江蘇無錫市塔影中心小學(xué) 周孝麗

數(shù)學(xué)拓展課是基于課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和學(xué)情，引領(lǐng)學(xué)生在動手體驗、實踐操作、研究思考、深度理解的基礎(chǔ)上，不斷增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)科核心素養(yǎng)的一種教學(xué)形式。它可以是對教材中某一概念進(jìn)行追根溯源的探究；可以是對某一重點(diǎn)、難點(diǎn)知識的深入發(fā)掘與開發(fā)；可以是對某一數(shù)學(xué)思想與方法的滲透、提煉與創(chuàng)新應(yīng)用；還可以是與其他學(xué)科領(lǐng)域的整合與拓展，等等。相對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，數(shù)學(xué)拓展課在內(nèi)容選取上有更大的靈活性、開放性與挑戰(zhàn)性，因此更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

數(shù)學(xué)拓展課不是面向部分優(yōu)秀學(xué)生的“小灶”，而是面向全體學(xué)生的“大眾餐”。因此，在拓展課的設(shè)計與實施過程中，教師應(yīng)該充分研究學(xué)情，研究課標(biāo)，研究教材，精心設(shè)計拓展內(nèi)容，巧妙策劃拓展方式，積極導(dǎo)引全體學(xué)生投入學(xué)習(xí)、探究與發(fā)現(xiàn)，讓探究課發(fā)揮其應(yīng)有價值。三年級在學(xué)生認(rèn)識了正方形面積后，為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，訓(xùn)練高階思維，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，筆者設(shè)計了“正方形的秘密”拓展課，收效顯著。

一、立足現(xiàn)實生活，讓拓展內(nèi)容有“根”

1.從生活中“挖數(shù)學(xué)”

根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)將數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的生活實際緊密結(jié)合，從生活問題入手，使學(xué)生學(xué)起來自然親切、真實形象，進(jìn)而激發(fā)濃厚的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)能力、發(fā)展智力，促進(jìn)其綜合素質(zhì)的提升。因此，作為教師要善于把課堂教學(xué)內(nèi)容與生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象結(jié)合起來，發(fā)掘數(shù)學(xué)知識與生活的緊密聯(lián)系。

（1）從熟悉的情境引出新知

把生活中的實際活動融入教學(xué)，會讓學(xué)生有一種親近感，學(xué)生在這種熟悉的情境中去嘗試解決問題，同時也能快速走近教學(xué)內(nèi)容。

師：（播放視頻）這是《最強(qiáng)大腦》中一次魔方比賽的規(guī)則。同學(xué)們都玩過魔方嗎？我們學(xué)校每年的藝術(shù)節(jié)也都有魔方達(dá)人的比賽。

師：剛剛視頻中兩次說到“三階復(fù)原”，你知道“三階”是什么意思嗎？

生：魔方每個面都有3×3個正方形。

師：板書圖形。

師：如果是一個2階魔方，那它每個面又是怎樣的？（板書圖形）

師：不管是2階還是3階魔方，它們每個面都是用這樣的小正方形拼成的。（板書圖形）

師：要知道這兩張圖中分別有幾個小正方形，你可以怎樣算。（板書：？×？）

從一段視頻展開教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣一下就被調(diào)動了起來，然后教師將教學(xué)焦點(diǎn)聚集在視頻中出現(xiàn)的魔方上，又緊緊聯(lián)系學(xué)生熟悉的比賽，引導(dǎo)學(xué)生觀察魔方每個面上小正方形的排列規(guī)律，從而為后面出示的數(shù)列埋下伏筆。

（2）從生活中找到數(shù)學(xué)原型

數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境。小學(xué)生的智力還處于發(fā)展階段，思維方式比較單一，生動有趣的問題情境不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還有利于滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

師：這條弧線就是斐波那契螺旋線，這樣的圖案在我們身邊隨處可見，如生存億萬年的鸚鵡螺，盛開的向日葵，人的耳朵。

師：這條曲線還受到一些設(shè)計大師的青睞，如蘋果公司的logo，設(shè)計師在每個正方形內(nèi)添加圓，形成斐波那契直徑圓，并以此創(chuàng)新設(shè)計出了這個logo。

師：這種曲線最大的特點(diǎn)就是它的完美，所有的比例都顯得恰到好處，讓人看了身心舒暢。

欣賞生活中隨處都有的這一條曲線，學(xué)生恍然大悟，原來數(shù)學(xué)跟生活竟然有這么多的聯(lián)系，激發(fā)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的熱情。

