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        具有現(xiàn)實約束的均值-VaR投資組合績效評價

        2020-08-08 10:03:54曾永泉
        關(guān)鍵詞:績效評價效率模型

        曾永泉,張 鵬

        (1. 仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院人文與社會科學(xué)學(xué)院, 廣州 510225; 2. 華南師范大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院, 廣州 510006)

        傳統(tǒng)的投資組合績效評價均采用方差度量風(fēng)險[1],如夏普指數(shù)、特雷諾指數(shù)和詹森指數(shù). 但隨著方差的廣泛運用,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)方差并不是一個良好的測量風(fēng)險的方式,方差衡量的是隨機變量與期望值之間的上下偏差,而投資者更關(guān)心下偏差[2]. 而風(fēng)險價值(VaR)作為一種下偏差風(fēng)險度量方法,在風(fēng)險測量和績效評價中得到了廣泛的應(yīng)用,如:VaR風(fēng)險度量方法[3];在均值-方差模型基礎(chǔ)上的均值-VaR模型[4-5];不允許賣空情況下的均值-方差模型與均值-VaR模型[6];具有基數(shù)約束、上下界限制和交易成本的多階段均值-VaR模型[7].

        在投資組合模型的建構(gòu)方面,一些學(xué)者考慮實際投資市場的諸多摩擦因素,構(gòu)建了不同的模型并求解. 如:研究了不同借貸利率下以VaR為風(fēng)險度量方法的投資組合效用最大化模型[8];在其均值-方差投資組合選擇中考慮借款約束[9]. 交易成本同樣對投資組合影響頗大,BEST和HLOUSKOVA[10]提出了分段線性交易成本的投資組合模型. 另外,學(xué)者們研究了具有基數(shù)約束(限制最優(yōu)資產(chǎn)組合中所含資產(chǎn)的數(shù)量)的投資組合模型,使該模型更加符合實際市場上的投資情況. 如:在其均值-方差動態(tài)投資組合和市場時機選擇中考慮了基數(shù)約束這一要素[11];在研究一系列具有基數(shù)約束的投資組合選擇問題時提出了一個新的混合整數(shù)二次約束的二次規(guī)劃算法[12];研究了含區(qū)間系數(shù)的基數(shù)約束投資組合模型,并運用一種新的動態(tài)差分進化算法與自適應(yīng)控制參數(shù)求解轉(zhuǎn)換后的確定性模型[13].

        實際上,具有基數(shù)約束的投資組合模型是一個復(fù)雜的非光滑的混合整數(shù)規(guī)劃問題,計算十分復(fù)雜,模型真實前沿面的解析解難以得到. 因此,許多學(xué)者運用數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(Data Envelopment Analysis,DEA)法[14]. 如:運用傳統(tǒng)的DEA效率評價模型優(yōu)化投資組合選擇[15];在基金市場上,對30只對沖基金在規(guī)模報酬不變的情況下進行了DEA效率估計排名[16];提出了多元一致性數(shù)據(jù)包絡(luò)分析效率分析模型,在傳統(tǒng)DEA模型的基礎(chǔ)上考慮了投資組合的多樣化[17];將改進的DEA交叉效率模型應(yīng)用于韓國股票市場投資組合選擇,得到了優(yōu)于傳統(tǒng)組合選擇方法的結(jié)論[18];構(gòu)建了多階段的DEA效率估計模型,在股票市場上對10只風(fēng)險證券進行了效率估計[19];比較了前沿面方法和傳統(tǒng)評價體系比率在投資決策設(shè)計應(yīng)用中的效果,得到了前沿面評價方法更注重持續(xù)性的結(jié)論[20];提出了一種多目標投資組合選擇模型,并使用DEA模型進行了交叉效率評價[21].

        本文使用BCC-DEA績效評價方法,對具有交易成本、上下界約束、借款約束和基數(shù)約束的均值-VaR模型進行績效評價,通過上海證券市場的真實數(shù)據(jù)進行效率估計,構(gòu)建不同樣本數(shù)據(jù)下的DEA效率估計模型,并構(gòu)建前沿面與真實前沿面進行對比,分析DEA模型對投資組合績效評價的有效性.

        1 均值-VaR投資組合優(yōu)化模型

        1.1 符號描述和定義說明

        定義1風(fēng)險(VaR)是指在一定的置信度下,某一投資組合在未來特定時間內(nèi)最大的可能損失. 設(shè)投資組合的期望收益率為rp,則

        P(rp<-VaR)≤1-c

        (1)

        為投資組合的VaR(VaR取正數(shù)),其中,c(1/2≤c≤1)為常數(shù).

