強(qiáng)紅賓，薛大鵬，馮新宇，張立杰，2*

(1. 燕山大學(xué) 河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004；2. 燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

1 引 言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)精度高、慣性低等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于調(diào)姿機(jī)構(gòu)[1]、指向機(jī)構(gòu)[2]、加工制造設(shè)備等領(lǐng)域。但由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)制造及裝配過(guò)程中產(chǎn)生的誤差不可避免，導(dǎo)致并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理論運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)與實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)之間也存在一定的誤差，從而使并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)偏離理想軌跡，降低精度。通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)，可以提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度[3]。

運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定通常包括誤差模型、位姿測(cè)量、參數(shù)辨識(shí)和誤差補(bǔ)償四個(gè)環(huán)節(jié)[4]。誤差模型的研究主要包括誤差參數(shù)的選擇和基于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)、智能算法等模型的建立等。位姿測(cè)量主要包括測(cè)量工具的選擇和測(cè)量位姿的選擇等。參數(shù)辨識(shí)主要研究基于最小二乘法、牛頓迭代算法及智能算法的誤差參數(shù)求解。誤差補(bǔ)償包括對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的補(bǔ)償和對(duì)控制系統(tǒng)的補(bǔ)償。Gao等[5]建立了Stewart平臺(tái)基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的誤差模型，并采用激光跟蹤器LTD5OO進(jìn)行位姿測(cè)量。Li等[6]采用雙球棒(DBB)和三軸千分尺測(cè)量了三棱錐機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置，采用牛頓拉弗森迭代法和最小二乘法辨識(shí)出結(jié)構(gòu)參數(shù)。Wu等[7]先采用牛頓迭代對(duì)并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行初始誤差參數(shù)辨識(shí)，再采用遺傳算法進(jìn)行精細(xì)誤差參數(shù)辨識(shí)，得到了較高精度。

選擇合理的測(cè)量位姿可以提高運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定對(duì)測(cè)量噪音的魯棒性。測(cè)量位姿的選擇主要包括工作空間內(nèi)隨機(jī)選擇、工作空間內(nèi)均布選擇、基于正交理論的選擇等方法。文獻(xiàn)[8-9]在Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)隨機(jī)選取了多個(gè)測(cè)量位姿。吳江寧等[10]根據(jù)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間選取了7個(gè)測(cè)量位姿。Bai等[11]在Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的邊界選擇多個(gè)等距的姿態(tài)。GUO等[12]基于正交理論選擇6PUS并聯(lián)機(jī)械手的測(cè)量姿態(tài)。Sun等[13]基于三自由度旋轉(zhuǎn)并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡選擇測(cè)量位姿。

為了進(jìn)一步提高標(biāo)定對(duì)測(cè)量噪音的魯棒性，許多學(xué)者研究了基于辨識(shí)雅克比矩陣的可觀測(cè)性指標(biāo)最大化的測(cè)量配置選擇方法。文獻(xiàn)[14-19]提出了5個(gè)基于辨識(shí)雅克比矩陣的可觀測(cè)性指標(biāo)O1～O5。Daney等[20]采用局部收斂法和禁忌搜索法獲得了一組可觀測(cè)性指標(biāo)最大的測(cè)量位姿，并通過(guò)Stewart機(jī)構(gòu)的仿真驗(yàn)證了此測(cè)量位姿對(duì)傳感器測(cè)量噪聲的魯棒性有明顯提升。Zhang等[21]利用DETMAX算法和禁忌搜索算法，提出了一種高效的測(cè)量位姿選擇算法，并在5個(gè)可觀測(cè)性指標(biāo)下的仿真驗(yàn)證了該算法的有效性，結(jié)果表明通過(guò)所選測(cè)量位姿可以顯著提高標(biāo)定方法的魯棒性。Huang等[22]以可觀測(cè)性指標(biāo)O2最大化選取四自由度并聯(lián)機(jī)器人的測(cè)量位姿，通過(guò)標(biāo)定保證并聯(lián)機(jī)器人的定位和旋轉(zhuǎn)精度。Gao等[23]以可觀測(cè)性指標(biāo)O4最大化選取六自由度冗余驅(qū)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)器人的測(cè)量位姿。Saputra等[24]對(duì)Stewart平臺(tái)利用群智能搜索算法分別以前4個(gè)可觀測(cè)性指標(biāo)最大化搜索了測(cè)量位姿，并采用千分尺測(cè)量位姿完成了運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定。Joubair等[25-26]研究了機(jī)器人標(biāo)定中5項(xiàng)可觀測(cè)性指標(biāo)的有效性，結(jié)果表明不同可觀測(cè)性指標(biāo)對(duì)不同類(lèi)型的機(jī)器人標(biāo)定性能不同，整體來(lái)說(shuō)可觀測(cè)性指標(biāo)O1的性能更好一些。

