張勝男，牛連強(qiáng)，楊德國(guó)，陳 欣

（1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870；2.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870）

0 引 言

離散數(shù)學(xué)是研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，是由邏輯學(xué)、集合論、關(guān)系理論、圖論、抽象代數(shù)、布爾代數(shù)甚至算法設(shè)計(jì)、組合分析、離散概率和計(jì)算模型等匯集起來(lái)的一門(mén)綜合學(xué)科。由于數(shù)字電子計(jì)算機(jī)是一個(gè)離散結(jié)構(gòu)，只能處理離散（化）的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)模型，這正是離散數(shù)學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容。為此，《中國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科教程2002》將其界定為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，美國(guó)IEEE&ACM也確定其為計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的核心課程[1-2]。

1 由應(yīng)用型確定的教學(xué)目標(biāo)

應(yīng)該說(shuō)，計(jì)算機(jī)及其相關(guān)專(zhuān)業(yè)的絕大部分課程，都直接以離散數(shù)學(xué)作為理論基礎(chǔ)，也可以說(shuō)是離散數(shù)學(xué)的直接運(yùn)用，或者說(shuō)需要依靠離散數(shù)學(xué)課程的觀點(diǎn)、方法和邏輯思維能力解決具體問(wèn)題。因此，離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目的就是要建立邏輯（數(shù)學(xué)）推理能力，了解重要的離散對(duì)象、結(jié)構(gòu)與方法，能夠綜合運(yùn)用合適工具（技術(shù)）構(gòu)建復(fù)雜工程問(wèn)題的模型及解決方法，并能分析、說(shuō)明模型乃至解決方法的正確性和有效性。

從應(yīng)用型的人才培養(yǎng)視角，僅就理論基礎(chǔ)（知識(shí)）而論，目前并沒(méi)有明確的、統(tǒng)一的共識(shí)，普遍接受的觀點(diǎn)是重在“用”而非“研究”。對(duì)于不同的學(xué)校不同的培養(yǎng)定位不同的學(xué)生層次，容易接受的看法有二：其一是“堅(jiān)實(shí)”，指有足夠了解，能夠分辨理論模型的優(yōu)劣，能夠在若干模型或方法中平衡、選擇并綜合運(yùn)用，對(duì)理論的產(chǎn)生、進(jìn)展、論證甚至更深的發(fā)展不必做過(guò)多了解[3]；其二是“夠用”，指在同類(lèi)方法中有選擇性地掌握主要方法，有針對(duì)性地構(gòu)造示例，解決對(duì)應(yīng)的問(wèn)題[4]。對(duì)于大多數(shù)以應(yīng)用技術(shù)型而非技能型人才為培養(yǎng)目標(biāo)的學(xué)校，更傾向于選擇前者。

由于缺乏理論指導(dǎo)以及充分的討論、理解，即便在以應(yīng)用型為培養(yǎng)目標(biāo)的學(xué)校、專(zhuān)業(yè)內(nèi)部，也沒(méi)有完全達(dá)成共識(shí)，這導(dǎo)致同一門(mén)課的任課教師之間也不易統(tǒng)一觀點(diǎn)，包括教材選擇、教學(xué)方法、實(shí)驗(yàn)、討論等幾乎所有方面。對(duì)于大多數(shù)地方高等工科院校，“具備堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)”是專(zhuān)業(yè)確定的應(yīng)用技術(shù)型人才培養(yǎng)目標(biāo)，上述所有問(wèn)題的答案都需要根據(jù)學(xué)生的具體情況和專(zhuān)業(yè)的人才培養(yǎng)目標(biāo)定位給出。

2 結(jié)合課程主旨體現(xiàn)工程應(yīng)用

離散數(shù)學(xué)是公認(rèn)的理論性強(qiáng)及內(nèi)容多，這從文獻(xiàn)[5]可得到論證。因此，如何把握課程的核心主題，謹(jǐn)慎選擇工程應(yīng)用理論和應(yīng)用案例，理清各種理論的掌握程度和適合學(xué)生的自然條件基礎(chǔ)就成為課程的教學(xué)內(nèi)容改革的關(guān)鍵。

