張 麗 英

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

Verdier引入了Cartan-Eilenberg(以下簡(jiǎn)記為CE)投射和內(nèi)射復(fù)形并證明了任意復(fù)形G具有CE投射和內(nèi)射分解[1]。此后，國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)CE復(fù)形做了進(jìn)一步研究[2-5]。Bravo等引入了絕對(duì)clean模和level模，并由此定義和研究了Gorenstein AC-內(nèi)射模和Gorenstein AC-投射模[6]。2014年，Bravo等將絕對(duì)clean模和level模推廣到復(fù)形上[7]。2017年，Gillespie對(duì)絕對(duì)clean模做了進(jìn)一步研究[8]。受此啟發(fā)，本文主要研究CE絕對(duì)clean復(fù)形和level復(fù)形。

1 預(yù)備知識(shí)

以下給出一些基本概念和記號(hào)。

定義1[6]稱R模F是超有限表示模，如果F具有投射分解…→P2→P1→P0→F→0，其中每個(gè)Pi是有限生成投射模。

定義5[2]稱復(fù)形的序列(*)…→C1→C0→C-1→…是CE正合列，如果以下序列均正合:

…→C1→C0→C-1→…

(1)

…→Z(C1)→Z(C0)→Z(C-1)→…

(2)

…→B(C1)→B(C0)→B(C-1)→…

(3)

…→H(C1)→H(C0)→H(C-1)→…

(4)

…→C1/Z(C1)→C0/Z(C0)→C-1/Z(C-1)→…

(5)

…→C1/B(C1)→C0/B(C0)→C-1/B(C-1)→…

(6)

顯然(*)是CE正合的當(dāng)且僅當(dāng)序列(1)和(2)正合。

定義6[3]稱復(fù)形的CE正合列0→A→B→C→0是CE純正合列，如果對(duì)于任意的CE有限表示復(fù)形P，序列0→Hom(P,A)→Hom(P,B)→Hom(P,C)→0是正合的。

給定一個(gè)Abel范疇C，令H是C中的一類對(duì)象。記H的右正交為H⊥(H的左正交為⊥H)，即H⊥={X|Ext1(H,X)=0,?H∈H}(⊥H={X|Ext1(X,H)=0,?H∈H})。稱(A,B)是余撓對(duì)，如果A⊥=B，且A=⊥B。稱余撓對(duì)(A,B)是遺傳的，如果A關(guān)于滿態(tài)射的核封閉或者B關(guān)于單態(tài)射的余核封閉。稱余撓對(duì)(A,B)是完全的，如果它有足夠多的投射和內(nèi)射對(duì)象，也就是對(duì)于任意的X∈C，存在正合列0→X→B→A→0和0→B′→A′→X→0，其中B,B′∈B，A,A′∈A。

2 Cartan-Eilenberg 絕對(duì)clean 和level 復(fù)形

除非特別說明，本文中的模均是左R-模。

定義7[2]設(shè)F是R-模類。稱復(fù)形A為CEF復(fù)形，如果A、Z(A)、B(A)和H(A)都屬于C(F)，其中C(F)表示由F中的模構(gòu)成的復(fù)形的全子范疇。

特別地，若F(P,A,L,N)是所有超有限表示模類(有限生成投射模類，絕對(duì)clean模類，level模類，cospiral類)，則CEF復(fù)形就是CE超有限表示(CE有限生成投射，CE絕對(duì)clean，CE level，CE cospira)復(fù)形。

(7)

(8)

定理1 設(shè)A是R-模的復(fù)形，則：

(1)A是CE絕對(duì)clean復(fù)形；

(2)A和Z(A)屬于C(A)；

(3)B(A)和H(A)屬于C(A)。

證明：(1)?(2)?(3)由文獻(xiàn)[6]可知絕對(duì)clean模類是余可解的。再根據(jù)文獻(xiàn)[5]可知結(jié)論顯然成立。

(1)?(4)設(shè)A是CE絕對(duì)clean復(fù)形，X是CE超有限表示復(fù)形，則對(duì)于任意的CE正合列0→A→U→X→0，有如下正合列

0→An→Un→Xn→0

(9)

