邢靜忠，石立騰，姚云鵬，陳曉霞

(天津工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300387)

1 引 言

諧波齒輪是基于彈性變形原理發(fā)展起來的一種新型的機械傳動裝置，其中波發(fā)生器使柔輪產(chǎn)生可控的彈性變形并與剛輪嚙合實現(xiàn)運動和力的傳遞。諧波減速器具有傳動比大、傳動精度高、回差小等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于機器人、雷達及航空航天等精密傳動領(lǐng)域[1-3]。諧波齒輪獨特的工作原理使其傳動精度、負載能力與輪齒齒廓、柔輪變形密切相關(guān)。齒圈中面曲線的準確表達[4-5]是齒廓設(shè)計的基礎(chǔ)，對諧波齒輪的研究至關(guān)重要。

諧波齒輪傳動裝置的創(chuàng)始人Musser在進行齒廓設(shè)計時僅把柔輪中面曲線(中性線)變形考慮為沿徑向的移動，未考慮周向移動和法線轉(zhuǎn)動[1]。目前對計算截面上柔輪中面曲線變形普遍采用基于力學(xué)小變形假定下的圓環(huán)理論以徑向位移、周向位移和法線轉(zhuǎn)角來表達[6]，這種方法對柔輪變形進行了全面分解，是一種較為準確地近似計算方法。

陳曉霞等[7]提出一種基于柔輪裝配變形的共軛精確算法，用于求解周向位移引起的轉(zhuǎn)角以及齒廓對稱線相對于徑矢的轉(zhuǎn)角。為進一步描述柔輪變形，Chen等[8]基于胡克定律提出由周向力引起的周向伸長對中面曲線變形的影響。Dong等[9]通過雙三次樣條函數(shù)對有限元接觸分析模型所得柔輪變形離散數(shù)據(jù)進行擬合得出變形函數(shù)。楊勇等[10]提出一種基于柔輪彈性變形和運動學(xué)關(guān)系的共軛精確算法，用于求解橢圓波發(fā)生器作用下柔輪中面曲線的變形函數(shù)。Ma等[11]提出一種研究驅(qū)動速度對柔輪變形特性影響的試驗方法，為柔輪變形在運動學(xué)方面的研究提供了實驗依據(jù)。

上述研究中對柔輪變形的研究分別基于圓環(huán)理論、有限元分析和實驗。通過把變形分解為徑向位移、周向位移和法線轉(zhuǎn)角進行求解，疊加在變形前的模型上表示最終形狀。此類方法雖然簡化了計算，但是忽略了力學(xué)小變形假定帶來的誤差。并且疊加順序不同也將對極角結(jié)果產(chǎn)生不同的影響。

凸輪類波發(fā)生器是目前應(yīng)用最普遍的一種結(jié)構(gòu)形式。現(xiàn)有計算理論求解獲得的雙偏心圓弧凸輪波發(fā)生器作用下的圓環(huán)在包角內(nèi)的中面曲線曲率半徑并非恒值。這種顯然與自身模型相矛盾的現(xiàn)象，主要源于曲率計算應(yīng)用了近似公式。已有研究[8]還發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)有理論計算中的中面曲線存在遠大于實際的周向伸長。這兩種情況下徑向和周向位置的近似表達，會顯著影響后續(xù)齒廓設(shè)計和嚙合性能評價。

柔輪齒圈中面曲線變形前為圓環(huán)，在雙偏心圓弧凸輪波發(fā)生器作用下，柔輪中面曲線在長軸處固定，在短軸處所受力和彎矩的作用下中面曲線逐漸緊密貼合在理論計算圓弧上形成一定包角的接觸區(qū)。柔輪變形量相對于齒圈壁厚屬于大變形問題范疇，且涉及接觸力學(xué)問題。在包角較大時，大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)問題中普遍采用的線性能量法顯現(xiàn)出局限性。力學(xué)大變形求解復(fù)雜且有限元大變形求解也需耗費大量機時。因此，本文將變形貼合過程分解為兩段分別處理，包角內(nèi)按照等距線直接固定在凸輪上，其中包角為未知量，只保留包角外的變形段進行小變形研究。通過基于變形后的形狀在端點處的斜率和曲率條件，采用多項式曲線來擬合中面曲線。并基于變形后中面曲線的長度變化，獲得其在包角外的曲線形狀。