2.1 不偏離課程的核心主題

為了體現(xiàn)應(yīng)用，說(shuō)明課程內(nèi)容并非僅是理論并吸引學(xué)生興趣，部分教師提倡在課程中引入程序設(shè)計(jì)內(nèi)容，比如集合運(yùn)算、算法驗(yàn)證等[6]。當(dāng)這種要求過(guò)多時(shí)，在一定程度上是與課程主題有偏離的。

通常，離散數(shù)學(xué)課在一、二學(xué)期開(kāi)設(shè)。對(duì)于普通院校的學(xué)生，即便是程序設(shè)計(jì)技術(shù)掌握較好者，在大學(xué)里一般也僅學(xué)過(guò)C 語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)課程（或一門(mén)其他語(yǔ)言）。鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)編程理解離散數(shù)學(xué)的部分內(nèi)容是有益的，對(duì)編程訓(xùn)練也有幫助。不過(guò)，這種做法常常流于“驗(yàn)證”，缺少對(duì)“想”的訓(xùn)練，尤其容易使學(xué)生陷入程序設(shè)計(jì)的細(xì)節(jié)中，這不免有些“跑偏”。歸根到底，理論性強(qiáng)的課程其核心作用之一是促進(jìn)思維的訓(xùn)練和形成，通過(guò)對(duì)一般原理的掌握建立抽象、分析、說(shuō)理（論證）的能力，編程雖然有助于理解問(wèn)題，但無(wú)法替代抽象思維過(guò)程。

從專(zhuān)業(yè)的角度看，離散數(shù)學(xué)比高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)等數(shù)學(xué)類(lèi)課程更符合學(xué)科和專(zhuān)業(yè)內(nèi)涵，對(duì)領(lǐng)域內(nèi)的問(wèn)題抽象更直接。引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)實(shí)際問(wèn)題選擇、抽象和運(yùn)用模型是訓(xùn)練其解決復(fù)雜工程問(wèn)題的前提，這比訓(xùn)練其通過(guò)編程計(jì)算出兩個(gè)集合的交集更重要。

2.2 從更高的層次引導(dǎo)興趣

興趣是取得成功的基礎(chǔ)，不同的興趣會(huì)得到不同的結(jié)果。通過(guò)編程驗(yàn)證了兩個(gè)命題的不可兼析取的結(jié)果固然能增強(qiáng)學(xué)生的興趣和自信心。但能通過(guò)思考理解并正確解釋?zhuān)⑵渑cC 語(yǔ)言中的異或操作、通過(guò)XOR 操作支持的動(dòng)畫(huà)之間的聯(lián)系，會(huì)使學(xué)生得到更高層次的興趣。通過(guò)編程驗(yàn)證了Kruskal 算法的工作機(jī)理雖有幫助，但能不借助工具分析并肯定其正確性，甚至從Kruskal 算法依據(jù)邊計(jì)算最小生成樹(shù)的角度出發(fā)，進(jìn)而思考是否可從點(diǎn)的角度生成最小生成樹(shù)，可以使學(xué)生產(chǎn)生更濃烈的興趣。即便通過(guò)教師啟發(fā)，引導(dǎo)其設(shè)計(jì)出這樣的算法，對(duì)創(chuàng)新訓(xùn)練也更有益處。

