涂玉霞 張淑芳

著名數(shù)學(xué)大師陳省身先生說，數(shù)學(xué)好玩。但對于大多數(shù)孩子而言，數(shù)學(xué)是枯燥的、乏味的、艱深的，想讓他們愛上數(shù)學(xué)，那真的是一大難題。

沒有辦法解決嗎？實(shí)際上，每個(gè)人都有天生的好奇心和求知欲，我們?nèi)绻軌蚨嘟o孩子們提供適合的學(xué)習(xí)材料，就會(huì)得到較好的改觀。如魔術(shù)，它具有新穎和神奇的特點(diǎn)，孩子們都很喜歡。我們不妨從魔術(shù)里尋找數(shù)學(xué)，或者在數(shù)學(xué)里去創(chuàng)造魔術(shù)，讓學(xué)生去想，去揭秘。在積極思考中，讓他們的大腦得到真正的鍛煉，把所領(lǐng)悟的知識、方法和思想運(yùn)用到解決問題中去。為此，原汁數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)編印了《100個(gè)原汁數(shù)學(xué)小魔術(shù)》學(xué)習(xí)材料，使之成為教師的教學(xué)素材。

當(dāng)然，大腦對于信息的刺激、接受和處理，有著極其嚴(yán)密的規(guī)律。我們的研究只不過是在試圖找到這個(gè)規(guī)律，為學(xué)生在增長智慧的路上指明一個(gè)方向。下面，以一個(gè)數(shù)學(xué)魔術(shù)的教學(xué)例子和三個(gè)數(shù)學(xué)魔術(shù)進(jìn)行說明，期望能夠與大家共同探討。

一、用代數(shù)思想來給魔術(shù)揭秘活動(dòng)簡錄

1.活動(dòng)預(yù)熱，滲透思想

【魔術(shù)之一】猜生日

師：同學(xué)們好?。ㄗ呱锨芭c一學(xué)生握手）來，握握手，成為好朋友。你多大了？

生：12歲。

師：你知道老師比你大幾歲嗎？

生：不知道。

師：不知道可以用什么表示？

生：x。

師：那老師的年齡是多少歲？

生：12+x。

師：既然是好朋友，我特別想知道你們的生日是幾月幾日。我有個(gè)神奇的本領(lǐng)，不用你告訴我，我就能夠猜出你們的生日。當(dāng)然，要請你們幫我做一件事：把你們的生日月份乘4，再加上9，然后把和乘25，再加上日期。（在幾名學(xué)生匯報(bào)計(jì)算結(jié)果后，教師快速說出他們的生日是幾月幾日，學(xué)生們很好奇）

師：這是一個(gè)猜生日的魔術(shù)，里面隱藏著秘密。今天讓我們以數(shù)學(xué)家的眼光來給魔術(shù)揭秘。

學(xué)習(xí)需要真實(shí)發(fā)生，產(chǎn)生關(guān)聯(lián)感，只有當(dāng)新舊知識實(shí)現(xiàn)了有效聯(lián)結(jié)，師生之間實(shí)現(xiàn)了溝通融合，知識的根才能生長出來。

2.思維碰撞，感悟思想

（1）嘗試代換

師：當(dāng)我不知道同學(xué)們生日是幾月幾日的時(shí)候，我在心里是如何列式子的？請大家?guī)臀伊幸涣小?/p>

①（4a+9）×25+b② ? ?4x+9×25+y

③（4x+9）×25+y ④（4x+9）×25+x

教師將學(xué)生列出的有代表性的式子進(jìn)行分析。①和③都是正確的;②沒有將和乘25;④中兩個(gè)未知數(shù)一個(gè)表示月份，一個(gè)表示日期，應(yīng)該用不同的字母表示。因此得出結(jié)論，用字母來表示月份和日期，列出式子，如：（4a+9）×25+b=100a+225+b。減去225后，剩下100a+b，則b就是日期，a就是月份。用同一個(gè)字母可以表示同一類未知的數(shù)據(jù)，可以幫助我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（2）轉(zhuǎn)化應(yīng)用

【魔術(shù)之二】稱撲克

師：我說我能夠用手稱出撲克牌的張數(shù)，你們相信嗎？（學(xué)生搖頭，但表示很好奇）讓你們來見證一下奇跡誕生的時(shí)刻。我請一位同學(xué)隨便從桌上這副牌中拿走一摞，然后數(shù)一數(shù)拿走了多少張，將張數(shù)的個(gè)位數(shù)字加上十位數(shù)字，和是幾就放幾張牌在原來那摞牌上。我就能夠稱出桌上這副牌還有多少張。（學(xué)生拿走牌后，再放牌，老師一稱，報(bào)出數(shù)據(jù)，果然一張不差，學(xué)生驚呼）