2 諧波齒輪柔輪變形模型

在未裝配時，柔輪齒圈中面曲線是以O(shè)2為圓心，rm為半徑的圓弧AC(虛線)；在裝配凸輪后，圓弧段AC發(fā)生變形，分為接觸區(qū)CB′和非接觸區(qū)B′A′(如圖1)。柔輪變形后的回轉(zhuǎn)中心為O1，接觸區(qū)圓弧CB′(實線)緊貼在以O(shè)3為圓心R為半徑的波發(fā)生器理論計算圓弧上；非接觸區(qū)為光滑曲線B′A′段(實線)；e為圓弧的偏心距；u0為柔輪長軸處的最大徑向位移；γ為柔輪關(guān)于O1對波發(fā)生器的包角；φ為以y軸為起始關(guān)于O1的極角；M1和N1分別為柔輪中面曲線A′處的彎矩和周向力，由柔輪變形的對稱性可得，A′處的剪力為零。

圖1 柔輪中面曲線變形圖Fig.1 Deformation diagram of flexspline neutral line

2.1 柔輪變形模型各參數(shù)的關(guān)系

根據(jù)諧波齒輪傳動裝置的結(jié)構(gòu)特征，波發(fā)生器理論計算圓弧的半徑為R=R1+sc+s1/2，其中R1為圓弧半徑，sc為襯環(huán)厚度，s1為柔輪齒圈厚度；偏心距為e=rm+u0-R。依據(jù)弧長條件，包角γ轉(zhuǎn)換到未裝配時圓弧AC上，所對應(yīng)的包角為：

γ0=γ1R/rm.

(1)

根據(jù)圖1的幾何關(guān)系，接觸區(qū)圓弧CB′段在圓弧上所圍弧度為：

γ1=γ+arcsin[(esinγ)/R]，

(2)

則接觸區(qū)CB′弧長為：

CB′=γ1R.

(3)

在平面直角坐標系O1-xy中，設(shè)點B′的坐標為 (xB′，yB′)，根據(jù)幾何關(guān)系可知：

xB′=Rsinγ1，yB′=e+Rcosγ1.

(4)

3 柔輪中面曲線變形函數(shù)

如前所述，現(xiàn)有的理論計算方法不能保證足夠的求解精度。為盡可能地準確求解出包角以及柔輪中面曲線變形后的幾何形狀，采用幾何學(xué)方法對力學(xué)小變形假設(shè)理論表達的柔輪變形進行幾何特征擬合。以O(shè)1為坐標原點，O1B′所在直線為y1軸建立平面直角坐標系O-x1y1如圖1所示。

3.1 接觸區(qū)變形函數(shù)

由圖1可知，接觸區(qū)CB′段的函數(shù)：

x2+(y-e)2=R2，x∈[0，xB′]，

(5)

式中xB′為關(guān)于包角γ的函數(shù)。在該幾何特征擬合表達法中包角γ為未知量，需要和后續(xù)非接觸區(qū)變形函數(shù)表達式進行聯(lián)立求解。

3.2 非接觸區(qū)變形函數(shù)

依據(jù)圖1可知，接觸區(qū)CB′圓弧段和非接觸區(qū)B′A′曲線段在平面直角坐標系O1-xy中的極角范圍分別為0≤φ≤γ和γ≤φ≤π/2，其中φ角的起始點在y軸上方向如圖1所示。由于柔輪齒圈中面曲線非接觸區(qū)B′A′段為光滑曲線且滿足一定的約束條件，為了方便數(shù)學(xué)模型建立和求解，故設(shè)該曲線段的表達式在平面直角坐標系O-x1y1中為極坐標形式的多項式函數(shù)。其中θ角的起始點在y1軸上的方向如圖1所示，記作η=π/2-γ，則極坐標形式的多項式函數(shù)為：