從本質(zhì)上說(shuō)，課程的興趣引導(dǎo)來(lái)源于兩個(gè)層面：其一是驗(yàn)證一些簡(jiǎn)單運(yùn)算，其二是對(duì)模型的理解和應(yīng)用。在有限的時(shí)間內(nèi)，究竟引導(dǎo)學(xué)生獲得怎樣的興趣是需要教師認(rèn)真討論和斟酌的。從知識(shí)的內(nèi)容方面講，并非理論課程都要通過(guò)編程提高興趣，正如高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)或概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等課程一樣，對(duì)頭腦的思維訓(xùn)練和編程訓(xùn)練的目標(biāo)、作用和結(jié)果均不相同，興趣點(diǎn)的偏移會(huì)使一門(mén)課程的核心目標(biāo)大打折扣。

2.3 選擇具有工程應(yīng)用性的問(wèn)題

選取相關(guān)領(lǐng)域中有代表性的工程應(yīng)用實(shí)踐問(wèn)題作為示例、習(xí)題或思考題，消除學(xué)生總認(rèn)為學(xué)理論與實(shí)際脫節(jié)的誤解，激發(fā)其學(xué)習(xí)課程的興趣，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力是培養(yǎng)應(yīng)用型學(xué)生需要注重的，而問(wèn)題應(yīng)該是稍完整的、需要結(jié)合理論解決的，通常并非是對(duì)書(shū)中介紹方法本身的驗(yàn)證。例如：

（1）在命題邏輯中，如何將自然語(yǔ)言翻譯成符號(hào)邏輯表達(dá)式，以及生成精確、無(wú)二義性的規(guī)范說(shuō)明？

（2）在謂詞邏輯中，如何利用一階邏輯描述一個(gè)機(jī)器人的狀態(tài)與工作方式？

（3）利用一個(gè)小集合消除另一個(gè)圖（集合）的邊界、填補(bǔ)圖（集合）的孔洞應(yīng)如何處理？

（4）為了分析自己的朋友之間的關(guān)系，采用什么模型？能從中分析出什么結(jié)果？

這樣的示例舉不勝舉，其共同特點(diǎn)是：有較強(qiáng)的應(yīng)用背景，問(wèn)題的解決不是對(duì)課本知識(shí)的簡(jiǎn)單驗(yàn)證，需要將問(wèn)題抽象成稍微完整的模型，選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ?，得到結(jié)果的好壞也需要適當(dāng)分析。

對(duì)于一個(gè)應(yīng)用問(wèn)題，在有限時(shí)間內(nèi)引導(dǎo)學(xué)生能夠選擇和運(yùn)用正確的模型和理論，甚至利用合適的方法和工具描述模型、算法，本質(zhì)上優(yōu)于采用程序?qū)?jiǎn)單運(yùn)算的驗(yàn)證。

當(dāng)然，在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)，對(duì)于新的成果、大量的相關(guān)問(wèn)題及其解決方案不可能全部囊括，僅是一斑。對(duì)于很多問(wèn)題，可以列出供參考的論文等素材，引導(dǎo)學(xué)生自己探索?？紤]學(xué)生的實(shí)際情況，這些內(nèi)容只是作為課堂的延伸和拓展，以輔助學(xué)習(xí)和思考為主、研究為輔。因此，教師指定的材料不是專(zhuān)門(mén)的理論研究而是程度較淺的應(yīng)用型文章、教學(xué)論文乃至?xí)?/p>

3 面向應(yīng)用型的教材選擇及建設(shè)