2.在生活中“用數(shù)學(xué)”

學(xué)以致用，充分體現(xiàn)了學(xué)與用之間的關(guān)系。教師不僅要讓學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，還要讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)，這就要求教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與應(yīng)用能力。在教學(xué)中，鼓勵學(xué)生把所學(xué)的新知識運(yùn)用到現(xiàn)實生活中去，可以培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)價值的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

師：五一假期，周老師的閨蜜送了我一塊桌布，我打開一看傻眼了，你們猜猜看，這是為什么？

生1：大小不一樣。

生2：形狀不同。

師：同學(xué)們觀察得真仔細(xì)，猜得真準(zhǔn)，厲害?。娔X出示：餐桌形狀和餐布形狀）

師：閨蜜的心意不能辜負(fù)，在不浪費(fèi)這塊桌布的前提下，你們能幫老師解決這個問題嗎？

學(xué)生小組合作，討論解決方法（如圖所示）：

師：同學(xué)們剛剛通過畫圖想到了不同的解決方法，不同的拼接還形成了不同的優(yōu)美圖案，真是棒極了！不管是哪一種拼接，其實你們都是巧妙地利用了正方形的對角線，在不改變面積的前提下，把長方形轉(zhuǎn)化成了正方形。

巧妙利用正方形的對角線，不僅可以解決數(shù)學(xué)問題，還能解決一些生活問題。在學(xué)生將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實踐的過程中，創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力得到了進(jìn)一步培養(yǎng)，學(xué)生看到自己的想法和作品得到肯定，那是一種滿足和榮耀。更為重要的是，在用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生對數(shù)學(xué)的深刻理解與全面認(rèn)識又上升到了一個新的層次。

二、關(guān)注兒童經(jīng)驗，讓拓展內(nèi)容有“魂”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的已有經(jīng)驗水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)?！苯處熞罁?jù)新課標(biāo)深入地研究教材的知識結(jié)構(gòu)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和現(xiàn)有的知識水平活化教材，使學(xué)生的知識和能力得到提升。關(guān)注學(xué)生的經(jīng)驗，適時提供獲取經(jīng)驗的機(jī)會，拓寬獲取經(jīng)驗的渠道，更好地發(fā)揮已有經(jīng)驗在學(xué)習(xí)活動中的積極作用，并能利用經(jīng)驗促進(jìn)思維，使學(xué)生獲得更多的經(jīng)驗。在關(guān)注學(xué)生經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，精心設(shè)計拓展內(nèi)容，使其在拓展活動中得到新的發(fā)展與超越。

1.方法多樣化——激活經(jīng)驗

師：要求正方形的面積，需要知道什么條件？

生1：要知道正方形的邊長。

生2：正方形的面積=邊長×邊長。

師：如果現(xiàn)在在正方形里面畫一條對角線，猜猜看正方形的面積跟它會有關(guān)系嗎？

生討論交流，匯報展示。

生1：我用了畫圖的方法。

生2：通過畫圖我發(fā)現(xiàn)正方形的面積=對角線×對角線÷2。

為了引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識去探索新知，教師可以讓學(xué)生明確新舊知識之間存在的聯(lián)系，并鼓勵學(xué)生用畫圖的方法把新舊聯(lián)系建立起來，從而得出正方形面積的不同解法。

2.巧用畫圖——優(yōu)化經(jīng)驗

師：求正方形個數(shù)，除了用乘法表示，還能不能給它們涂涂色找到不同的表示方法？同學(xué)們試著找一找。

展示學(xué)生的研究材料。

師：像這樣進(jìn)行涂色，同學(xué)們就能找到不同的方法。

對于求正方形個數(shù)的問題，不同的學(xué)生有不同的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和方法，在教學(xué)中讓學(xué)生充分交流，并將計算方法逐步進(jìn)行優(yōu)化，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的有效積累。相同的圖形通過不同的涂色，居然還有不同的意思，這些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技能都是建立在學(xué)生已有經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的，教師在教學(xué)過程中適當(dāng)點(diǎn)撥，使學(xué)生拓寬了思路，積累了經(jīng)驗。

三、滲透思想方法，讓拓展過程傳“神”