(6)

依據(jù)圖1的幾何關(guān)系和波發(fā)生器類型，可得非接觸區(qū)B′A′曲線段的6個幾何約束條件：B′處的連續(xù)性條件；B′處的光滑(斜率)條件；B′處的曲率條件；A′處的斜率條件；A′處的曲率條件；非接觸區(qū)的弧長條件。

為了唯一確定式(6)中的系數(shù)，約束方程個數(shù)應(yīng)等于未知量的個數(shù)。由于包角γ為未知量，故只能確定式(6)中的5個系數(shù)，即n=4。根據(jù)式(6)，可得非接觸區(qū)極坐標形式的多項式函數(shù)如式(7)所示：

(7)

式(7)關(guān)于θ的一階、二階導(dǎo)數(shù)分別為：

(8)

(9)

對上述6個約束條件分別建立約束方程：

(1)B′處的連續(xù)性條件

根據(jù)連續(xù)性條件，點B′為接觸區(qū)與非接觸區(qū)的分界點，即點B′在式(7)和式(4)中的坐標位置相同：

(10)

根據(jù)式(10)和圖1中的幾何關(guān)系有：

(11)

(2)B′處的光滑(斜率)條件

由于在雙偏心圓弧凸輪波發(fā)生器的作用下，接觸區(qū)CB′圓弧段與非接觸區(qū)B′A′段在點B′處光滑連接?？芍獌汕€段在點B′處的斜率相等，即k1=k2。根據(jù)圖1的幾何關(guān)系，在坐標系O-x1y1中接觸區(qū)CB′段在點B′處的斜率為k1=-tan(γ1-γ)；非接觸區(qū)B′A′段在B′處的斜率為k2，則依據(jù)式(7)可得：

(12)

式中，x1=ρsinθ，y1=ρcosθ。

在θ=0時，聯(lián)立式(7)、式(8)和式(12)可得：

C1=-C0tan(γ1-γ).

(13)

(3)B′處的曲率條件

由于接觸區(qū)CB′段半徑為R，其曲率半徑為R1，則R1=R；非接觸區(qū)B′A′段在B′處的曲率半徑為R2。根據(jù)柔輪齒圈中面曲線變形特征兩曲線段在點B′處的曲率半徑相等，即R1=R2。B′A′段在式(7)表達下，其任意位置的曲率半徑：

(14)

依據(jù)式(9)可得，ρ″(0)=2C2，則點B′處的曲率半徑為：

(15)

由式(15)可得：

(16)

(4)A′處的斜率條件

根據(jù)柔輪齒圈中面曲線變形特征整個齒圈中面曲線為光滑連續(xù)的曲線，點A′處于短軸處，則該點處的切線與x軸垂直。根據(jù)圖1，在坐標系O-x1y1中點A′處的斜率kA′=-1/tanγ，則式(7)所求該點處的斜率：

(17)

由式(17)得：

(18)

(5)A′處的曲率條件

由于柔輪中面曲線變形問題屬于力學(xué)大變形和接觸問題，對于變形后短軸處點A′的精確位置求解相當復(fù)雜，故對該點處做近似處理。為減小近似處理帶來的誤差，取力學(xué)小變形假定條件下短軸處的曲率作為約束條件。

力學(xué)小變形假設(shè)條件下的位移疊加表達法對柔輪齒圈中面曲線的變形計算，通常取u0，rm和R為已知量，包角γs為未知量。由式(19)求解包角γs，即：

(19)

式中：A1=η1-sinγscosγs，B1=(4/π)(cosγs-η1sinγs)，η1=π/2-γs。

在位移疊加表達法中柔輪齒圈中面曲線非接觸區(qū)在極角φ處的徑向位移u(φ)和極徑ρ1分別為：

(20)

ρ1=ρ1(φ)=rm+u(φ).