教材是教與學(xué)的第一手資料，是決定課程教學(xué)成功與否的重要教學(xué)元素。就離散數(shù)學(xué)課程而言，有一些相當(dāng)成功的教材，如Kenneth H.Rosen 的《Discrete mathematics and its applications》[5]、左孝凌的《離散數(shù)學(xué)》和屈婉玲、耿素云的《離散數(shù)學(xué)》等。在筆者近30 年的教學(xué)實(shí)踐中，采用這些教材取得過(guò)一定成功，但也存在著諸多問(wèn)題，且隨著高等教育大眾化的進(jìn)程，暴露出的問(wèn)題愈加明顯。概括地說(shuō)，這些教材大而全，更關(guān)注理論與知識(shí)體系的完整性，而作為教師，選擇時(shí)應(yīng)充分考慮學(xué)習(xí)對(duì)象本身的情況和層次、學(xué)時(shí)的減少以及工程教學(xué)目的的變化等實(shí)實(shí)在在的因素。這些問(wèn)題在湖南大學(xué)的張洪圣等教師編寫(xiě)的教材中已經(jīng)部分提及。舉例說(shuō)，普通工科高校在我國(guó)高校中占大多數(shù)，但這些學(xué)校的學(xué)生與985、211 高校存在著很大差異，以學(xué)術(shù)研究為目標(biāo)的教材和教學(xué)內(nèi)容上的趨同不僅達(dá)不到“拔高”的目標(biāo)，反而使學(xué)生過(guò)早喪失學(xué)習(xí)興趣，形成一系列不良的連鎖反應(yīng)。又如，在僅有48～64 學(xué)時(shí)的教學(xué)時(shí)間里，難以期望把類(lèi)似離散概率、組合設(shè)計(jì)、形式語(yǔ)言、自動(dòng)機(jī)等內(nèi)容都灌輸給普通院校的學(xué)生[6]，這也是一些專(zhuān)家提倡有的放矢地編寫(xiě)教材的原因[1]。

對(duì)于一般普通工科高校的計(jì)算機(jī)、軟件工程及其相關(guān)專(zhuān)業(yè)的教學(xué)，編寫(xiě)通俗、易于理解、易于自學(xué)、有一定工程應(yīng)用背景和實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)的教材是合適的[7]。

3.1 選擇適度內(nèi)容

教材不應(yīng)追求體系的完整、內(nèi)容的全面和對(duì)理論的深入探討，可以舍棄中學(xué)學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單組合計(jì)數(shù)等問(wèn)題，也不宜用過(guò)多篇幅討論前文提到的離散概率、組合設(shè)計(jì)、形式語(yǔ)言等內(nèi)容，甚至可以直接舍棄。某些數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等課程中涵蓋并重點(diǎn)討論的算法可以簡(jiǎn)要說(shuō)明其功能，以免使內(nèi)容過(guò)于膨脹，也可以盡量避免與后續(xù)課程重復(fù)。

3.2 培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維和表達(dá)能力

目前教材的內(nèi)容編排次序主要有兩種，分別是從集合論引入和從命題邏輯引入，本文建議以邏輯學(xué)而不是集合論為出發(fā)點(diǎn)，用命題邏輯和一階邏輯主導(dǎo)解決后續(xù)所有問(wèn)題的思維，以便強(qiáng)化分析、解決問(wèn)題的邏輯性和抽象表達(dá)能力。

在以集合論為出發(fā)點(diǎn)時(shí)，由于沒(méi)有符號(hào)邏輯基礎(chǔ)，既難以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯分析和表達(dá)，也容易與后續(xù)內(nèi)容重復(fù)。

例如，考慮定理“對(duì)任意的集合A，有??A，即空集是任意集合的子集”。由于空集沒(méi)有任何元素，通常用反證法證明：

若??A為假，則為真。因?yàn)?/p>

事實(shí)上，要證明??A成立，只要說(shuō)明為真，可以依據(jù)命題邏輯中條件聯(lián)結(jié)詞的性質(zhì)直接證明：

于是，??A成立。

這里明確使用了“條件句在前提為假則命題為真”的原理。在沒(méi)有命題邏輯準(zhǔn)備時(shí)，嚴(yán)格的邏輯推演難以進(jìn)行，也無(wú)法給出直接證法。課程中的大量問(wèn)題都是對(duì)一個(gè)概念是否成立的判定，而這又取決于判定描述此概念的條件命題是否為真，直接證法更有利于理解在條件為假時(shí)一個(gè)概念是滿(mǎn)足的。

