張?zhí)N祿

有句歌詞：“你是我的小蘋果，小呀小蘋果，怎么愛你都不嫌多，……”。此文要說的是一個與函數(shù)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的常用不等式，堪稱不等式中的“小蘋果”。所以這里筆者親切地稱作為“小蘋果不等式”。

小蘋果不等式：

（1）ln（1+x）≤x，當(dāng)且僅當(dāng)X=0時取等號;

（2）e^x≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號。

由于此不等式屬于常見不等式。其證明過程大家也非常熟悉（限于篇幅，證明過程略）。事實上兩組不等式是等價的。不等式（2）是（1）的指數(shù)形式;不等式（1）是（2）的對數(shù)形式。

1 賦值功能的神奇

小蘋果不等式的賦值功能非常強大，如果對小蘋果不等式及其各種變形中的x進行不同的賦值，可使許多看似棘手的不等式問題得到解決。

例4中的不等式都是從某些函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題或高考題中截取的。大家可以從中領(lǐng)略小蘋果不等式賦值功能的強大和神奇。

2 式子變形的密碼

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題在歷年高考和各類模擬試題中一般處于壓軸題的位置。作為壓軸題得分一般都很低。因為有時在推理和運算過程中需要對表達(dá)式進行適當(dāng)?shù)淖冃闻c調(diào)整，而在很大程度上，這個變形與調(diào)整往往是整個題目能否解決的一道分水嶺，甚至成為很多學(xué)生不可逾越的鴻溝。其實很多表達(dá)式的變形與調(diào)整與小蘋果不等式有關(guān)。只要我們的學(xué)生心里裝著小蘋果不等式，對小蘋果不等式及其衍生的一些常用函數(shù)的組合有較高的敏感度，那么就會使十分困難的表達(dá)式的變形與調(diào)整變成一件十分自然和水到渠成的事情了。

3 不等式放縮的利刃

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題離不開不等關(guān)系。離不開成立問題。無論是不等關(guān)系還是恒成立問題，盡管都與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)系，但是在很多情況下需要對不等式進行適當(dāng)?shù)姆趴s來完成。在很大程度上，這種不等式的放縮與小蘋果不等式不無關(guān)系

不等式的放縮，小蘋果不等式是一把利刃，如果沒有它的參與不知要多走多少彎路。

4 高考命題人員的最愛

上文中的諸多實例幾乎全部來自于全國各地的高考試題，這已經(jīng)充分說明小蘋果不等式是廣受高考命題人員青睞的。不僅如此，在歷年高考試題中許多函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題目就是直接以小蘋果不等式為函數(shù)模型進行命制的。

眾多的高考試題都以小蘋果不等式為切入點，難免有重復(fù)和雷同之嫌。出現(xiàn)這種情況的一個重要原因除了小蘋果不等式的重要性之外。還有一個重要原因就是小蘋果不等式在高考試題的編擬過程中是很難繞過去的。眾所周知。高中數(shù)學(xué)分別涉及到了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。那么高考試題中由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及相關(guān)組合為函數(shù)模型就司空見慣了。而小蘋果不等式正是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)（或平移、組合后），以及切線等內(nèi)在關(guān)系的一種體現(xiàn)，所以很多題目都或多或少有它的影子，進而成為命題人員的最愛也就不足為怪了。