(21)

式(21)關(guān)于φ的一階、二階導(dǎo)數(shù)分別為：

(22)

(23)

在極角φ=π/2的點A′處，通過位移疊加表達法求得曲率半徑為：

(24)

非接觸區(qū)B′A′段在極坐標形式的式(7)表達下，由式(14)求得在點A′(即坐標系O-x1y1中θ=π/2-γ)處的曲率半徑為：

(25)

式中：A2=[ρ2(η)+ρ′2(η)]3/2，B2=ρ2(η)+2ρ′2(η)-ρ(η)ρ″(η)。

綜上可知，式(11)、式(13)、式(16)、式(18)和式(25)均為關(guān)于包角γ的函數(shù)。將式(11)、式(13)、式(16)和式(18)代入式(25)可得只含未知量C4和包角γ的非線性方程，記為：

C4=g(γ).

(26)

(6)非接觸區(qū)的弧長條件

在坐標系O-x1y1中非接觸區(qū)B′A′段弧長由多項式函數(shù)式(7)求解得：

(27)

基于柔輪齒圈中面曲線變形前后伸長條件，四分之一模型中柔輪中面曲線總伸長量ΔS為[3]：

(28)

聯(lián)立式(3)、式(27)和式(28)得，

(29)

式(29)為含未知量C4和包角γ的非線性方程。

聯(lián)立式(26)和式(29)，以包角γ為迭代變量，通過迭代進行求解。由式(19)求出小變形假設(shè)條件下的包角γs，可以縮小迭代包角γ取值范圍，進而減少所需迭代次數(shù)。

4 模型求解與驗證

4.1 雙偏心圓弧凸輪波發(fā)生器和圓環(huán)接觸模型

為減少模型參數(shù)對求解結(jié)果的影響，采用控制變量法選取算例，依據(jù)式(19)把柔輪齒圈中面曲線半徑和最大徑向位移設(shè)置為定值，改變圓弧的計算半徑從而產(chǎn)生不同包角的模型。本文選取15個波發(fā)生器作用下的算例如表1所示。中面曲線半徑rm= 61.7 mm，最大徑向位移u0=0.7 mm，柔輪齒圈厚度s1=1.4 mm。

表1 不同包角的算例參數(shù)Tab.1 Illustration parameters under different wrap angles

4.2 幾何特征擬合法對模型求解

依據(jù)表1中各算例的參數(shù)(除小變形理論包角γs以外)聯(lián)立式(26)和式(29)進行迭代求解，結(jié)果如表2所示，其中中面曲線弧長迭代誤差限ε=1×10-6。

4.3 有限元模型驗證

由本文所研究對象為柔輪齒圈理論計算截面中面曲線變形屬于平面問題，在ANSYS中建立齒圈和波發(fā)生器的有限元分析接觸模型，通過設(shè)置位移載荷使該有限元模型屬于平面變形沒有錐度的變化并分別打開大變形和小變形開關(guān)進行求解。提取各算例在有限元分析(Finite Element Amalysis，F(xiàn)EA)模型中柔輪齒圈的接觸比壓，選取接觸比壓的波峰所在的極角作為模型的包角與理論解進行對比分析。

表2 不同包角算例的計算結(jié)果Tab.2 Results under the specified wrap angles

力學(xué)小變形理論的位移疊加表達解和FEA解中的極角是相對于變形前的柔輪回轉(zhuǎn)中心O2如圖1所示，為了方便進行比較對本文方法求解的包角γ由式(1)和式(2)轉(zhuǎn)換為γ0。

圖2 不同模型在4種求解方法下所求包角Fig.2 Wrap angles of different models from four methods

由于柔輪的變形屬于大變形接觸問題，相比于其他小變形理論FEA大變形結(jié)果更接近實際，以其求解結(jié)果作為分析基準。為了比較直觀地反應(yīng)不同理論求解的差異，對FEA大變形所求包角與其它方法所求包角做差如圖2所示，其中橫坐標表示本文方法所求不同模型的包角。

從圖2可知，隨著模型包角的增大，位移疊加表達法的理論結(jié)果和FEA小變形的數(shù)值結(jié)果與FEA大變形的偏差越來越大。而本文方法的結(jié)果和FEA大變形的結(jié)果基本相同；在模型包角小于25°左右時位移疊加表達法和FEA小變形結(jié)果所求包角偏差分別穩(wěn)定在1°和0.5°左右，而本文方法在此范圍內(nèi)具有顯著偏差。