采用與辨識(shí)雅可比矩陣相關(guān)的可觀測(cè)性指標(biāo)最大化的方法選擇測(cè)量位姿，可以提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定對(duì)傳感器測(cè)量噪聲的魯棒性。但是，辨識(shí)雅可比矩陣是并聯(lián)機(jī)構(gòu)位移和姿態(tài)的函數(shù)，且位移和姿態(tài)對(duì)應(yīng)的辨識(shí)雅可比矩陣中的元素的數(shù)量級(jí)不同。直接求解辨識(shí)雅可比矩陣求取性能指標(biāo)選擇出的位姿，其位置和姿態(tài)對(duì)測(cè)量噪音的魯棒性不同。因此，本文提出先對(duì)辨識(shí)雅可比矩陣拆分為位置誤差雅克比矩陣和姿態(tài)誤差雅克比矩陣，在通過(guò)特征長(zhǎng)度使位移和姿態(tài)對(duì)應(yīng)的辨識(shí)雅可比矩陣中的元素的數(shù)量級(jí)相同，再通過(guò)可觀測(cè)性指標(biāo)選擇測(cè)量位姿，保證位移和姿態(tài)對(duì)測(cè)量噪音具有相同的魯棒性。提高機(jī)構(gòu)的標(biāo)定整體性能和精度。

2 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)分析

圖1為Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。該機(jī)構(gòu)的基本構(gòu)件為靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和六個(gè)支腿。靜平臺(tái)固定，六個(gè)支腿為驅(qū)動(dòng)器，通過(guò)胡克鉸連接靜平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)，動(dòng)平臺(tái)為運(yùn)動(dòng)末端。支腿與靜平臺(tái)連接的鉸點(diǎn)為Ai(i=1，2，…，6)，與動(dòng)平臺(tái)連接的鉸點(diǎn)為Bi(i=1，2，…，6)。動(dòng)、靜平臺(tái)的胡克鉸分布如圖2所示。

鉸點(diǎn)Ai，Bi的坐標(biāo)ai，bi的表達(dá)式為：

ai=[RacosηiRasinηi0]，

(1)

bi=[RbcosφiRbsinφi0]，

(2)

圖1 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Structure diagram of Stewart parallel manipulator

式中：

2.1 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)為已知?jiǎng)悠脚_(tái)的位移和姿態(tài)求解六個(gè)支腿的長(zhǎng)度。支腿長(zhǎng)度的求解公式為：

li=Rbi+P-ai，

(3)

其中：P=[x，y，z]是動(dòng)平臺(tái)的位移。R為動(dòng)平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)矩陣，本文采用RPY角γ，β，α來(lái)表示，具體表達(dá)式為：

(4)

其中γ，β，α分別為動(dòng)平臺(tái)繞x軸，y軸，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

2.2 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

正運(yùn)動(dòng)學(xué)為已知6個(gè)支腿的長(zhǎng)度求解動(dòng)平臺(tái)的位移和姿態(tài)。正解公式為：

f(T)=‖(Rbi+p-ai)‖2-‖li‖2=0.

