袁 旦，劉 獻，張小麗

（華北水利水電大學水利學院，河南 鄭州 450046）

1 研究背景

隨著中國城市化進程的速度加快、經(jīng)濟水平的快速增長，全國居民用水量呈現(xiàn)不斷增長的趨勢。生活用水是區(qū)域生產(chǎn)活動用水的重要組成部分，需水量的預測作為供水決策、投資的重要參考指標，是制定供水和排水規(guī)劃以及國民經(jīng)濟計劃的基礎(chǔ)和依據(jù)，在水資源規(guī)劃和管理中起著非常重要的作用，對城市現(xiàn)代化建設(shè)具有重要的意義[1]。

目前，由于生活用水量受到包括人口、水價、經(jīng)濟發(fā)展等多個因素的綜合影響，是一個非線性變化過程。很多學者對城市的生活用水量預測做了一些研究。李靖[2]等建立了用于城市用水量長期預測的小波神經(jīng)網(wǎng)絡耦合模型，并利用此模型對昆明市年用水量進行預測。結(jié)果表明，該模型應用于城市用水量的長期預測具有較高的預測精度和良好的推廣能力。梁學玉[3]等基于灰色預測理論，建立了殘差灰色預測模型與等維遞補預測模型兩者相結(jié)合的組合灰色預測模型，并應用于青海省西寧市用水量預測，結(jié)果表明組合模型的預測精度高于單一模型的預測精度。李黎武[4]等基于支持向量機（SVM）和小波框架理論,建立了城市用水量非線性組合預測模型，并采用SMO算法對模型進行求解，結(jié)果表明該模型具有很強的泛化能力與適應數(shù)據(jù)和函數(shù)變化的能力,能夠有效提高預測精度,可用于供水系統(tǒng)調(diào)度的用水量預測。針對這個問題，本文采用背景值改進的灰色預測模型對河南省居民生活用水量進行預測，并與傳統(tǒng)灰色預測模型進行對比，尋找改進模型的優(yōu)點，以期通過本文研究，能夠更好地預測生活用水量。

2 研究區(qū)概況

河南省域總面積16.7萬km2，東接安徽、山東，北界河北、山西，西連山西，南臨湖北，是全國重要的綜合交通樞紐和人流物流信息流中心。河南省下轄17個地級市、一個省直轄縣級市，21個縣級市，83個縣，53個市轄區(qū)。河南省作為全國人口大省，2018年常住人口9605萬，地區(qū)生產(chǎn)總值為48055.86億元，第一、二、三產(chǎn)業(yè)占比分別為8.1%、39.3%、52.6%，GDP增速為7.6%。2018年全省水資源總量339.8億m3，人均水資源量為354.62 m3，人均水資源量不足全國人均水資源量的五分之一（2018年全國人均水資源量為1971.85 m3/人），遠低于國際公認的人均500 m3的“極度缺水標準”，為典型的水資源嚴重短缺地區(qū)，嚴重影響著居民生活水平的提高，同時也嚴重阻礙著當?shù)亟?jīng)濟的發(fā)展。

3 研究方法

3.1 傳統(tǒng)GM(1.1)預測模型

灰色系統(tǒng)理論由我國學者鄧聚龍教授于1982年首次提出[5]，是一種用于研究數(shù)據(jù)少、信息量少的不確定性問題的理論方法?；疑A測是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，而又尤以GM（1,1）為其常見模型。該模型通過對原始數(shù)據(jù)的累加生成，采用最小二乘法對其累加生成進行擬合，再進行累減處理，得到原始序列的預測值。

設(shè)已知參考數(shù)據(jù)列為x(0)=（x(0)（1），x(0)（2），…，x(0)（n）），做一次累加AGO生成數(shù)列：

式中：x(1)（k）=∑x(0)（i）（k=1，2，…，n）。

將累加生成的數(shù)列，按每兩個相鄰數(shù)據(jù)求平均值的方法，得到其均值數(shù)列：

于是建立灰微分方程：

相應的白化微分方程：

式中：x(0)（k）稱為灰導數(shù)；a稱為發(fā)展系數(shù)；z(1)（k）稱為白化背景值；b稱為灰作用量。

由最小二乘法并求式（4）得：

經(jīng)累減還原可得原數(shù)據(jù)序列的估計值：

即：

3.2 改進背景值的灰色預測模型

傳統(tǒng)灰色模型的實質(zhì)是，如果x(0)系列數(shù)據(jù)點的值均大于0，將數(shù)據(jù)系列累加生成后能在很大程度上消除數(shù)據(jù)的波動性，形狀近似為指數(shù)函數(shù)；并用指數(shù)函數(shù)擬合，延展該擬合函數(shù)，再經(jīng)過累減還原處理便可得到原始數(shù)據(jù)的預測值。