由于各算例下中面曲線變形后長軸長相等，為了進一步分析和驗證各種理論方法適用性，對各模型在不同計算方法下的中面曲線變形后的短軸長進行分析比較，求解結(jié)果如圖3所示。其中橫坐標表示本文方法所求不同模型的包角。

由圖3看出，隨著模型包角的增大，短軸極徑的FEA小變形解和位移疊加表達法解與FEA大變形的結(jié)果偏差越來越大；本文方法的結(jié)果在模型包角約小于65°時與FEA大變形的偏差隨模型包角的增大而減小，且包角在25°～65°之間的模型的結(jié)果與FEA大變形結(jié)果基本相同。

由于諧波減速器屬于精密傳動裝置，有必要對小變形理論假設(shè)下的位移疊加表達法引起的輪齒定位偏差進行分析。

圖3 不同模型在4種求解方法下所求短軸長度Fig.3 Short axis sizes of different models from four methods

4.4 柔輪輪齒定位參數(shù)偏差分析

目前對柔輪輪齒的定位普遍采用變形后的柔輪齒圈中面曲線與輪齒對稱線的交點作為定位點[12-14]。在上述方法的基礎(chǔ)上對FEA大變形、FEA小變形、位移疊加表達法和本文方法的輪齒定位精度進行對比分析。對變形前的齒圈中面曲線圓環(huán)以等弧長進行等分選取定位點[15]，按照位置參數(shù)極角和極徑，分別對上述4種方法下各個輪齒定位點在變形后的位置進行比較。由上述分析可知，本文方法在模型包角在25°～65°時具有較高求解精度。

最低裝配應(yīng)力的最合理包角為20.72°[3]。這里選擇30°包角為例，驗證本文算法給出的定位參數(shù)：極角(如圖4)和極徑(如圖5)。并以FEA大變形為基準與其他方法求解的輪齒定位參數(shù)做差，橫軸是變形前圓環(huán)上輪齒定位點的極角坐標。

由圖4看出，4種方法在短軸和長軸處輪齒定位極角幾乎沒有偏差，其中本文方法的結(jié)果在整個區(qū)間偏差幾乎為零；FEA小變形在包角內(nèi)的偏差小于0.001°，隨著變形前定位點極角的增大，在62.5°左右時偏差達到最大值約為0.004°；位移疊加表達法結(jié)果在20°左右時達到包角內(nèi)偏差最大值約為0.001 6°，極角坐標為65°左右時達到整個區(qū)間偏差的最大值約為0.005 8°。

圖4 4種方法給出的包角30°算例的極角Fig.4 Polar angles of the 30° wrap angle example in four methods

從圖5可以看出，在包角內(nèi)FEA小變形和本文方法所求極徑偏差幾乎為0，位移疊加表達法極徑偏差最大并隨極角的增大而增大；在包角外本文方法結(jié)果偏差相對穩(wěn)定且小于0.001 mm，而FEA小變形和位移疊加表達法極徑的偏差隨極角坐標的增大而增大，在短軸處極徑偏差達到最大值。

圖5 4種方法給出的包角30°算例的極徑Fig.5 Radial length of 30° wrap angle example in four methods

5 結(jié) 論

提出基于變形后的形狀對裝配狀態(tài)下理論計算截面柔輪齒圈中面曲線變形進行表達，推導(dǎo)出接觸區(qū)和非接觸區(qū)變形函數(shù)表達式，并解出包角。模型包角約小于25°時小變形理論假設(shè)下的位移疊加表達法具有較高求的求解精度；在模型包角在25°～65°之間時本文方法與FEA大變形結(jié)果基本相同，具有較高的求解精度。相比位移疊加表達法的計算結(jié)果，在模型包角為30°算例中本文方法求解的極角偏差降低了約0.006°，極徑偏差降低了約0.013 mm。