(5)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解可以通過(guò)公式(3)直接求解，而位置正解公式(5)由于包含非線性方程組卻相當(dāng)復(fù)雜。目前常用數(shù)值方法對(duì)公式(5)進(jìn)行求解。

3 誤差模型

對(duì)于Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)，每個(gè)分支有7 個(gè)誤差參數(shù)，包括上、下平臺(tái)的鉸點(diǎn)沿x，y，z3個(gè)方向的定位誤差和驅(qū)動(dòng)桿的軸向誤差，則6個(gè)分支共有42項(xiàng)誤差。則基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的誤差模型建立對(duì)公式(3)兩邊微分：

dliui+lidui=d(R)bi+Rdbi+dp-dai.

(6)

JTdT=Jede，

(7)

其中：

dT=[dxdydzdαdβdγ]T∈R6×1，

de=[dl1da1db1… dl6da6db6]T∈R42×1.

由于在六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)，JT為非奇異矩陣，則：

dT=Jde，

(8)

公式(8)即為單位姿運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，1個(gè)位姿可得到6個(gè)方程，理論上講只需測(cè)量7個(gè)位姿，即能構(gòu)造出42 個(gè)約束方程，辨識(shí)出機(jī)構(gòu)的42個(gè)誤差參數(shù)。實(shí)際標(biāo)定時(shí)由于測(cè)量噪音等的存在，需要測(cè)量m(m>7)個(gè)位姿，以便于更好地辨識(shí)誤差參數(shù)。則m個(gè)位姿的誤差模型為：

dTz=Jzde，

(9)

其中：Tz∈R6m×1，Jz∈R6m×42。

4 基于無(wú)量綱化辨識(shí)雅克比矩陣的

可觀測(cè)性指標(biāo)

為了提高測(cè)量位姿對(duì)測(cè)量噪音的魯棒性，我們希望誤差參數(shù)de的一個(gè)非常小的變化能夠?qū)ξ蛔苏`差dT產(chǎn)生盡可能大的影響，即‖dT‖/‖de‖盡可能大。

Nahvi等[18]利用辨識(shí)雅克比矩陣Jz的奇異值來(lái)表‖dT‖/‖de‖：

(10)

其中σL和σ1分別是辨識(shí)雅克比矩陣Jz的非零最小奇異值和最大奇異值。

從幾何角度看，如果定義de為一個(gè)單位球，那么dT為一個(gè)橢球體，其半軸為辨識(shí)雅克比矩陣的奇異值[18]，如圖3所示。通過(guò)擴(kuò)大橢球體的體積，可以提高標(biāo)定位姿誤差對(duì)參數(shù)誤差的靈敏度。

圖3 奇異值的幾何表示圖Fig.3 Geometric interpretation of singular values

4.1 可觀測(cè)性指標(biāo)

Menq和Borm[14-15]定義了第1個(gè)可觀測(cè)性指標(biāo)O1，辨識(shí)雅克比矩陣奇異值的幾何平均值。通過(guò)最大化O1，可以增加橢球體的體積[18]。根據(jù)指標(biāo)O1可以找到由機(jī)構(gòu)參數(shù)誤差導(dǎo)致位姿誤差最大的位姿，從而使參數(shù)估計(jì)的效果更好。該指標(biāo)的表達(dá)式如式(11)：

(11)

式中：m是測(cè)量位姿的數(shù)量，L為待識(shí)別的參數(shù)數(shù)量。

Driels和Pathre[16]提出了第2個(gè)指標(biāo)O2，辨識(shí)雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)。最大化O2，可以提高辨識(shí)雅克比矩陣奇異值的一致性，提高了橢圓偏心率。該指標(biāo)的表達(dá)式如式(12)：

O2=σL/σ1.