但在式（2）中，在定義背景值時認為在Δt=1的很短時間內(nèi)，x（t）→x（t+Δt）不會發(fā)生突變，因此取它們的平均值為背景值，但是在實際應用過程中不可避免的會出現(xiàn)突變的情況，因此傳統(tǒng)灰色預測模型的背景值賦值并不是很合理[6]。而由于灰色預測模型的擬合效果主要由背景值決定，這就為傳統(tǒng)的灰色預測模型加入了更多的誤差。

王鐘羨等[7]認為背景值的構(gòu)造用曲邊梯形面積更加合理，采用積分法重構(gòu)背景值，理論推導如下：

前提條件與傳統(tǒng)模型一致，將式（2）在區(qū)間[k，k+1]上積分，有：

當設(shè)z(1)（k+1）為在區(qū)間[k，k+1]上的背景值時，則有：

此背景值即為x(1)（t）在區(qū)間[k，k+1]上的定積分。

用如下指數(shù)函數(shù)曲線近似表示：

假設(shè)該曲線過x(1)（t）=cebt和x(1)（k），則：

由式（11）、式（12）可得：

推出背景值為：

即：

式(16)即為改進后背景值的取值。之后，根據(jù)灰色模型預測的方法，經(jīng)過累減還原便可得到x(0)（k）的估計值：

3.3 精度評價方法

灰色預測模型檢驗一般有殘差檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗方差檢驗。本文采用后驗方差檢驗，即通過均方差比值C和小誤差概率P共同評定[8～9]。步驟如下：

（1）計算原始數(shù)據(jù)的平均值和方差：

（2）計算殘差均值和殘差方差:

（3）計算后驗方差比值C和最小概率誤差P的值：

（4）根據(jù)C和P的值，對照灰色預測模型精度等級表來確定該模型精度，見表1。

表1 后驗方差檢驗標準指數(shù)

4 應用實例

河南省2012年～2018年居民生活用水量數(shù)據(jù)（《國家統(tǒng)計年鑒》）見表 2。

表2 河南省2012年～2018年居民生活用水量

利用Matlab軟件運行程序求解，由傳統(tǒng)灰色預測模型，求解得其發(fā)展指數(shù)a=－0.04643，灰色作用量b=30.5665，所得到的原始數(shù)據(jù)估計值表達式為：

由改進背景值的灰色預測模型，求解得其發(fā)展指數(shù)a=－0.04612，灰色作用量b=30.6560，所得到的原始數(shù)據(jù)估計值表達式為：

兩個模型的計算結(jié)果見表3。

表3 兩種模型用水量預測對比

參照表1后驗方差檢驗標準判斷兩個模型的準確性，結(jié)果表明，傳統(tǒng)灰色預測模型和背景值改進后灰色預測模型的模型預測精度等級均為優(yōu)。但改進后的灰色預測模型所得到的模擬數(shù)據(jù)均方差比值C比傳統(tǒng)灰色預測模型所得到的模擬數(shù)據(jù)均方差比值C更小，平均相對誤差也小于傳統(tǒng)灰色預測模型所得值。這說明，改進后的模型具有更高的擬合精度，擬合效果更好，可以更好的用來預測城市居民生活用水量。

由此，利用改進背景值的灰色預測模型對河南省2019年～2021年居民生活用水進行預測，預測結(jié)果見表4。

表4 2019年～2021年河南省居民生活用水量預測

從表4中可以看出，河南省2018年～2021年生活用水將繼續(xù)保持增長。因此，政府應繼續(xù)加強節(jié)水型社會的建設(shè)。本文就生活用水提出如下建議：完善生活用水監(jiān)督機制，建立符合河南省實際情況的水資源管理體系；建立完備、統(tǒng)一的水價制度，充分利用水價的杠桿作用，制約隨意取水及浪費水資源的行為；加強科技創(chuàng)新，改進全省水資源循環(huán)處理技術(shù)，提高城市生活用水回收率；加強節(jié)水教育和宣傳，提高全民節(jié)水意識。

5 結(jié)論

基于改進背景值的灰色預測模型運用于生活用水需求量的預測。通過實例分析，該模型精度高于傳統(tǒng)灰色預測模型。理論上，傳統(tǒng)灰色預測模型背景值賦值不合理的缺陷在高增長序列中會表現(xiàn)得更為突出，改進背景值后的灰色模型能夠更好地擬合原始數(shù)據(jù)序列。本文研究的河南省居民生活用水數(shù)據(jù)時間序列盡管不是高增長數(shù)據(jù)序列，但仍然驗證了背景值改進后的模型能夠取得更好的擬合效果，因而，將改進背景值的灰色預測模型運用到生活用水需求量是合適的。