◎程燕飛 （內蒙古師范大學附屬第二中學，內蒙古 呼和浩特 010070）

“導數(shù)”部分的內容可以貫穿于對各類函數(shù)的探究中，是幫助學生研究函數(shù)變化的一個重要指標．而函數(shù)又是高中數(shù)學知識內絕對的重點與難點，為此學好導數(shù)的重要性是顯而易見的．當前在針對導數(shù)部分內容展開教學時，部分教師仍然采用著傳統(tǒng)單一的教學模式，導致學生學習該部分內容時的效率和質量極為低下．為此，當下探究出基于高考背景下針對導數(shù)部分教學方法與策略的任務極為緊迫．

一、明確概念定義,加深知識理解

如今針對“導數(shù)”部分教學時，經常是重應用、輕概念．即教師有針對性地講解不同函數(shù)的求導方法，如冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，但是針對概念和推導經常是一帶而過．學生因此對導數(shù)的概念理解不深，這樣所導致的后果就是學生針對稍微綜合點的題目就會沒有思路，從而白白丟掉應得的分數(shù)．為此教師應對導數(shù)的概念給予應有的重視．

對于綜合性、關聯(lián)性非常強的高中數(shù)學，明確概念定義是學生學好知識的“根”，其他任何的解題方法與技巧都是由這個根生長出來的．為此，教師在針對“導數(shù)”部分內容展開教學時，第一步就是要帶領學生理解“什么是導數(shù)”．導數(shù)的定義分為兩種，一種是常規(guī)的導數(shù)的概念定義，一種是便于學生理解的幾何定義．首先，教師利用大量的實例分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，介紹導數(shù)概念的實際背景，從而讓學生理解導數(shù)的定義，在此期間高中學生沒有系統(tǒng)學習過“極限”的概念，則需教師認真耐心講解，一遍不行就兩遍，兩遍不行就三遍，通過網絡教學以及小組討論的形式幫助學生理解記憶，讓學生充分深入理解消化．之后教師利用函數(shù)圖像，讓學生直觀地理解導數(shù)的幾何意義，即明確“導數(shù)就是某曲線在曲線上某點處的斜率”，體會化曲為直的極限思想．在此期間教師可通過畫一個簡單的一元二次函數(shù)圖像來為學生解釋，幾何意義相較于常規(guī)的概念定義要容易理解一些．最后更為重要的是，對于簡單函數(shù)的求導公式，教師需要求學生通過定義推導出來，并且可類推一般多項式函數(shù)的導數(shù)公式，體會由特殊到一般的思想，這是幫助學生掌握導數(shù)定義的最后一道保險．當然在教學過程中，教師要讓學生明白利用導數(shù)的知識可以解決哪些問題，進而激發(fā)學生的學習興趣．

二、劃分知識類別,理清學習思路

導數(shù)作為研究不同函數(shù)變化的重要工具，其所研究的方向也各種各樣．為此，一個清晰明確的學習思路是學生學好導數(shù)的重要法寶，更是徹底攻克導數(shù)的有效途徑．而思維導圖就是幫助學生理清學習思路，劃分知識類別的重要工具．學生在思維導圖中能夠清晰明了地理解不同知識點間的聯(lián)系與區(qū)別，從而實現(xiàn)對知識的靈活綜合的掌握與應用．

教師可以通過思維導圖幫助學生總結出具體的題型類別和解題方法．例如，針對單調性，教師可總結出導數(shù)大于等于零時函數(shù)單調遞增，導數(shù)小于等于零時函數(shù)單調遞減，繼而教師再給出幾道典型的例題幫助學生加深記憶．針對函數(shù)的極值與最值，教師可總結出導數(shù)為零時的點是否為函數(shù)的極值點，而最值的求法要著眼于導數(shù)為零的點和區(qū)間端點，求出對應的函數(shù)值，比較大小得出最大值點和最小值點．針對與導數(shù)幾何意義相結合的求切線方程（切點坐標、切線斜率），教師則要要求學生要先通過求導公式求出在切點處的導數(shù)值即為斜率，之后結合斜率和點坐標求出切線方程．針對通過導數(shù)圖像求函數(shù)圖像的題型，教師要告知學生不要混淆二者的定義，要結合導數(shù)圖像，來判斷函數(shù)斜率的大小繼而判斷函數(shù)圖像的增減程度，最終畫出函數(shù)圖像．教師要利用思維導圖將與導數(shù)有關的所有知識和考點詳細分類，之后讓學生逐個攻克，這樣可極大提升學生的學習質量和效率，與此同時，還可方便學生在今后快速找到自己的薄弱點，進行有針對性的復習與回顧．

三、善用網絡教學,攻克重點難點

導數(shù)在高中數(shù)學知識中被稱為重難點是絕對不可否認的事實．因為導數(shù)不但自身知識點眾多，它還具有連接性強的特點．即它可與其他各類知識進行結合，從而實現(xiàn)一道題考出多個知識點．在新課改后國家大力倡導培養(yǎng)學生對知識的綜合運用能力的背景下，今后的高考題型更為綜合與全面是不可改變的大趨勢．本地高考數(shù)學試題往往是用導數(shù)題來做壓軸題的．比如，針對一道導數(shù)部分的題，在教學過程中，教師該如何引導才能攻克難點？

