陳蓓玉 岳華 屠壯

0 引言

對于實際電力大系統(tǒng),被控對象(如元件)往往是電力大系統(tǒng)中的一個非線性微分-代數(shù)(Differential-Algebraic Equations,DAE)子系統(tǒng),受系統(tǒng)其余部分產(chǎn)生的關(guān)聯(lián)輸入變量的影響[1-3]．針對單輸入單輸出的非線性DAE電力系統(tǒng),已經(jīng)有了許多成果．文獻[4]將非線性常微分方程(Ordinary Differential Equations,ODE)系統(tǒng)的Lyapunov方法擴展到了非線性DAE系統(tǒng),給出了非線性DAE系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件;文獻[5]研究了基于非線性DAE子系統(tǒng)模型描述的電力系統(tǒng)的可逆性;文獻[6]設(shè)計了一個多指標的非線性勵磁控制律,增強了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,提高了發(fā)電機機端電壓控制精度;文獻[7]建立了多機系統(tǒng)下含STATCOM的DAE模型并運用目標全息反饋方法,設(shè)計出STATCOM與勵磁的分散協(xié)調(diào)控制律;文獻[8]則針對存在隨機擾動情況,研究了帶隨機擾動抑制的同步發(fā)電機勵磁控制器設(shè)計,實現(xiàn)了系統(tǒng)穩(wěn)定;文獻[9]利用模糊變結(jié)構(gòu)方法,設(shè)計了同步發(fā)電機的勵磁控制器;文獻[10]則將反步自適應(yīng)方法應(yīng)用于同步發(fā)電機勵磁控制,實現(xiàn)了對系統(tǒng)未知參數(shù)的估計,使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.

然而,同步發(fā)電機的勵磁汽門綜合控制問題,卻是由多變量非線性DAE子系統(tǒng)模型來描述的,其系統(tǒng)內(nèi)部變量之間以及輸入輸出之間的非線性耦合關(guān)系更為復(fù)雜,其控制問題并非單變量情形的簡單擴展就能解決,而關(guān)于此類控制問題的研究還不多見．文獻[11]針對MIMO非線性DAE系統(tǒng),擴展了非線性O(shè)DE系統(tǒng)的微分幾何方法,提出了M導(dǎo)數(shù)、M括號概念,并將其應(yīng)用于交直流并聯(lián)系統(tǒng)非線性控制器設(shè)計;文獻[12]則研究了MIMO非線性DAE子系統(tǒng)的逆系統(tǒng)控制方法,提出了一種遞歸算法,實現(xiàn)了系統(tǒng)的輸入輸出線性化解耦.

本文擴展了非線性常微分方程系統(tǒng)的反步控制方法,研究了由多變量非線性DAE子系統(tǒng)模型來描述的同步發(fā)電機勵磁汽門綜合控制問題．首先若被控系統(tǒng)的向量相對階存在,那么可通過一個微分同胚和反饋控制,實現(xiàn)系統(tǒng)的解耦和等價轉(zhuǎn)化．接下來基于等價系統(tǒng),利用反步(backstepping)方法設(shè)計出其鎮(zhèn)定控制器[13],使得整個閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定．最后基于MATLAB進行了仿真,仿真結(jié)果表明了本文所提方法的有效性.

1 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

同步發(fā)電機勵磁汽門綜合控制描述為如下的雙輸入雙輸出非線性DAE子系統(tǒng)模型[12]:

(1)

(2)

可以驗證,在發(fā)電機正常運行范圍內(nèi)系統(tǒng)(1)滿足如下兩個性質(zhì):

性質(zhì)1是指數(shù)1的,即代數(shù)方程g(·)關(guān)于代數(shù)變量z的雅克比矩陣具有常滿秩:

(3)

本文的目標是對同步發(fā)電機多變量非線性DAE子系統(tǒng)(1)和(2)設(shè)計鎮(zhèn)定控制器,使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

2 多變量非線性DAE子系統(tǒng)的向量相對階和模型等價轉(zhuǎn)化

2.1 非線性DAE系統(tǒng)的向量相對階[12]

(4)

(5)

其中

(6)

(Ⅱ)矩陣

(7)

是非奇異的.