0→Zn(A)→Zn(U)→Zn(X)→0

(10)

0→Bn(A)→Bn(U)→Bn(X)→0

(11)

0→Hn(A)→Hn(U)→Hn(X)→0

(12)

考慮如下行正合可裂，列正合的交換圖

考慮如下行正合可裂，列正合的交換圖

命題1 設(shè)R是環(huán)，則：

(1)CE絕對(duì)clean復(fù)形的類關(guān)于直和、直積、直和項(xiàng)、正向極限封閉；

(2)CE絕對(duì)clean復(fù)形的類關(guān)于純子復(fù)形和純商復(fù)形封閉；

(4)CE絕對(duì)clean復(fù)形的類關(guān)于CE純子復(fù)形和CE純商復(fù)形封閉。

證明：由文獻(xiàn)[6]可知絕對(duì)clean模的類關(guān)于直和、直積、直和項(xiàng)、正向極限、純子復(fù)形和純商復(fù)形封閉。再根據(jù)文獻(xiàn)[5]可知(1)、(2)顯然。

定理2 設(shè)L是R-模的復(fù)形，則：

(1)L是CE level復(fù)形；

(3)B(L)和H(L)屬于C(L)。

證明：(1)?(2)?(3) 由文獻(xiàn)[6]可知level模類是可解的。再根據(jù)文獻(xiàn)[5]可知結(jié)論顯然成立。

命題2 設(shè)R是環(huán)，則：

(1)CE level復(fù)形的類關(guān)于直和、直積、直和項(xiàng)、正向極限封閉；

(2)CE level復(fù)形的類關(guān)于純子復(fù)形和純商復(fù)形封閉。

證明：由文獻(xiàn)[6]可知level模的類關(guān)于直和、直積、直和項(xiàng)、正向極限、純子復(fù)形和純商復(fù)形封閉。再根據(jù)文獻(xiàn)[5]可知結(jié)論顯然成立。

推論1 設(shè)R是右凝聚環(huán)，則L是CE level復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)L是CE平坦復(fù)形。

證明：由文獻(xiàn)[6]可知若R是右凝聚環(huán)，則M是level模當(dāng)且僅當(dāng)M是平坦模，所以結(jié)論顯然成立。

命題3 設(shè)M是復(fù)形，則：

(1)M是CE絕對(duì)clean復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)M+是CE level復(fù)形；

(2)M是CE level復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)M+是CE絕對(duì)clean復(fù)形。

證明(1)：由定理1可知M是CE絕對(duì)clean復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)…→P2→P1→P0→X→0和Pi屬于C(A)。由文獻(xiàn)[6]可知B-n-1(M)是絕對(duì)clean模，當(dāng)且僅當(dāng)(B-n-1(M))+是level模。再根據(jù)文獻(xiàn)[4]可知Bn(M+)是level模，當(dāng)且僅當(dāng)(B-n-1(M))+是level模。同理，Hn(M+)是level模當(dāng)且僅當(dāng)(H-n(M))+是level模。由定理1可知M是CE絕對(duì)clean復(fù)形，當(dāng)且僅當(dāng)M+是CE level復(fù)形。

(2)同(1)。

證明：由文獻(xiàn)[6]可知(L,N)是完全余撓對(duì)。因?yàn)長(zhǎng)是可解的，所以(L,N)是遺傳余撓對(duì)。由文獻(xiàn)[2]可知(CE(L)、CE(N))是遺傳余撓對(duì)，再根據(jù)文獻(xiàn)[4]可知(CE(L)、CE(N))是完全余撓對(duì)。

3 結(jié) 語

本文首先給出了CE超有限表示復(fù)形的充分必要條件是存在復(fù)形的CE正合列…→P2→P1→P0→X→0，其中Pi是CE有限生成投射復(fù)形。其次給出了CE絕對(duì)clean復(fù)形和CE level復(fù)形的等價(jià)刻畫。接著給出了CE絕對(duì)clean復(fù)形的示性是CE level復(fù)形。最后給出了CE絕對(duì)clean復(fù)形和CE level復(fù)形關(guān)于直積、正向極限、純子復(fù)形和純商復(fù)形封閉的性質(zhì)。