例1［2018 全國Ⅱ卷21（1）題］已知函數(shù)f（x）＝exax2．若a＝1，證明：當x≥0 時， f（x）≥1．

盯住問題：a＝1 時，證明：當x≥0 時， f（x）≥1，即當x≥0 時f（x）＝ex-x2≥1．

根據(jù)函數(shù)性質及已有經驗，嘗試考慮1＝f （？）＝ f （0），這樣解決問題的思路就清晰了，需要證明f（x）＝ex-x2在［0，＋∞）是增函數(shù)，或f（x）在［0，＋∞）的最小值為f（0）．這樣要解決這個問題就會自然想到導數(shù)這個工具，

即證f′（x）＝ex-2x ＞0 在［0，＋∞）成立或討論其單調性．

這時我們繼續(xù)按剛才的函數(shù)性質考慮，問題又變成了證明函數(shù)f′（x）＝ex-2x 在［0，＋∞）單調遞增或求其最小值大于0；也就是要證f′（x）＝ex-2x＞0 在［0，＋∞）上成立或求其在［0，＋∞）的最小值，這時已經到了最熟悉的函數(shù)，顯然問題得到解決．

本例的教學過程，教師可如上逐步引導學生思考，同時教會學生審題之后該如何思考解題的思路．在教學中教師除了落實“四基四能”外，還要讓學生會思考、會分析問題、解決問題．

例2

（1）求函數(shù)f（x）的極值、最值與單調區(qū)間；

（2）如果x∈［a＋1，a＋2］時，總有｜f′（x）｜≤a，求a 的取值范圍．

針對這道題，第一問對于學生而言就是單純地考導數(shù)的應用．在求導時注意不要出錯，無論帶參數(shù)與否，都是實數(shù)，就看成固定值，之后按照常規(guī)的解題方法來解即可．值得注意的就是解一元二次方程時要細心．針對第二問，如果學生初次接觸此題，定然是不容易找到思路的，因為其中不但有參數(shù)而且涉及取值范圍，還有絕對值不等式等知識，會使其思維產生混亂．為此，教師可通過微課視頻來展開教學，即通過自行錄制或是引用其他教師的精煉講解視頻，將解決該題第二問的要點點明，首先該題是關于導數(shù)的變化的，因此就要避免研究f（x），否則必然混淆學生解題思路．之后要明確2a＜a＋1 并且導數(shù)圖像在［a＋1，a＋2］上是單調遞減的，最后也是最重要的就是教師要告知學生，｜f′（x）｜≤a 也就相當于在對應區(qū)間上的導數(shù)的最大值和最小值的絕對值都要小于a，繼而解不等式組，求出區(qū)間．整個過程利用微課視頻會很快讓學生理解，之后教師要為學生多準備幾道該類題讓學生練習，加深理解．現(xiàn)在網絡教學以及微課顯得尤為重要．

在導數(shù)與不等式的綜合知識考查中，尤其是利用導數(shù)證明不等式的問題中還有一類方法不容忽視，那就是放縮法，其中常見的放縮有sin x≤x (x≥0)，ex≥x＋1，ln x≤x-1等，教師可以借助計算機將這幾類函數(shù)的圖像繪制出來，讓學生理解并記住就相對容易一些．

例3已知函數(shù)

（1）若函數(shù)f（x）的最小值為2，求a 的值；

解題分析的定義域為（0，＋∞），且

若a≤0，則f′（x）＞0，于是f（x）在（0，＋∞）上單調遞增，故f（x）無最小值，不合題意．

若a＞0，則當0＜x＜a 時，f′（x）＜0；當x＞a 時，f′（x）＞0．

故f（x）在(0，a)上單調遞減，在（a，＋∞）上單調遞增，

于是當x＝a 時，f（x）取得最小值ln a，由已知得ln a ＝2，解得a＝e2．

（2）方法1：∵當x∈（0，π），且a ＝1 時，由（1）可知要證

只要證xex-sin x＞0．利用導數(shù)這個工具求函數(shù)y ＝xexsin x 的最小值大于0 或判斷函數(shù)y＝xex-sin x 在x∈（0，π）單調遞增，y＞y（0）即可．

方法2：在方法1 的基礎上利用sin x＜x（x＞0），進行放縮，那么要證只要證即證ex＞1，由于x∈（0，π），所以ex＞1 顯然成立．

方法3：在上面兩方法的基礎上利用ex＞x＋1（x＞0）進行放縮，那么要證

在本題中，部分學生使用ln x≤x-1 進行放縮，錯解如下：要證

在這一步的操作上就發(fā)生了錯誤，在放縮的應用過程中，要遵守不等式的傳遞性，

即a＞b，b＞c，則a＞c．

本文通過具體的實例，認識導數(shù)的工具性及導數(shù)與其他問題的聯(lián)系，感受導數(shù)在解題中的作用和魅力．同時使學生在解題過程中，逐步養(yǎng)成扎實嚴格、實事求是的科學態(tài)度，從而真正攻克導數(shù)部分重點和難點題型．

綜上所述，高中數(shù)學中的導數(shù)部分是廣大教學團體教學的重點與難點，只要教師結合當下的教育大趨勢，命題的新方向，以及學生的學習特點，不斷地探究與創(chuàng)新，一定能夠輕而易舉地幫助學生攻克“導數(shù)”這部分知識，為其未來的學習打下堅實的基礎．