此外，集合運(yùn)算存在大量的性質(zhì)都可以由命題聯(lián)結(jié)詞的性質(zhì)直接得到，從集合論入手不僅與內(nèi)容命題邏輯重復(fù)，上述推理形式難以嚴(yán)格表達(dá)，部分性質(zhì)還需要花更多的時(shí)間才能理解。

3.3 強(qiáng)調(diào)概念及一般性指導(dǎo)

離散數(shù)學(xué)也是數(shù)學(xué)，內(nèi)容抽象，其核心結(jié)論都建立在概念基礎(chǔ)上。因此，需要通過(guò)信息相關(guān)領(lǐng)域?qū)嵗?wèn)題引導(dǎo)、分析、評(píng)價(jià)、辨析等步驟，將概念講解透徹，避免讀者需要花過(guò)長(zhǎng)的時(shí)間思考或借助參考書(shū)才能讀懂。

為了在有限的課時(shí)內(nèi)突出應(yīng)用性，需要總結(jié)、概括和突出解決各類(lèi)問(wèn)題的核心內(nèi)容，說(shuō)明此類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和解決方法的關(guān)鍵思想，而不是拘泥和追求一個(gè)具體題目的解法。否則，仍可能導(dǎo)致學(xué)生過(guò)于關(guān)注某個(gè)細(xì)節(jié)問(wèn)題。

另一個(gè)值得注重的問(wèn)題是精煉結(jié)果。離散數(shù)學(xué)中存在很多定理，過(guò)多羅列已有結(jié)果令人眼花繚亂，還會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生機(jī)械記憶而不是由基本概念出發(fā)主動(dòng)思考、探究和發(fā)現(xiàn)結(jié)果。同時(shí)，盡管多做習(xí)題有助于問(wèn)題的理解，但需要消耗大量的時(shí)間和精力，過(guò)多的習(xí)題也容易使人恐懼并產(chǎn)生排斥心理。為此，應(yīng)盡量精簡(jiǎn)定理與習(xí)題。

值得說(shuō)明的是，一般認(rèn)為，作為教材，通常應(yīng)有一定的“余量”。對(duì)于一般工科學(xué)生采用的教材而言，建議這種“余量”不宜過(guò)大，要適度，少而精，防止篇幅膨脹，可給學(xué)生以信心。同時(shí)，可采用文獻(xiàn)[5]作為參考書(shū)目（該書(shū)被全球600 多所大學(xué)采用，內(nèi)容十分豐富），以引導(dǎo)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)知識(shí)做進(jìn)一步的拓展。

4 結(jié) 語(yǔ)

面向應(yīng)用的理論課程教學(xué)改革難度較大，課程內(nèi)容調(diào)整是基礎(chǔ)，其取決于學(xué)生的實(shí)際情況、教學(xué)上的要求以及人才培養(yǎng)工程化、應(yīng)用化的實(shí)際需求等諸多因素。由于課程性質(zhì)不同，每一門(mén)課程有自己的目標(biāo)和任務(wù)，需要對(duì)激發(fā)學(xué)生的興趣點(diǎn)準(zhǔn)確把握，并采取與之相適應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式。對(duì)于離散數(shù)學(xué)課，興趣點(diǎn)的偏離既可能淡化課程的主題和目標(biāo)，也有可能承擔(dān)了并非本課應(yīng)該承擔(dān)的任務(wù)，從而影響對(duì)于問(wèn)題抽象、建模和邏輯推理能力的訓(xùn)練。此外，在把更多的時(shí)間、思考、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)任務(wù)交給學(xué)生時(shí)，教材也要有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)。教材既不能包羅萬(wàn)象、求深求全，也不能只是“干巴巴”的綱，更不應(yīng)連一節(jié)中有幾個(gè)重要概念、主要方法之類(lèi)的總結(jié)都由教材代替，否則，學(xué)生仍是一臺(tái)簡(jiǎn)單理解和記憶知識(shí)的機(jī)器，解決復(fù)雜工程問(wèn)題的能力很難培養(yǎng)出來(lái)。