師：老師真的會(huì)稱牌嗎？變魔術(shù)的過程可否像剛才那樣用式子呈現(xiàn)出來？

學(xué)生設(shè)十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，再列出算式：10a+b-（a+b）=9a，發(fā)現(xiàn)桌上的牌一定是9的倍數(shù)，有9、18、27、36、45這幾種可能，通過目測，看看厚度，就知道有多少張。結(jié)論是十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字均可以用字母來表示。

（3）延伸創(chuàng)造

【魔術(shù)之三】神機(jī)妙算

師：請你們?nèi)我鈱懸粋€(gè)兩位數(shù)，不要讓我看見，你們只需要把它乘167，然后把計(jì)算結(jié)果的后兩位數(shù)告訴我，我就能算出這個(gè)兩位數(shù)是幾。

生：54。

師：你寫的這個(gè)兩位數(shù)是62。老師是胡亂猜的嗎？那是靠什么算出來的？前面兩個(gè)魔術(shù)都是用字母表示數(shù)來幫助我們找到秘密的，假如把這個(gè)兩位數(shù)用a來表示，把積再乘3，你們發(fā)現(xiàn)了什么？因?yàn)?67×a×3=501a，所以積的后面兩位數(shù)一定就是a。因此，把結(jié)果乘3，就能發(fā)現(xiàn)a是多少了。還有哪些數(shù)也有這樣的特征？你們能夠創(chuàng)造一個(gè)這樣的魔術(shù)嗎？

通過運(yùn)用這樣的材料，可以讓學(xué)生在思考和交流中，在掌握知識技能的同時(shí)，理解知識的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想，積累思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3.體會(huì)意義，提煉思想

師：有人說，魔術(shù)是忽悠人的。但會(huì)觀察和分析的人，總喜歡去思考魔術(shù)是如何來忽悠我們的。（梳理）遇到不知道的數(shù)或者復(fù)雜的問題，用字母代入，可以讓問題變得清晰明了。用數(shù)學(xué)的眼光看待生活，就不會(huì)盲目相信。（提升）數(shù)學(xué)有魔力，字母作用大。愛因斯坦說宇宙最不可理解之處是它是可理解的。當(dāng)數(shù)學(xué)魔術(shù)遇見了“數(shù)學(xué)家”，神奇的魔術(shù)也只好乖乖地露出真面目。所有神奇的背后，都有規(guī)律可循。

獲得知識的鑰匙，獲得情感的體驗(yàn)，激發(fā)后續(xù)學(xué)習(xí)的動(dòng)力，是課堂總結(jié)很重要的目標(biāo)。令人回味、啟示頗多、躍躍欲試，是數(shù)學(xué)思考后的最佳效應(yīng)。

代數(shù)思想，就是用字母來代替具體數(shù)值進(jìn)行思考的思維形式，是將具體案例參數(shù)化，是一種抽象思維。常規(guī)的數(shù)學(xué)課堂，一般停留在告訴學(xué)生如何用字母來表示數(shù)，但對于為何要用、用了有什么意義、如何形成運(yùn)用的自動(dòng)化等問題是缺少深入探究的。因此，這節(jié)課的目的，就是要激蕩起學(xué)生對“字母表示數(shù)”的好感，深切體會(huì)代數(shù)思想的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

二、三個(gè)數(shù)學(xué)魔術(shù)說明

1.手里的秘密（奇偶數(shù)）

老師的兩只手上各放一摞牌，請學(xué)生在兩邊隨意各抽取一張，不要讓老師看見，亮給全班同學(xué)看，并記住是什么牌，再把牌插進(jìn)去。老師可以很快地找到這兩張牌。

揭秘：老師手上的牌一邊全部是奇數(shù)，一邊全部是偶數(shù)。趁同學(xué)們?nèi)タ磁频臅r(shí)候，迅速把手上的牌交換位置（左手的牌換到右手，右手的牌換到左手），那么在每一摞里，總有一張跟其他牌的奇偶不一樣，所以就能夠很快找出來。

變式運(yùn)用：學(xué)生分別在兩張小紙條上寫了兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，然后將這兩個(gè)數(shù)隨機(jī)分別放入左、右手中。接著，把左手中的數(shù)加4次，右手中的數(shù)加3次，再將左右兩邊的得數(shù)相加，并告訴老師這個(gè)和是奇數(shù)還是偶數(shù)。教師要猜出學(xué)生所寫的奇數(shù)在哪只手中。教師準(zhǔn)確給出了答案：如果和是奇數(shù)，奇數(shù)就在右手上;如果和是偶數(shù)，奇數(shù)就在左手上。

揭秘：如果奇數(shù)在右手上，加3次是奇數(shù)，偶數(shù)在左手上，加4次是偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)的和就是奇數(shù)。如果奇數(shù)在左手上，加上4次是偶數(shù)，右手的偶數(shù)無論加多少次都是偶數(shù)，所以它們的和一定是偶數(shù)。

