陸文婷 韋 宏

（南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 廣西·南寧 530299）

喻平教授根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的特征，提出了“CPFS”結(jié)構(gòu)理論。該理論包含“概念域”“概念系”“命題域”“命題系”。教學(xué)實踐中，往往會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：在概念學(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了一個概念之后，在具體應(yīng)用這個概念時會出現(xiàn)類型各異的錯誤，或者是沒有把握概念的內(nèi)涵，無法辨認(rèn)概念的反例，或者是不能理解概念的變式。在命題學(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了一個命題，特別是學(xué)習(xí)了一組命題之后，往往不會靈活應(yīng)用這些命題。產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因是多方面的，喻平教授認(rèn)為，個體的CPFS結(jié)構(gòu)的優(yōu)良與否是一個主要因素。[1]因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要教師在教學(xué)過程中構(gòu)建和完善學(xué)生的CPFS 結(jié)構(gòu)。

實數(shù)在中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有著十分重要的地位，實數(shù)不僅是初中階段學(xué)習(xí)的二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎(chǔ)，由于實數(shù)密切聯(lián)系了高中許多知識，所以它也是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)。從歷年的中考題中可以知道，對于實數(shù)的考查都結(jié)合其他知識點。從概念角度來看，它可以聯(lián)系研究數(shù)的相反數(shù)、絕對值、數(shù)軸等。從運算角度來看，在實數(shù)范圍內(nèi)可以對正數(shù)和0 進行開平方運算。從特殊實數(shù)的形式二次根式來看，可以為解決“二次問題”，即一元二次方程、二次函數(shù)等提供基礎(chǔ)。因此，學(xué)生在初中階段的學(xué)習(xí)中應(yīng)建立起“實數(shù)”的知識體系，為以后學(xué)習(xí)虛數(shù)提供數(shù)學(xué)思想和方法去分析、解決相關(guān)問題。本文從實數(shù)這個具體實例出發(fā)，建立關(guān)于實數(shù)的概念體系，進而完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)。

1 教學(xué)目標(biāo)與重、難點

本節(jié)內(nèi)容是人教版七年級下冊第六章知識。喻平教授指出，對一個概念的理解首先應(yīng)當(dāng)從不同側(cè)面去考察它，形成關(guān)于這個概念的概念域；其次，要梳理與該概念有抽象關(guān)系的概念體系，形成這個概念的概念系。[1]因此，確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與重、難點如下所示。

教學(xué)目標(biāo)：學(xué)生能夠掌握實數(shù)有關(guān)概念；學(xué)生能夠建構(gòu)實數(shù)的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；學(xué)生能夠體驗到在建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)過程中的數(shù)的擴充發(fā)展和數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的過程中數(shù)學(xué)是發(fā)展的。

教學(xué)重點和難點：學(xué)生自主建構(gòu)實數(shù)的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的過程。

2 CPFS 結(jié)構(gòu)理論指導(dǎo)構(gòu)建實數(shù)的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

喻平教授在其CPFS 結(jié)構(gòu)理論中，強抽象是指通過引入新的特征來強化原結(jié)構(gòu)A，使獲得的新的概念或理論B，B 是原型A 的特例，則稱A 到B 的抽象為強抽象，或稱A 與B 之間的關(guān)系存在強抽象關(guān)系。弱抽象是指從一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)A 中選取某一特征或側(cè)面加以抽象，從而獲得比原結(jié)構(gòu)A 更廣的結(jié)構(gòu)B，使原結(jié)構(gòu)A 成為結(jié)構(gòu)B 的特例，就稱A 到B 的抽象為弱抽象，或稱A 與B 之間存在弱抽象關(guān)系。[1]

這里的強抽象關(guān)系也就是一種上位學(xué)習(xí)，即一般到特殊。而弱抽象則是下位學(xué)習(xí)，即特殊到一般。實數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)的上位概念，也就是說，從有理數(shù)、無理數(shù)到實數(shù)是一種弱抽象關(guān)系；從平方根到二次根是一種強抽象關(guān)系。在這個概念結(jié)構(gòu)中，蘊涵了數(shù)形結(jié)合思想（數(shù)軸與實數(shù)的對應(yīng)）、類比思想（類比有理數(shù)的分類對實數(shù)進行分類）和一般化思想（表現(xiàn)為強抽象關(guān)系或弱抽象關(guān)系）（圖1）。[3]

圖1

3 實數(shù)概念體系教學(xué)過程設(shè)計

3.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，以問題為驅(qū)動

問題1 我們在七年級的時候已經(jīng)學(xué)習(xí)了實數(shù)這個概念，那么同學(xué)們能不能聯(lián)系實數(shù)的有關(guān)知識去建立一個關(guān)于知識結(jié)構(gòu)圖？

設(shè)計意圖：直接設(shè)置以實數(shù)為主的知識結(jié)構(gòu)圖的問題，可以讓學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)生進入頭腦風(fēng)暴快速調(diào)動儲存的相關(guān)知識。