        定理1[6]當(dāng)投資組合中n種資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布時,式(1)可轉(zhuǎn)換為

        rp≥Φ-1(c)σp-VaR,

        (2)

        其中,Φ(·)是標準正態(tài)分布函數(shù),Φ-1(c)是置信度為c的正態(tài)分布函數(shù)的下分位點.

        隨機市場情況下,由式(2)可得VaR風(fēng)險表達式為Φ-1(c)σp-rTx.

        1.2 均值-VaR投資組合模型

        假設(shè)第i種資產(chǎn)的交易成本函數(shù)C(xi)是投資比例的分段線性函數(shù),且為凸函數(shù)(圖1),即

        (3)

        圖1 分段線性凸交易成本函數(shù)

        借款約束是投資組合考慮的另一個重要因素. 本文考慮了無風(fēng)險資產(chǎn)借款,則投資組合x=(x1,x2,…,xn,xn+1)T的期望收益率可表達為

        (4)

        其中,

        此時投資組合x=(x1,x2,…,xn,xn+1)T的凈收益率為

        (5)

        假設(shè)K≥0,且為整數(shù),zi={0,1},則投資組合x=(x1,x2,…,xn,xn+1)T的基數(shù)約束為

        lizi≤xi≤uizi(i=1,2,…,n),z1+z2+…+zn≤K.

        (6)

        投資組合模型的上下限約束為:li≤xi≤ui(i=1,2,…,n).

        在文獻[22]的基礎(chǔ)上,考慮交易成本、上下界約束、借款約束和基數(shù)約束等條件,提出以下3個模型.

        (1)風(fēng)險最小化的均值-VaR投資組合模型為:

        minΦ-1(c)σp-rTx

        (7)

        其中,r0表示投資者預(yù)期給定收益率. 模型共有4個約束條件:投資組合的凈收益率不低于給定的期望值r0、無風(fēng)險資產(chǎn)有借貸約束、第i種風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例有上下界約束和風(fēng)險資產(chǎn)投資比例非負個數(shù)不能超過K. 模型的經(jīng)濟意義是指在滿足上述4個約束條件下,如何使投資組合風(fēng)險(VaR)最小.

        (2)收益最大化的均值-VaR投資組合模型為:

        (8)

        其中,VaR0表示投資者預(yù)期給定的風(fēng)險. 模型共有4個約束條件:投資組合的風(fēng)險不高于預(yù)期風(fēng)險VaR0、無風(fēng)險資產(chǎn)有借貸約束、第i種風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例有上下界約束和風(fēng)險資產(chǎn)投資比例非負個數(shù)不能超過K. 模型的經(jīng)濟意義是指在滿足上述4個約束條件下,如何使投資組合收益(r)最大.

        (3)效用最大化的均值-VaR投資組合模型為:

        (9)

        其中,θ(0≤θ≤1)表示投資者風(fēng)險偏好系數(shù). 當(dāng)θ=1時,投資者完全厭惡風(fēng)險. 當(dāng)θ=0時,投資者只關(guān)心收益,不管風(fēng)險,此時,模型(9)可以轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

        (10)

        模型(10)屬于非光滑的混合整數(shù)規(guī)劃問題,可以運用遺傳算法[23]得到其最優(yōu)解,從而得到該模型目標函數(shù)最大值(即r0max),也可得到VaR0max.

        2 均值-VaR投資組合的DEA評價方法

        2.1 投資組合效率的定義

        為更好地評估投資組合的績效表現(xiàn),文獻[24]提出了真實前沿面的概念,并基于真實前沿面定義了投資組合效率. 本文根據(jù)模型(10)對應(yīng)的真實前沿面來定義n只風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合效率(圖2). 圖中曲線MNW是n只風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合真實前沿面,Q是某一個投資組合.

        收益導(dǎo)向的投資組合效率(PEr)是指相同風(fēng)險下投資組合實際期望收益率與理想期望收益率的比值;風(fēng)險導(dǎo)向的投資組合效率(PEv)是指相同期望收益率下理想風(fēng)險與投資組合實際風(fēng)險的比值. 投資組合Q的收益導(dǎo)向、風(fēng)險導(dǎo)向的效率可以分別表示為:

        圖2 投資組合效率

        2.2 均值-VaR的DEA效率評價模型

        由于金融市場上的諸多摩擦因素,大規(guī)模投資組合難以計算,所以,當(dāng)投資組合真實前沿面為凹函數(shù)時,本文利用DEA模型對決策單元進行投資組合績效評價.

