程紅梅

(安徽建筑大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，安徽 合肥，230601)

0 引言

股票市場作為社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的“經(jīng)濟(jì)晴雨表”，其穩(wěn)定性和健康性是國民經(jīng)濟(jì)健康穩(wěn)定發(fā)展的內(nèi)在要求，越來越多的學(xué)者關(guān)注以股票市場為代表的金融領(lǐng)域研究[1-6]。在綜合因素的影響下，相關(guān)研究一般均將股票市場視作由交易賬戶、股票市場中的交易關(guān)系為基本元素的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[5-8]。股票價格的漲跌、股票交易量等股票市場的指征屬性都可以在股票網(wǎng)絡(luò)上體現(xiàn)，基于不同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型和超網(wǎng)絡(luò)模型，股票市場的行為被細(xì)致地分析。

股票市場相關(guān)性研究中，以股票為點、股票之間的關(guān)系為邊構(gòu)造的股票網(wǎng)絡(luò)模型已經(jīng)成為股票相關(guān)性分析研究的重要工具。隨著計算機軟硬件性能的顯著提升、大數(shù)據(jù)技術(shù)的普及以及人工智能研究的新進(jìn)展[9-10]，基于股票網(wǎng)絡(luò)的股票相關(guān)性分析被越來越多的研究所關(guān)注[1-3，7，8]。

本文的研究面向基于股票網(wǎng)絡(luò)的股票市場行為分析，基于股票價格序列，研究了使用歐式距離計量股票差異性的原理與方法，并在實現(xiàn)股票差異性計量的基礎(chǔ)上，討論了基于股票差異性的相關(guān)性股票獲取方法。本文的第二部分討論了基于股價變化序列的股票距離的定義及其估計方法；第三部分對基于距離最佳逼近k維歐氏索引的股票相關(guān)性方法進(jìn)行了描述；實驗結(jié)果與分析在第四部分給出，第五部分對研究進(jìn)行了總結(jié)并未來的研究進(jìn)行了展望。

1 基于股價變化序列的股票距離及其估計

一只股票在交易期間內(nèi)每個時刻的成交價格是該股票的特征時間序列。任意兩只股票的差異性可以使用它們各自特征時間序列的距離度量。

設(shè)函數(shù)f:[0L]→R、g:[0L]→R是[0L]上的連續(xù)函數(shù)，即f(x),g(x)∈C[0L]，泛函G(f,g)如式(1)規(guī)定。

引理1：設(shè)泛函G(f,g) 如式(1)規(guī)定，則對?f(x),g(x)∈C[0L]，G(f,g)≥0。且 當(dāng) 且 僅 當(dāng)f=g時，G(f,g)= 0。

證明：

(1) ∵對?f(x),g(x)∈C[0L]，f(x),g(x)∈R

∴|f(x)-g(x) |≥0

∴對?f(x),g(x)∈C[0L]，G(f,g)≥0。

(2) 又 對?f(x)∈C[0L]，|f(x)-f(x) |= 0，故G(f,f)= 0。

(3) 再設(shè)?f(x),g(x) ∈C[0L]，f≠g，

G(f,g)= 0，則：

∵f≠g

∴?x0∈[0L]，f(x0)≠g(x0)，不 妨 設(shè)f(x0)＞g(x0)

∵f(x),g(x)∈C[0L]

∴?0 ≤δ1＜δ2≤L,x0∈[δ1δ2]，對?x∈[δ1δ2]，f(x)＞g(x)

∴假設(shè)不成立，故G(f,g)= 0 且僅當(dāng)f=g時。

∴綜合(1)(2)(3)，引理成立。

引理2：設(shè)泛函G(f,g) 如式(1)規(guī)定，則對?f(x),g(x)∈C[0L]，G(f,g)=G(g,f)。

證明：

∵對?f(x),g(x)∈C[0L]，f(x),g(x)∈R，|f(x)-g(x) |= |g(x)-f(x)|

∴G(f,g)=G(g,f)