顯然,本文中m=2．可以驗證,系統(tǒng)(1)和(2)的向量相對階存在,為(1,3)．步驟如下:

1)由式(6)可得:

LFs1LFfh2=LFs2LFfh2=0,

ω0Iqc3Id(xq-x′d)-ω0Iq(HT′d0)

(8)

2)由式(7)可知這里

(9)

在發(fā)電機正常運行范圍內(nèi),有

(10)

綜上,由定義1可知系統(tǒng)(1)和(2)的向量相對階存在,為(1,3).

2.2 非線性DAE子系統(tǒng)模型的等價轉(zhuǎn)化

定理1存在一個微分同胚和一個反饋控制,使得系統(tǒng)(1)和(2)等價轉(zhuǎn)化為如下形式：

(11)

證明選取如下坐標變換:

(12)

由式(1)、(8)和(12)可得:

(13)

其中

(14)

顯然選取反饋控制

(15)

可將系統(tǒng)(1)和(2)等價轉(zhuǎn)化為

(16)

其中r1,r2分別是待設(shè)計的新的控制項．證畢.

由定理1,系統(tǒng)(1)和(2)被解耦為兩個子系統(tǒng),便于進一步的控制設(shè)計.

3 鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計

定理2若等價系統(tǒng)(11)滿足如下結(jié)構(gòu)特性:

(17)

那么系統(tǒng)(1)和(2)是可漸近穩(wěn)定的.

證明

(18)

其中c1,1>0是設(shè)計參數(shù).

2)下面利用反步設(shè)計方法,考慮第2個子系統(tǒng)

(19)

的鎮(zhèn)定控制.

第1步.定義誤差變量

e2,1=ξ2,1,e2,2=ξ2,2-α2,1,

(20)

其中α2,1為待設(shè)計的第1個虛擬控制器．由式(19)與式(20)可得:

(21)

(22)

其中c2,1>0為設(shè)計參數(shù).

第2步.如此繼續(xù),設(shè)直到第3個定義誤差變量

e2,3=ξ2,3-α2,2,

(23)

(24)

(25)

至此,對整個誤差閉環(huán)系統(tǒng)取Lyapunov函數(shù)為

V=V1+V2.

(26)

由式(18)、(25)和(26)可得:

(27)

可知整個閉環(huán)誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的．證畢.

4 多機電力系統(tǒng)仿真

下面選擇圖1所示的兩區(qū)域四機電力系統(tǒng)進行仿真研究,不妨選取機組G1為被控對象.

系統(tǒng)運行方式為:初始時系統(tǒng)雙回線穩(wěn)態(tài)運行,0.5 s時線路7—8中的一回線k處(仿真中k=0.1)發(fā)生三相對稱接地短路,故障中的對地電抗為0.000 1 pu,0.65 s故障切除,系統(tǒng)恢復(fù)到初始運行狀態(tài)．機組G1采用本文所提控制方法,控制參數(shù)選取為c1,1=10,c2,i=20,i=1,2,3．G1的輸出響應(yīng)如圖2和圖3所示.

由圖2和圖3可以看出,反步鎮(zhèn)定控制器取得了良好的控制效果,保證了發(fā)電機功角以及輸出機端電壓的穩(wěn)定性,G1的輸出漸近收斂于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值.

5 結(jié)論

本文針對同步發(fā)電機多變量非線性DAE子系統(tǒng)模型,通過擴展多變量非線性常微分方程系統(tǒng)的L括號、L導(dǎo)數(shù)概念,實現(xiàn)了系統(tǒng)的解耦和等價轉(zhuǎn)化,在此基礎(chǔ)上運用反步設(shè)計方法,設(shè)計其鎮(zhèn)定控制器,使得整個閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定．與孤立多變量非線性DAE系統(tǒng)的精確反饋線性化方法相比,本文的研究結(jié)果更具一般性．所提出的模型等價轉(zhuǎn)化方法不僅適用于電力系統(tǒng),同時也適用于其他領(lǐng)域非線性DAE系統(tǒng)的控制問題研究.