，一個月獲取的商品總利潤為y元，y=（10+x）（180-10x）

=-10x2+80x+1800

師：求二次函數(shù)的最值一般有哪些方法？

生（眾）：配方法、公式法、對稱軸法。

師：下面請同學們選擇一種方法在練習本上把這個二次函數(shù)的最值求出來。

階段3：數(shù)學模型解答

數(shù)學模型解答是指把用數(shù)學語言表述的解答翻譯轉(zhuǎn)化到現(xiàn)實問題中，并給出實際問題的解答。

師：接下來我們要回到現(xiàn)實問題，當銷售單價定為多少元時，該店在一個月內(nèi)能獲得最大利潤，最大利潤又是多少元？

生（眾）：當銷售單價定為34元時，該店在一個月內(nèi)能獲最大利潤1960元。

階段4：現(xiàn)實問題解答驗證

師：我們還應思考一個問題，當漲價4元即售價為34元時，最大利潤為1960元能否實現(xiàn)？

大部分學生點頭表示同意，有少數(shù)學生表示不一定。

師：在實際問題中，我們還應考慮什么？

生8：還應考慮自變量的取值范圍。

師：不錯，那自變量的取值范圍是什么？

生9：因為180-10x＞0，且x＜0，所以0＜x＜18。

師：最大利潤為1960元能否實現(xiàn)？

生10：可以，因為x=4在此取值范圍內(nèi)。

師：很好，由數(shù)學模型回到現(xiàn)實問題時，我們一定要考慮自變量的限制條件。

（二）變式訓練，再歷建模過程

變式1：某公司在甲、乙兩地同時銷售某品牌的汽車，已知甲、乙兩地的銷售利潤y（萬元）與銷售量x（輛）之間分別滿足y甲=-x2+10x，y乙=2x。若該公司在甲、乙兩地共銷售15輛該品牌的汽車，求該公司能獲得的最大利潤。

變式2：某工藝廠設計了一款每件成本為10元的產(chǎn)品，并投放市場進行實銷。經(jīng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y件與銷售單價x元存在一次函數(shù)關系y=-10x+700。若物價部門規(guī)定，該產(chǎn)品的最高銷售單價不得超過35元，那么銷售單價如何定位才能獲得最大利潤？

（三）小結(jié)反思，回顧建模過程

師：剛才我們經(jīng)歷了現(xiàn)實問題數(shù)學化、數(shù)學模型求解、數(shù)學模型解答、現(xiàn)實問題解答驗證四個階段，這樣的過程就是數(shù)學建模過程，最大利潤與最大面積都有相應的數(shù)學模型。求最大利潤的一般步驟有哪些？

生11：先根據(jù)題意列出利潤的表達式，即二次函數(shù)，然后求二次函數(shù)的最大值，從而得出利潤的最大值。

師：二次函數(shù)的最大值一定就是最大利潤嗎？

生12：不一定，還應考慮自變量的限制條件，結(jié)合函數(shù)的圖像性質(zhì)來求最大值。

師：對，不要忘記最后驗證的環(huán)節(jié)，這樣我們的工作才是真正有意義的。

結(jié) 語

在初中數(shù)學教學中，模型思想的滲透與數(shù)學教師密切相關。因此，教師要在課前、課中做好充分準備：精心挑選建模的素材，素材可來源于課本或現(xiàn)實生活中比較有趣的、有豐富學科內(nèi)涵的問題，讓學生真切體會到數(shù)學不僅有趣還有用。教師還要精心設計相應的活動，讓學生親身經(jīng)歷建模的完整過程，即將現(xiàn)實問題數(shù)學化、數(shù)學模型求解、數(shù)學模型解答、現(xiàn)實問題解答驗證這四個階段，在活動中體會數(shù)學與外部世界的密切關聯(lián)，初步掌握數(shù)學建模的一般方法，進而形成模型思想，能像數(shù)學家一樣進行“模型化”地處理問題。在課堂中，教師更要對學生進行引導，引導學生從不同的問題情境中找出同一類數(shù)學結(jié)構(gòu)關系的數(shù)學模型的思維習慣和觀念意識。為此，教師可采用變式教學，通過一系列由淺入深、層層遞進的變式題使事物的非本質(zhì)屬性不斷變化，以揭示其本質(zhì)屬性，進而提煉和總結(jié)出相應的模型。