        LIU等[25]運用BCC-DEA模型進行投資組合績效評價,并指出:若r=h(VaR)是投資組合的前沿面,則r′=h′m(VaR)是m個樣本的投資組合的BCC-DEA模型的前沿面,當(dāng)m→+時,依概率收斂于h(VaR). 另外,若投資組合的風(fēng)險函數(shù)VaR(x)(x為投資組合比例)是凸函數(shù),收益函數(shù)r(x)是凹函數(shù)且可行域Ω是凸集,則由模型(7)得到的投資組合的真實前沿面是凹函數(shù),可以采用基于數(shù)據(jù)的BCC-DEA模型對決策單元進行績效評價. 隨著決策單元數(shù)量的增加,其前沿面能較好地逼近真實的前沿面.

        (11)

        第j個投資組合的VaR值為

        (12)

        r0為預(yù)先給定的可能性收益率、VaR0為可能性VaR值. 可使用以下3個BCC-DEA評價投資組合的有效性.

        (1)風(fēng)險導(dǎo)向下均值-VaR投資組合的BCC-DEA評價模型:

        minθ

        (13)

        (2)收益導(dǎo)向下均值-VaR投資組合的BCC-DEA評價模型:

        maxθ

        (14)

        (3)效用最大化的均值-VaR投資組合的BCC-DEA評價模型:

        (15)

        其中,s+代表正偏差,s-代表負偏差.

        以上3個模型都是線性規(guī)劃模型,可以運用線性規(guī)劃的旋轉(zhuǎn)算法[22]求解.

        3 實證研究

        本文選擇上海A股市場表現(xiàn)較好的30只股票進行分析,股票代碼分別為:S1(600000)、S2(600010)、S3(600016)、S4(600029)、S5(600030)、S6(600036)、S7(600048)、S8(600104)、S9(600109)、S10(600111)、S11(600518)、S12(600519)、S13(600637)、S14(600887)、S15(600893)、S16(601166)、S17(601186)、S18(601318)、S19(601336)、S20(601377)、S21(601390)、S22(601601)、S23(601668)、S24(601669)、S25(601688)、S26(601766)、S27(601800)、S28(601818)、S29(601985)、S30(601989). 選擇從2010年1月至2019年5月的周收益數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù).

        鑒于股票市場的高波動性,金融市場上往往通過構(gòu)造股票投資組合來分散投資風(fēng)險,而其構(gòu)成投資組合的股票之間的相關(guān)系數(shù)越低,分散效果越好. 由30只股票中每一只的股票收益及其與其他29只股票的相關(guān)系數(shù)(表1)可知:樣本中僅3只股票(S5、S21、S25)的相關(guān)性系數(shù)大于0.5,呈現(xiàn)中度相關(guān)性;20只股票的相關(guān)性系數(shù)介于0.3~0.5之間,具有較弱的相關(guān)性;其余7只股票的相關(guān)性系數(shù)介于0~0.3之間,具有極弱的相關(guān)性,可視為不相關(guān). 由此可知,本文所選取的股票樣本的總體相關(guān)性較弱,可以較好地達到分散風(fēng)險的效果.

        表1 股票收益率均值及其相關(guān)性Table 1 The expected return of stock and its correlation

        3.1 計算結(jié)果

        假設(shè)分段線性凸交易成本為

        當(dāng)VaR0在區(qū)間[0,0.09]之間變動時,投資組合的真實前沿面如圖3所示.

        圖3 投資組合真實前沿面

        當(dāng)VaR0在區(qū)間[0,0.089]之間等距離變動時,凈收益率變動情況見表2.

        表2 投資組合的凈收益率(VaR0[0,0.089])Table 2 The portfolio return when VaR0[0,0.089]

        表2 投資組合的凈收益率(VaR0[0,0.089])Table 2 The portfolio return when VaR0[0,0.089]

        VaR000.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.0270.030凈收益率0.000 400.000 660.000 930.001 190.001 440.001 690.001 940.002 190.002 430.002 670.002 91VaR00.0330.0360.0390.0420.0450.0480.0510.0540.0570.0600.063凈收益率0.003 150.003 390.003 630.003 860.004 090.004 320.004 540.004 760.004 980.005 180.005 38VaR00.0660.0690.0720.0750.0780.0810.0840.0870.089凈收益率0.005 570.005 750.005 920.006 070.006 210.006 330.006 430.006 510.006 55

        由于交易成本、借款約束、上下界約束和基數(shù)約束等摩擦因素符合模型(9)的約束條件,所以,本文構(gòu)造樣本數(shù)據(jù)量m分別為100、200、500、1 000、2 000、4 000的隨機投資組合,并將此投資組合的樣本數(shù)據(jù)量代入收益導(dǎo)向的BCC-DEA模型(14)中,從而得到該模型的θ,并根據(jù)θ得到有效VaR.