引理3：設(shè)泛函G(f,g)如式(1)規(guī)定，則對?f(x),g(x),h(x)∈C[0L]，G(f,g)≤G(f,h)+G(h,g)。

根據(jù)引理1～3，式(1)定義的泛函G(f,g)是函數(shù)f(x)到g(x)的歐氏距離，故函數(shù)f(x)、g(x)間的歐氏距離如定義1 規(guī)定。

定義1：設(shè)函數(shù)f:[0L]→R、g:[0L]→R是[0L]上的連續(xù)函數(shù)，泛函G(f,g)如式(1)規(guī)定，若G(f,g)= 0 當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=g(x)，則G(f,g)是函數(shù)f(x)、g(x)間的歐氏距離。

進(jìn)一步可以證明，對引理1，若不強調(diào)“當(dāng)且僅當(dāng)f=g時，G(f,g)= 0”，則對式(1)規(guī)定的泛函G(f,g)，函數(shù)f、g在區(qū)間[0L]上連續(xù)的條件可以不再要求。此時，泛函G(f,g)滿足引理4。而根據(jù)引理2～4，函數(shù)f(x)到函數(shù)g(x)的泛化歐氏距離如定義2 規(guī)定。

引理4：設(shè)函數(shù)f:[0L]→R、g:[0L]→R是[0L] 上的函數(shù)，泛函G(f,g) 如式(1)規(guī)定，則對?f(x),g(x)∈C[0L]，G(f,g)≥0。

證明：∵f:[0L]→R、g:[0L]→R是[0L]上的函數(shù)

∴f(x),g(x)∈R

∴|f(x)-g(x) |≥0

∴G(f,g)≥0。

定義2：設(shè)函數(shù)f:[0L]→R、g:[0L]→R是[0L] 上的 函 數(shù)，泛 函G(f,g) 如 式(1)規(guī) 定，則G(f,g)是函數(shù)f(x)、g(x)間的泛化歐氏距離。

對 函 數(shù)f(x),g(x)∈C[0L]，設(shè)0 =t0＜t1＜…＜tn-1＜tn=L， Δi=ti-ti-1，i= 1,2…n， 若G?(f,g)如式(2)規(guī)定，則G(f,g)≈G?(f,g)。顯然，G?(f,g)是對函數(shù)f、g的歐氏距離或者泛化歐氏距離G(f,g) 的估計，且max{Δi|i= 1,2…n}}越小，G?(f,g)對G(f,g)的估計越準(zhǔn)確。

一般的，對不同股票的價格序列，可以依據(jù)式(2)對股票的差異性進(jìn)行估計。特別的，若股票價格的變化是連續(xù)函數(shù)時，依據(jù)式(2)估計的股票的差異性是股票間的歐式距離，而若認(rèn)為股票的價格是非連續(xù)變化時，依據(jù)式(2)估計的股票的差異性是股票間的歐式泛化距離。

2 基于距離最佳逼近k維歐氏索引的股票相關(guān)性

交易時間內(nèi)，市場內(nèi)影響股票價格的因素眾多，不同的因素對不同股票的價格影響程度不一。股票價格作為諸多因素影響的最終結(jié)果，不同股票價格的關(guān)聯(lián)變化特性反映了不同股票間的內(nèi)在聯(lián)系，因此，股票價格的相關(guān)性是股票相關(guān)性的一種外在表現(xiàn)：當(dāng)股票價格相關(guān)頻繁發(fā)生時，相關(guān)股票應(yīng)存在某種意義上的關(guān)聯(lián)。一方面，股票價格的相關(guān)性可以使用股票價格序列的相關(guān)系數(shù)度量，而股票價格序列相關(guān)系數(shù)的計算需要確定股票價格的協(xié)方差，而計算協(xié)方差時，無論是序列的期望還是方差的精度都直接影響相關(guān)系數(shù)對股票相關(guān)性的準(zhǔn)備程度的衡量，這意味著使用相關(guān)系數(shù)定量股票價格的相關(guān)性，需要較長時間段內(nèi)的股票價格序列。而量化較短時間段的股票價格序列的相關(guān)性時，一般基于歷史價格序列的均值進(jìn)行估計[2]。另一方面，依據(jù)式(2)可以基于股票價格序列的歐式泛化距離量化股票價格序列的差異性，而股票價格序列的差異性越小，股票價格序列的相關(guān)性越大。進(jìn)一步，若已知股票價格序列間的歐式泛化距離，還可以使用多維尺度分析技術(shù)將股票價格序列映射為2 維或3 維空間中的點，這樣，就可以在2 維或3 維空間中通過觀察股票價格序列對應(yīng)點間的空間臨近關(guān)系直觀顯示股票價格序列的相關(guān)性。

