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        一類有理函數不定積分的求解

        2020-08-15 08:54:02徐英杰范海寧中國礦業(yè)大學數學學院江蘇徐州221116
        數學學習與研究 2020年10期
        關鍵詞:第四版微分分母

        ◎徐英杰 范海寧 (中國礦業(yè)大學數學學院,江蘇 徐州 221116)

        不定積分是微積分中的重要內容,有理函數不定積分是其中的一個難點.對于分母次數較高的有理函數不定積分,利用傳統(tǒng)的待定系數法求解時需要確定多個系數的值,因而計算量較大.本文將針對分母最高次項為4 次的一類有理函數不定積分,通過配項與湊微分[1]的方法來簡化運算.這種方法的主要思想是通過配湊出合理的微分,將其轉化為形式簡單的、熟悉的不定積分來計算,從而減少計算量.

        在下文中,筆者將以華東師范大學數學系編寫的《數學分析上冊(第四版)》中的一道題目為例進行分析,并針對這類問題的一般形式給出通解公式.

        一、兩種求解方法的對比及推廣

        問題一[2]求解不定積分

        分析1首先將分母因式分解為然后利用待定系數法,確定系數后進行求解.

        可以看出,利用常規(guī)的待定系數法需要確定4 個系數的值,計算量較大.下面我們利用配項與湊微分的方法來簡化這個不定積分的運算.

        分析2首先來看兩個不定積分.

        問題二求解不定積分

        分析將分子、分母同時除以x2,可以配湊出這樣一組微分,然后求解,即

        我們還可以進一步將分母推廣為更復雜的形式a4x4+b4x2+c4,如下.

        問題三求解不定積分

        分 析將 分 子、 分 母 同 時 除 以x2, 可 以 配 湊 出這樣一組微分,然后求解,即

        我們進一步將分子推廣為更復雜的形式d4x2+e4,如下.

        問題四求解不定積分

        分析我們仍然可以將分子、分母同時除以x2,然后配湊出這樣一組微分,不過此題更為復雜,需要先利用待定系數法確定兩個系數再求解,即

        二、結 論

        對于有理函數不定積分的求解,傳統(tǒng)的方法是待定系數法,但分母次數較高時采用此方法計算量較大.本文通過分析華東師范大學數學系編寫的《數學分析上冊(第四版)》中的一道題目,對待定系數法進行了改進,并將其推廣,給出了該類有理函數不定積分更一般形式的通解公式.由計算過程可以看到,綜合運用配項與湊微分的方法,即把分子配湊成分母因子的組合,能夠將復雜的不定積分轉化為我們熟悉的、較為簡單的不定積分,從而降低計算的難度.從計算過程來看,配湊出一個合適的微分對計算的簡化有重要作用.

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