        根據(jù)表2和表3,可以得到前沿面的對比(圖4),由圖可以看出:(1)隨著樣本數(shù)據(jù)量m的增大,DEA前沿面逐漸接近于真實前沿面. 根據(jù)DEA逼近性原理[25],當(dāng)樣本數(shù)據(jù)量足夠大時,所得到的前沿面與真實前沿面幾近重合,因此,可以近似地把樣本數(shù)據(jù)量足夠大的DEA前沿面視為真實前沿面. (2)當(dāng)風(fēng)險值小于0.03時,m=200,500,1 000,2 000,4 000的DEA前沿面差距不大,甚至幾乎重合,而m=100時前沿面較低;當(dāng)風(fēng)險值大于0.07時,m=2 000,4 000的前沿面出現(xiàn)拐點并呈現(xiàn)水平狀,而風(fēng)險值大于0.075時,m=100,200,500,1 000的前沿面也出現(xiàn)拐點并呈現(xiàn)水平狀,并不能很有效地接近理論上的真實前沿面.

        表3 模型(14)的不同風(fēng)險和樣本數(shù)據(jù)量下的凈收益率Table 3 The net return according to different risk and sample sizes in Model(14)

        圖4 投資組合7種前沿面

        3.2 結(jié)果分析

        針對上述計算結(jié)果所得到的結(jié)論,從樣本數(shù)據(jù)量出發(fā),對樣本收益率均值、不同樣本數(shù)據(jù)量下的凈收益率的分布和收斂效果、相關(guān)性以及增加樣本數(shù)據(jù)量的代價方面進行討論.

        (1)樣本收益率均值的分布分析. 由隨機選取的30只股票數(shù)據(jù)的實際收益率均值分布與正態(tài)收益率分布之間的差別(圖5)及統(tǒng)計所得到的偏度值(1.101 6)和峰度值(3.352 1)可以看出:至少有18只股票的收益率均值集中分布在[0.001 80,0.003 80]區(qū)間內(nèi),占比60%以上,這使得在考慮交易成本、借款約束、上下界約束和基數(shù)約束等實際約束條件下,后期計算不同樣本數(shù)據(jù)量的凈收益時,凈收益率會集中在這個區(qū)間.

        圖5 收益率均值分布

        (2)DEA前沿面的收斂效果分析. 本文從3個角度驗證不同樣本數(shù)據(jù)量下的DEA前沿面的收斂效果.

        其一,PEr、PEv和DEA效率值θ間的相關(guān)系數(shù)與收斂效果. 由真實前沿面得到的收益導(dǎo)向投資組合效率PEr、風(fēng)險導(dǎo)向投資組合效率PEv與DEA效率值θ間的相關(guān)系數(shù)(表4)可知:隨著樣本數(shù)據(jù)量的增加,PEr、PEv與θ間的相關(guān)系數(shù)越來越大,兩者之間差值越來越小,而由圖4可知構(gòu)造的前沿面越來越逼近真實前沿面,表明m越大,其收斂效果越好.

        表4 收益、風(fēng)險導(dǎo)向效率PEr、PEv與DEA效率值θ間的相關(guān)系數(shù)Table 4 The correlation coefficents between PEr or PEv and θ

        其二,收益率的差值與收斂效果. 由不同風(fēng)險和不同樣本數(shù)據(jù)量下的凈收益率與理想期望收益率的差值(表5)可以看出:在樣本數(shù)據(jù)量相同的情況下,隨著風(fēng)險水平的增加,凈收益率與理想期望收益率的差值逐漸增大;在風(fēng)險水平相同的情況下,隨著樣本數(shù)據(jù)量的增加,凈收益率與理想期望收益率的差值逐漸縮小,其中,在m=2 000,4 000時,此差值很小,且在2種風(fēng)險水平下差值相同,可見,DEA前沿面有逐漸接近真實前沿面的趨勢.