3.2 設(shè)置問題鏈完善知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

問題2 回顧一下目前為止，我們最開始學(xué)習(xí)的數(shù)是什么數(shù)？

學(xué)生：小學(xué)學(xué)習(xí)的正整數(shù)。

問題3 由于實際生活的需求，我們又學(xué)習(xí)到什么數(shù)？

學(xué)生：分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、小數(shù)等。

問題4 這些數(shù)之間有什么聯(lián)系？有什么區(qū)別？

學(xué)生：這些數(shù)按照不同的分類可分為有理數(shù)和無理數(shù)。

問題5 一起回顧有理數(shù)和無理數(shù)的定義，它們有什么區(qū)別與聯(lián)系？它們共同組成什么？

問題6 按照學(xué)習(xí)過的有理數(shù)分類方式，你能不能對實數(shù)進行分類？所有數(shù)概念之間又有什么聯(lián)系？這其中體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計意圖：通過對數(shù)的梳理，讓學(xué)生再次體驗知識產(chǎn)生的緣由，明晰新舊知識之間出現(xiàn)的關(guān)聯(lián)關(guān)系，以及體悟知識發(fā)展的動因，習(xí)得探究數(shù)學(xué)知識邏輯性的方法。并類比有理數(shù)的分類方法對實數(shù)進行分類，以此讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)思想方法的重要。最后，學(xué)生體驗到數(shù)的概念是怎樣從正整數(shù)逐步發(fā)展到實數(shù)的。

問題7 我們在研究有理數(shù)的時候，一般都研究些什么？

學(xué)生：相反數(shù)、絕對值、數(shù)軸等。

問題8 相反數(shù)、絕對值和數(shù)軸是怎樣定義的？

問題9 對于實數(shù)，我們又是怎樣研究它的相反數(shù)、絕對值和數(shù)軸的呢？它們與研究有理數(shù)這些性質(zhì)時有什么聯(lián)系與區(qū)別？這其中體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法？

設(shè)計意圖：實數(shù)是有理數(shù)的上位知識，從研究有理數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究實數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，也就是從有理數(shù)到實數(shù)是弱抽象關(guān)系，即特殊到一般的關(guān)系。從實數(shù)到有理數(shù)是強抽象關(guān)系，即一般到特殊的關(guān)系。在與學(xué)生探討的過程中，需要指出這些關(guān)系，有利于學(xué)生體會知識之間的聯(lián)系。通過類比思想從有理數(shù)中來學(xué)習(xí)實數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并且結(jié)合數(shù)軸研究，其中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的類比思想和數(shù)形結(jié)合思想。

問題10 從運算角度來看，隨著數(shù)的擴充，數(shù)的運算有什么發(fā)展？加法與乘法的運算律在實數(shù)中始終保持不變嗎？

問題11 回顧平方根和立方根的概念，乘方運算與立方運算有什么關(guān)系？

問題12 作為一類特殊實數(shù)一般形式的二次根式，它與算術(shù)平方根有什么關(guān)系？它的運算與實數(shù)的運算之間又有什么關(guān)系？與整式的運算之間又有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：從運算這一脈絡(luò)出發(fā)梳理知識之間的聯(lián)系，不僅可以幫助學(xué)生快速建構(gòu)實數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，而且可以讓學(xué)生體會在數(shù)系發(fā)展中運算是基本一致的。這樣為以后解決復(fù)數(shù)的運算提供了思想方法。

教師在與學(xué)生解決這些問題的同時，需要在黑板上畫出實數(shù)的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

3.3 鞏固練習(xí)，加深概念體系的認(rèn)識

通過問題鏈的解決，從多角度、多重層次去揭示實數(shù)的概念內(nèi)涵，并且明示各知識概念間的關(guān)系和揭示蘊涵在概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)思想方法。為了加強對概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的理解，需要結(jié)合一些練習(xí)鞏固。喻平教授的CPFS 結(jié)構(gòu)理論指出，加強概念需要在兩個水平上應(yīng)用，即知覺水平上應(yīng)用與思維水平應(yīng)用。

第一，在知覺水平上的應(yīng)用。

例1 判斷下列說法是否正確：

（1）無限小數(shù)都是無理數(shù)；（2）無理數(shù)都是無限小數(shù)；（3）帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；（4）所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，反過來，數(shù)軸上的所有點都表示有理數(shù)；（5）所有實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，反過來，數(shù)軸上的所有點都表示實數(shù)。

例2 有沒有最小的正整數(shù)？有沒有最小的正實數(shù)？有沒有最小的實數(shù)？有沒有最小的無理數(shù)？

以上兩題是這個體系的簡單應(yīng)用，考查了實數(shù)相關(guān)的有理數(shù)、無理數(shù)等概念結(jié)構(gòu)。

第二，在思維水平上的應(yīng)用。

例 3 已知（x-1）2=4,求 x 的值。

例4 已知|x|<2 ，x 是整數(shù)，求x 的值，并在數(shù)軸上表示求得的數(shù)。

例5（2019 湖北黃石）

以上是實數(shù)結(jié)合方程、三角函數(shù)以及二次函數(shù)等的題目，解決題目需要學(xué)生通過題目信息從已有知識結(jié)構(gòu)中提取和選擇相關(guān)的概念和命題來解決當(dāng)前的題目。

4 結(jié)束語

復(fù)習(xí)課的作用就是通過整理零散的知識成為一個知識之間含有相關(guān)關(guān)系的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，使知識條理化、系統(tǒng)化。根據(jù)CPFS 結(jié)構(gòu)理論，當(dāng)學(xué)生擁有良好的知識結(jié)構(gòu)時，學(xué)生能夠更好地提取知識解決問題。因此，教師在授課中提高學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的能力，有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。