小學(xué)生的身心特點(diǎn)決定了他們的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，數(shù)形的結(jié)合正是幫助學(xué)生順利完成從形象思維向抽象思維過渡的最好媒介。借助形的表象來理解數(shù)的抽象，利用數(shù)的抽象來提升形的內(nèi)在邏輯，通過形與形之間的聯(lián)系深入研究其特征規(guī)律，這也正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。因此，教師要有意識地讓學(xué)生學(xué)會畫圖，這不但體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，而且通過讓學(xué)生嘗試畫圖的過程，還能讓數(shù)學(xué)變得生動、活潑和豐滿，訓(xùn)練學(xué)生的思維，收到意想不到的教學(xué)效果。

1.數(shù)形結(jié)合巧滲透

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題策略的目的。

出示一組數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13……

師：同學(xué)們，這組數(shù)列有規(guī)律嗎？

生：1+1=2，1+2=3，2+3=5……

師：那這一組數(shù)列會跟正方形有關(guān)嗎？

學(xué)生感到疑惑。

師：大家想一想，出示1、1、2、3，你發(fā)現(xiàn)了什么？把你們的發(fā)現(xiàn)在方格紙上畫出來。

師：誰來說說為什么這樣畫？

生：這一組數(shù)列中的每一個數(shù)都是所畫正方形的邊長。

師：這一組熟悉的數(shù)列竟然跟正方形的邊長有關(guān)，小小正方形還真是了不起?。?/p>

對于抽象的數(shù)學(xué)概念，教師可以借助圖形使之形象化、直觀化，把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，以便學(xué)生對其進(jìn)行分析和理解，這樣的教學(xué)手段可以稱之為“以形助數(shù)”。在這里通過畫圖把數(shù)列和圖形之間的關(guān)系一下建立了起來，學(xué)生茅塞頓開，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更簡單，同時對正方形的認(rèn)識更深入。

2.形形結(jié)合妙關(guān)聯(lián)

在解決問題時，根據(jù)需要我們還可以引導(dǎo)學(xué)生從一個圖形想到另一個圖形，從一個圖形創(chuàng)設(shè)出另一個圖形。

師：在正方形里面畫一條對角線，你覺得正方形的面積跟它有關(guān)系嗎？你能用畫圖的方法來說明你的猜想嗎？

生1：我以正方形里面的這條對角線為邊長，繼續(xù)構(gòu)造出一個正方形（如下圖）。

生2：從圖中可以很清楚地看出，現(xiàn)在構(gòu)造的大正方形的面積是小正方形面積的兩倍。

生3：根據(jù)正方形的面積=邊長×邊長，可以求出大正方形的面積=對角線×對角線，所以小正方形的面積只要再除以2就可以求出。

數(shù)學(xué)思想方法只有在反復(fù)運(yùn)用中才能體現(xiàn)它的價值。從已知圖形特征出發(fā)，學(xué)生通過剪拼、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)方法，重新構(gòu)造新的圖形解決了原本不能解決的問題，實現(xiàn)了知識與知識、圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)化，提升了分析問題、解決問題的能力，同時也培養(yǎng)了學(xué)生思維的辨析能力和遷移能力。

四、發(fā)掘數(shù)學(xué)文化，讓拓展課堂入“心”

結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，巧妙滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，不僅能夠彰顯數(shù)學(xué)文化的價值，還能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人力量。在教學(xué)“正方形的秘密”這一課時，教師除了教授了相關(guān)的正方形知識，還引入了兩種數(shù)學(xué)思維方法，讓學(xué)生感受了數(shù)學(xué)知識之神奇，激發(fā)了他們參與學(xué)習(xí)的積極性，讓拓展課堂真正入心、入腦，讓學(xué)生真正感受到了數(shù)學(xué)文化的永恒魅力。

1.“兔子數(shù)列”——感受數(shù)列之美妙

1、1、2、3、5、8、13……這一組數(shù)列，是有名的斐波那契數(shù)列，它是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”。

2.“完美正方形”——感受圖形分割之神奇

數(shù)學(xué)家們一直在思考，能不能把一個大正方形分割成若干個不同的小正方形。如果存在這樣的大正方形，那么這個大正方形就叫作完美正方形。在很長一段時間里，人們一直沒有找到。直到1978年，荷蘭數(shù)學(xué)家杜伊維斯廷借助計算機(jī)技術(shù)，成功地構(gòu)造出邊長是112的一個21階的完美正方形，同時還證明了這是一個階數(shù)最低的完美正方形。

結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，教師有目的地發(fā)掘與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的拓展知識來豐富課堂教學(xué)，切實改善了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)境遇，同時也有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生創(chuàng)造了一次挑戰(zhàn)智慧的機(jī)會，也讓學(xué)生真實地體會到知識發(fā)展過程中充滿的創(chuàng)新精神和理性光輝。