        表5 不同風(fēng)險和不同樣本數(shù)據(jù)量下的凈收益率與理想期望收益率的差值

        其三,凈收益率區(qū)間與收斂效果. 由表3和圖4可知:當(dāng)凈收益率rN在區(qū)間[0,0.003]區(qū)間內(nèi)取值時,不同樣本數(shù)據(jù)量下的分布區(qū)別不大,幾乎重合;在[0.004,0.006]區(qū)間內(nèi)取值時,m=200,500,1 000,2 000,4 000的凈收益率隨著樣本數(shù)據(jù)量的增加而逐漸增加,DEA前沿面逐漸接近真實前沿面;對比m=1 000與m=2 000、4 000的前沿面,隨著樣本數(shù)據(jù)量的增加,同一風(fēng)險水平所對應(yīng)的凈收益值會增多,其對應(yīng)的風(fēng)險更為連續(xù),即可以在更低的風(fēng)險水平下達到最大值,這使得m=2 000、4 000時前沿面出現(xiàn)拐點并呈現(xiàn)水平狀.

        凈收益率rN在m=2 000,4 000時取得最大值,但僅為0.005 57,這與真實前沿面理論下的最大收益率(rN=0.006 55)差距較大,即圖4中DEA前沿面的后段與真實前沿面差距較大,并不能很有效地接近理論真實的前沿面.

        (3)不同樣本數(shù)據(jù)量運行時間分析. 本文采用Windows7旗艦版系統(tǒng),CPU型號為Inter(R) Core(TM) i7-870,2.93 Hz. 由程序的運行時間(表6)可知:隨著樣本數(shù)據(jù)量的翻倍增加,運行時間呈幾何式增加. 在m=2 000,4 000時,相同的風(fēng)險水平下,其凈收益率與理想期望收益率的差值非常小,而運行時間由8 502.8 s增加到35 470.8 s,增長了約4.2倍,這種時間的代價和模擬效果的不匹配,給工作效率帶來巨大的困難. 因此,在研究諸如多種限制條件下的前沿面擬合效率問題時,可以基于合理假設(shè)適當(dāng)?shù)匦拚顿Y組合對應(yīng)取值的股票投資比例分布,以減少工作量,提高工作效率.

        表6 不同樣本數(shù)據(jù)量下的運行時間Table 6 The operation time for different sizes of sample data s

        4 結(jié)論

        考慮交易成本、借款約束、上下界約束和基數(shù)約束等實際約束條件,本文提出了均值-VaR投資組合優(yōu)化模型. 在投資組合真實前沿面為凹函數(shù)的前提下,將BCC-DEA模型作為投資組合的績效評價方法,根據(jù)逼近原理,將DEA前沿面與真實前沿面做對比. 結(jié)果顯示:(1)盡管投資組合樣本數(shù)據(jù)量不同時得到的前沿面的估計值也不同,但隨著樣本數(shù)據(jù)量的增大,DEA前沿面逐漸接近于真實前沿面. (2)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)量足夠大時,所得到的前沿面與真實前沿面幾近重合,可以近似地把樣本數(shù)據(jù)量足夠大的DEA前沿面作為真實前沿面. (3)在逼近過程中,原有的股票樣本組合的收益率均值分布呈現(xiàn)出不均勻性,使得不同樣本數(shù)據(jù)量下的DEA模型整體凈收益較大值的出現(xiàn)頻度進一步減少,整體凈收益較小的值差距不大且頻度較大,從而導(dǎo)致所得前沿面與真實前沿面差距較大,不能有效地接近真實前沿面.

        另外,由收益、風(fēng)險導(dǎo)向效率PEr、PEv與DEA效率值θ間的相關(guān)系數(shù)可知:(1)隨著樣本數(shù)據(jù)量的增大,兩者的相關(guān)系數(shù)越來越高,證明了本文構(gòu)造的DEA模型的有效性,樣本數(shù)據(jù)量和逼近效果的關(guān)系證明了其收斂性. (2)前沿面拐點較早地出現(xiàn),DEA前沿面靠近真實前沿面的趨勢變慢也進一步證明了收斂效果. 實證研究表明:當(dāng)樣本數(shù)據(jù)量足夠大的時候,構(gòu)造的樣本組合前沿面可以擬合達到理論最優(yōu)的真實前沿面;隨著數(shù)據(jù)的增加,程序耗時呈幾何式的增長,對工作效率影響較大.

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