2.神機(jī)妙算（9的倍數(shù)）

請學(xué)生隨便給出一個(gè)四位數(shù)a，然后把a(bǔ)各數(shù)位上的數(shù)字打亂，組成新的四位數(shù)b。a、b相減后，得到一個(gè)最新的四位數(shù)c（如果c不是四位數(shù)，就再換一下a各數(shù)位的順序，或者換一個(gè)新的a），只要學(xué)生說出c其中的三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，教師就可以猜出另外一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。

揭秘：一個(gè)四位數(shù)可以用1000x+100y+10z+e表示，隨意改變順序后，如變成1000z+100x+10e+y，兩數(shù)之差就變成900x+99y-990z-9e，一定就是9的倍數(shù)。變成其他的四位數(shù)亦如此。所以，只需要減去另外三位上的數(shù)字之和，就可以猜出另外一個(gè)數(shù)字是幾。

變式運(yùn)用：教師先寫一個(gè)數(shù)放進(jìn)信封里。然后請學(xué)生在計(jì)算器里輸入一個(gè)三位數(shù)，百位比十位大，十位比個(gè)位大，然后把這個(gè)三位數(shù)顛倒過來，變成一個(gè)新的三位數(shù)（個(gè)位變百位，十位不變），兩個(gè)數(shù)相減，得出一個(gè)最新的三位數(shù)a。把a(bǔ)又顛倒過來（個(gè)位變百位，十位不變），得出b，則a與b的和剛好就是教師裝進(jìn)信封里的那個(gè)數(shù)。

揭秘：一個(gè)三位數(shù)可以用100x+10y+z表示，改變順序后，就變成100z+10y+x（中間數(shù)不變），兩數(shù)之差就變成99x-99z，所以，一定是9的倍數(shù)，而且個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之和一定是9，十位數(shù)字是9，可用100e+10×9+（9-e）表示。再把這個(gè)數(shù)倒過來，得到新數(shù)100×（9-e）+10×9+e，再將兩個(gè)數(shù)相加，和一定是1089。

3.預(yù)言牌（多位數(shù)加減法）

教師在一張紙上寫了幾下后，就把紙折起來交給學(xué)生，告訴他們里面藏有秘密，不能看。然后讓學(xué)生在10～19之間，隨便選一個(gè)數(shù)，告訴教師。以學(xué)生選15為例，教師拿起桌子上的一摞牌（教師提前已經(jīng)洗好牌），從上往下數(shù)，數(shù)出15張。然后問學(xué)生，15的個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字的和是多少？ 學(xué)生答“6”。教師把剛剛數(shù)出來的15張牌從下往上數(shù)，數(shù)到第6張，把這張牌拿出來，假如是紅心A。再請學(xué)生打開剛剛給他們的折紙，里面竟然也是寫著紅心A。

揭秘：教師事先洗牌的時(shí)候，把從上往下數(shù)的第10張牌看清楚了。比如，先數(shù)出15張牌（第10張牌的順序仍然是第10張），再倒著數(shù)6張牌，就是從上往下數(shù)的第10張。也就是說，把“10+a”張倒著數(shù)“a+1”張，剛好就是第10張牌。

變式運(yùn)用：請甲乙兩位同學(xué)各寫兩個(gè)六位數(shù)（隨便寫），教師隨后也寫一個(gè)，然后請甲同學(xué)再寫一個(gè)，教師再寫一個(gè)。教師口算出這幾個(gè)數(shù)的和，同學(xué)們用計(jì)算器算，比比誰算得快。比如，甲、乙兩位同學(xué)寫的分別是246534和881235。教師寫了118764，然后甲又寫了個(gè)671245，教師再寫一個(gè)328754。教師在幾秒鐘之內(nèi)就能夠算出這5個(gè)數(shù)加起來的和是2246532，而學(xué)生們的數(shù)字還沒有輸完，他們會(huì)感到特別驚訝。奧秘在哪兒呢？

揭秘：教師每次寫的數(shù)與前面一位學(xué)生寫的數(shù)加起來是999999（881235+118764=999999，671245+328754=999999）。然后把第一個(gè)數(shù)加上2000000，再減去2，即可。

和孩子們一起玩數(shù)學(xué)魔術(shù)，不是為了證明教師有多厲害，而是要激起學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。數(shù)學(xué)魔術(shù)不在于有多難，而是讓所有的學(xué)生都有破解的機(jī)會(huì)。開放有度、富有挑戰(zhàn)的魔術(shù)，改變了數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的模樣，以新鮮生動(dòng)的樣子喚醒學(xué)生的情趣，觸動(dòng)學(xué)生的心靈，引發(fā)學(xué)生的思考。

（作者單位：湖北省武穴市師范附屬小學(xué)）

責(zé)任編輯：孫昕

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