(12)

Nahvi和Hollerbach[17]提出了第3個(gè)指標(biāo)O3，辨識(shí)雅克比矩陣奇異值的最小值。最大化O3，會(huì)增加橢球的最小半徑和體積。使所選擇的校準(zhǔn)配置對(duì)參數(shù)誤差更敏感。該指標(biāo)的表達(dá)式如式(13)：

O3=σL.

(13)

Nahvi和Hollerbach[18]提出了第4個(gè)指標(biāo)O4，辨識(shí)雅可比矩陣的最小非零奇異值的平方除以最大奇異值。最大化O4，會(huì)增加橢球體的短軸，最大軸變小(即偏心率變小)。該指標(biāo)的表達(dá)式如式(14)：

(14)

Sun和Hollerbach[19]提出第5個(gè)指O5，辨識(shí)雅可比矩陣的非零奇異值的調(diào)和平均值。該指標(biāo)的表達(dá)式如式(15)：

(15)

4.2 辨識(shí)雅可比矩陣無(wú)量綱化

目前學(xué)者們采用辨識(shí)雅克比矩陣Jz的奇異值求解可觀測(cè)性指標(biāo)，但是辨識(shí)雅可比矩陣是位移和姿態(tài)的函數(shù)，但位移和姿態(tài)對(duì)應(yīng)的辨識(shí)雅可比矩陣中的元素的數(shù)量級(jí)不同，直接求解辨識(shí)雅可比矩陣得到可觀測(cè)性指標(biāo)，獲得的測(cè)量配置會(huì)導(dǎo)致位移和姿態(tài)對(duì)測(cè)量誤差的魯棒性不同。因此，本文提出先對(duì)辨識(shí)雅可比矩陣進(jìn)行無(wú)量綱化，再通過(guò)可觀測(cè)性指標(biāo)選擇測(cè)量位姿，保證位移和姿態(tài)對(duì)測(cè)量噪音具有相同的魯棒性。

根據(jù)誤差模型公式(8)，可以將動(dòng)平臺(tái)位置誤差矢量和姿態(tài)誤差矢量分開(kāi)表示：

(16)

式中：Jp∈R3×42為位置誤差傳遞子矩陣，Jp為J的前3行；Jθ∈R3×42為姿態(tài)誤差傳遞子矩陣，Jθ為J的后3行。

當(dāng)對(duì)m個(gè)位姿進(jìn)行測(cè)量時(shí)，位置誤差傳遞矩陣為Jpm∈R3m×42， 姿態(tài)誤差傳遞矩陣為Jθm∈R3m×42。為了使Jpm與Jθm中元素?cái)?shù)量級(jí)相等，對(duì)矩陣進(jìn)行無(wú)量綱化：

(17)

Jzg即為無(wú)量綱化辨識(shí)雅克比矩陣。將無(wú)量綱化的辨識(shí)雅克比矩陣Jzg代替原有的辨識(shí)雅克比矩陣Jz，去求解可觀測(cè)指標(biāo)Oi，再通過(guò)最大化指標(biāo)Oi選取測(cè)量位姿。

5 測(cè)量位姿選擇算法

許多學(xué)者對(duì)基于可觀測(cè)指標(biāo)Oi的位姿選擇算法進(jìn)行了研究。其中，Daney等[20]提出的局部收斂和禁忌搜索的方法，具有不易陷入局部最優(yōu)的特點(diǎn)。其工作原理及算法流程如圖4所示。

圖4 最優(yōu)位姿選擇流程圖Fig.4 Flow chart of selecting the measurement poses

(1)生成待選位姿Ω0。由于任務(wù)工作空間為、互相耦合的六維，直接生成的位姿點(diǎn)不一定位于工作空間內(nèi)，而關(guān)節(jié)空間是相互獨(dú)立的，因此通過(guò)關(guān)節(jié)空間6個(gè)桿長(zhǎng)n-1等分，產(chǎn)生n6個(gè)桿長(zhǎng)組合，再通過(guò)正解公式(2)獲得n6個(gè)位姿Ω0。

(2)設(shè)置初始位姿Ω1。在Ω0中任意選擇m個(gè)位姿作為初始位姿。

(5)終止條件。重復(fù)步驟(3)和步驟(4)，直到步驟(3)中添加的位姿T+為步驟(4)中被刪除的位姿T-。

6 數(shù)值仿真驗(yàn)證

6.1 仿真流程

仿真流程包括選擇位姿、生成測(cè)量位姿的測(cè)量值、基于牛頓迭代的參數(shù)辨識(shí)過(guò)程、誤差補(bǔ)償、檢驗(yàn)標(biāo)定結(jié)果，如圖5所示，詳細(xì)具體過(guò)程如下。

(1)選擇測(cè)量位姿。設(shè)定Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論結(jié)構(gòu)參數(shù)e(1)，根據(jù)圖4選擇測(cè)量位姿Tm，并通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解公式(3)得到測(cè)量位姿Tm的支腿長(zhǎng)度L0。

(2)生成測(cè)量位姿的測(cè)量值。設(shè)定并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差參數(shù)e0，與理論結(jié)構(gòu)參數(shù)e(1)相加得到實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)ea，根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)ea和支腿長(zhǎng)度L0正解出實(shí)際位姿Ta，在實(shí)際位姿Ta上添加測(cè)量噪聲Te獲得實(shí)際測(cè)量位姿Tam。

(4)誤差補(bǔ)償。直接對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行補(bǔ)償，將辨識(shí)結(jié)構(gòu)參數(shù)e(k+1)代替理論結(jié)構(gòu)參數(shù)e(1)。

(5)標(biāo)定結(jié)果檢驗(yàn)。隨機(jī)給定一組位姿Ts反解出支腿長(zhǎng)度，再根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)e0+e(1)正解出實(shí)際位姿TJ，通過(guò)實(shí)際位姿TJ減去位姿Ts得到誤差參數(shù)辨識(shí)補(bǔ)償后的位姿誤差dTs。

圖5 仿真流程圖Fig.5 Flowchart of simulation

通過(guò)比較基于Jzg選取測(cè)量位姿的Stewart穩(wěn)定平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定位姿誤差dTs與基于Jz選取測(cè)量位姿的標(biāo)定位姿誤差dTs的大小，來(lái)判斷哪種方法的標(biāo)定精度更高。此外，還可以通過(guò)判斷最終的迭代位姿誤差dT(k)的大小、最終辨識(shí)誤差e(k)-e(1)與實(shí)際設(shè)定誤差e0差值的大小，來(lái)判斷哪種方法的標(biāo)定精度更高。

6.2 數(shù)值驗(yàn)證

給定一組六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。對(duì)支腿進(jìn)行二等分，求出36個(gè)候選位姿。

表1 六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Theoretical structural parameters

設(shè)定標(biāo)定位姿數(shù)m=18。分別基于未無(wú)量綱化的雅克比矩陣Jz和無(wú)量綱化的雅克比矩陣Jzg以可觀測(cè)性指標(biāo)O1為指標(biāo)，根據(jù)圖4選取測(cè)量位姿，其中可觀測(cè)性指標(biāo)O1的迭代過(guò)程如圖6所示。

圖6 指標(biāo)O1的迭代過(guò)程Fig.6 Values of O1 in the iterative

迭代18次后均可達(dá)到可觀測(cè)性指標(biāo)O1的最大值。所選擇的測(cè)量位姿，如表2、表3所示。其中，對(duì)辨識(shí)雅克比矩陣進(jìn)行無(wú)量綱化時(shí)，位移對(duì)應(yīng)的辨識(shí)雅可比矩陣中的元素的數(shù)量比姿態(tài)大，特征長(zhǎng)度K=600。

表2 基于Jz選取的測(cè)量位姿Tab.2 Measurement poses base on Jz

表3 基于Jzg選取的測(cè)量位姿Tab.3 Measurement poses base on Jzg

設(shè)置結(jié)構(gòu)誤差參數(shù)e0，如表4所示，單位為毫米。正解求出18個(gè)實(shí)際位姿。設(shè)定3個(gè)水平的測(cè)量噪音，如表5所示。

表4 機(jī)構(gòu)誤差參數(shù)e0Tab.4 Structure parameter error e0

表5 3個(gè)水平的測(cè)量噪音Tab.5 Measurement sensor noise of three levels

圖7 位姿誤差和結(jié)構(gòu)誤差迭代過(guò)程Fig.7 Iterative process of pose and structure parameter error

在測(cè)量噪音1下，根據(jù)圖5迭代求解位姿誤差dT和結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差de，其迭代求解過(guò)程如圖7所示。迭代5次后迭代結(jié)果不再變化。表6給出了不同測(cè)量噪音下的辨識(shí)結(jié)果，其中P為位移，θ為姿態(tài)誤差，S為結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差。由表6可得，3種測(cè)量噪音下基于本文提出方法標(biāo)定的結(jié)構(gòu)參數(shù)精度相對(duì)于以前方法均有大幅提高，分別由1.007 5 mm提高到0.336 7 mm，0.100 9 mm提高到0.033 7 mm，0.010 1 mm提高到0.003 4 mm；三種測(cè)量噪音下基于本文提出方法標(biāo)定的位置精度相對(duì)于以前方法基本不變，但姿態(tài)精度有大幅提高，分別由0.015 2°提高到0.003 3°，0.003 3°提高到0.000 3°，0.000 15°提高到0.000 033°，證明了本文方法的有效性。

表6 不同測(cè)量噪音下的辨識(shí)結(jié)果Tab.6 Iterative results under different measurement sensor noise

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法的有效性，表7、表8分別給出基于Jz和Jzg的測(cè)量噪音2下的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差標(biāo)定結(jié)果，并對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行補(bǔ)償。隨機(jī)給定60組位姿，計(jì)算出位姿誤差，如圖8所示。可以看出位置精度基本不變，姿態(tài)精度大幅提高。

表7 基于Jz的測(cè)量噪音2下結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差標(biāo)定結(jié)果Tab.7 Identified structural parameter error base on Jz

表8 基于Jzg的測(cè)量噪音2下結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差標(biāo)定結(jié)果Tab.8 Identified structural parameter error base on Jzg

圖8 60組隨機(jī)位姿下的位姿誤差

表9～表12給出了基于可觀測(cè)性指標(biāo)O2～O5選取測(cè)量位姿的標(biāo)定結(jié)果。由表9～表12可得，不同可觀測(cè)性指標(biāo)下，基于本文提出方法標(biāo)定的位置精度相對(duì)于以前方法基本不變或有所下降，但姿態(tài)精度和結(jié)構(gòu)參數(shù)精度均有大幅提高，證明了本文方法的有效性。

表9 基于可觀測(cè)性指標(biāo)O2的辨識(shí)結(jié)果Tab.9 Iterative results under observability index O2

表10 基于可觀測(cè)性指標(biāo)O3的辨識(shí)結(jié)果Tab.10 Iterative results under observability index O3

表11 基于可觀測(cè)性指標(biāo)O4的辨識(shí)結(jié)果Tab.11 Iterative results under observability index O4

表12 基于可觀測(cè)性指標(biāo)O5的辨識(shí)結(jié)果Tab.12 Iterative results under observability index O5

7 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

標(biāo)定實(shí)驗(yàn)與標(biāo)定仿真的流程相同，主要包括選擇測(cè)量位姿、牛頓迭代求解辨識(shí)參數(shù)、誤差補(bǔ)償和檢驗(yàn)標(biāo)定結(jié)果。其中，對(duì)于測(cè)量位姿的選擇，Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理論結(jié)構(gòu)參數(shù)與仿真設(shè)定的結(jié)構(gòu)參數(shù)相同，因此選用表3基于Jzg選取的測(cè)量位姿作為標(biāo)定實(shí)驗(yàn)的測(cè)量位姿。

對(duì)于測(cè)量位姿，本實(shí)驗(yàn)采用徠卡AT960激光跟蹤儀(定位精度為5 μm+6 μm/m)對(duì)Stewart穩(wěn)定平臺(tái)進(jìn)行位姿測(cè)量，首先測(cè)量出上平臺(tái)坐標(biāo)系{p}和下平臺(tái)坐標(biāo)系{e}位于激光跟蹤儀坐標(biāo)系{g}中的位姿，然后再通過(guò)坐標(biāo)變換獲得上平臺(tái)坐標(biāo)系{p}相對(duì)于下平臺(tái)坐標(biāo)系{e}的位姿，如圖9所示。

圖9 基于激光跟蹤儀的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)Fig.9 Calibration experiment using a laser tracker

激光跟蹤儀只能測(cè)量空間某一點(diǎn)位于激光跟蹤儀坐標(biāo)系中的位置，需要上、下平臺(tái)上多個(gè)測(cè)量點(diǎn)才能計(jì)算出上平臺(tái)坐標(biāo)系{p}和下平臺(tái)坐標(biāo)系{e}位于激光跟蹤儀坐標(biāo)系{g}中的位姿。穩(wěn)定平臺(tái)的上平臺(tái)坐標(biāo)系{p}、下平臺(tái)坐標(biāo)系{e}和測(cè)量點(diǎn)分布，如圖10所示。

圖10 上下平臺(tái)的測(cè)量點(diǎn)分布Fig.10 Measurement point distribution of the platform

(18)

(19)

式中：Atan 2(x，y)是雙變量反正切函數(shù)，γ為繞x軸的轉(zhuǎn)角，β為繞y軸的轉(zhuǎn)角，α為繞z軸的轉(zhuǎn)角。

根據(jù)測(cè)量得到的位姿與理論位姿的差值進(jìn)行牛頓迭代求解，辨識(shí)出機(jī)構(gòu)參數(shù)的誤差值，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)模型補(bǔ)償。隨機(jī)給出20組位姿，進(jìn)行標(biāo)定結(jié)果的檢驗(yàn)，圖11給出了標(biāo)定前后的位姿誤差。位置和姿態(tài)誤差的均值分別從2.321 mm降至0.242 mm，0.246°降至0.025°。標(biāo)定后的位姿精度有了明顯提高，但距離仿真標(biāo)定精度還有差距，主要是本文沒(méi)有考慮關(guān)節(jié)間隙、機(jī)構(gòu)剛度、位姿控制精度等對(duì)位姿誤差的影響。

圖11 位姿誤差標(biāo)定前后對(duì)比Fig.11 Pose error contrast before and after calibration

8 結(jié) 論

本文提出對(duì)辨識(shí)雅克比矩陣進(jìn)行無(wú)量綱化，再根據(jù)基于無(wú)量綱化辨識(shí)雅克比矩陣的可觀測(cè)性指標(biāo)選擇測(cè)量位姿，保證位移和姿態(tài)對(duì)測(cè)量噪音具有相同的魯棒性。通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了，3種測(cè)量噪音下該方法標(biāo)定的結(jié)構(gòu)參數(shù)精度相對(duì)于傳統(tǒng)方法均有大幅提高；該方法標(biāo)定的位置精度相對(duì)于傳統(tǒng)方法基本不變，但姿態(tài)精度有大幅提高，證明了該方法的有效性。

在以該方法選取的測(cè)量位姿對(duì)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的標(biāo)定試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，位姿精度有了明顯提高，但距離仿真標(biāo)定精度還有差距，主要是本文沒(méi)有考慮關(guān)節(jié)間隙、機(jī)構(gòu)剛度、位姿控制精度等對(duì)位姿誤差的影響，后續(xù)將對(duì)其進(jìn)行研究，以提高標(biāo)定試驗(yàn)精度。