定義3：設(shè)L1、L2是股票S1、S2某一時間段內(nèi)的同粒度股價序列，d(L1,L2)是序列L1、L2如定義2規(guī)定的距離。若對α＞0，d(L1,L2)≤α，則稱股票S1、S2股價α相關(guān)。

定義4：設(shè)L1i、L2i是股票S1、S2第i 時間段內(nèi)的同粒度股價序列，i= 1,2…n。若對任意0 ＜β≤1，股票S1、S2的股價α相關(guān)的次數(shù)不少于n×β，則稱股票S1、S2β(α)相關(guān)。

定 義 5：設(shè) 數(shù) 據(jù) 集P={P1,P2…Pn}，對?Pi∈P，若Qi=(qi1,qi2…qik)是k維歐氏空間中與Pi∈P對應(yīng)的k維向量，則稱Qi是Pi的k歐氏索引，而Q={Q1,Q2…Qn}則是P的k歐氏索引集。

設(shè)P={P1,P2…Pn}是給定交易時間內(nèi)某個時間段內(nèi)的n支股票的股票價格序列集，由定義2 知n支股票的距離可計算。

定義2 規(guī)定的股票價格序列集P的距離最佳逼近k維歐氏索引集可以使用多維標(biāo)度分析(multidimensional scaling，MDS)方法求解。在k=2 或者k=3 時，可以將每支股票視作2 維或者3 維空間中的一個點從而直觀的展示各支股票的空間相對位置，直觀的表達(dá)股票的β(α)相關(guān)性。算法1 給出了基于股票價格序列集和距離最佳逼近k維歐氏索引集β(α)相關(guān)的股票獲取過程的形式描述。

定義6 規(guī)定的股票價格序列集P的距離最佳逼近k維歐氏索引集可以使用多維標(biāo)度分析(multidimensional scaling，MDS)方法求解。在k=2 或者k=3 時，可以將每支股票視作2 維或者3 維空間中的一個點從而直觀的展示各支股票的空間相對位置，直觀的表達(dá)股票的β(α)相關(guān)性。算法1 給出了基于股票價格序列集和距離最佳逼近k維歐氏索引集β(α)相關(guān)的股票獲取過程的形式描述。

算法1：基于股票價格序列集和距離最佳逼近k 維歐氏索引集β(α)相關(guān)的股票獲取過程

輸入：股票價格觀測窗口寬度L，閾值α、β，全部股票的價格序列矩陣Mmxn，維數(shù)k/*m 只股票，每只股票有n 個價格數(shù)據(jù)*/輸出：相關(guān)的股票序列集RS

1)股票價格序列集合PS 置空；

2)for 每一只股票

從價格序列的第一個數(shù)值開始，自前向后逐一析取連續(xù)L個股票價格作為股票價格序列增加到股票價格序列集合PS 中；每只股票可構(gòu)造p(=n-L+1)個股票價格序列。

3) 為PS 中的每只股票價格序列建立k維歐式索引；

4)使用全部股票價格序列的k維歐式索引計算每個觀察時刻(共p個)全部股票的歐式距離矩陣dM；

/*dM 有p個元素，每個元素是全部股票的1個歐氏距離矩陣*/

5)依據(jù)dM 和α 計算每個觀察時刻任意兩只股票的相關(guān)性到bM；

/* bM 有p個元素，每個元素是記錄每個觀察時刻任意全部股票的相關(guān)矩陣；由于任意兩只股票的距離不大于boundary 時股票相關(guān)，相關(guān)矩陣對應(yīng)元素取值為1，否則為0*/

6)將bM 中的α 個相關(guān)矩陣?yán)奂拥较嚓P(guān)判別矩陣cM；

7) cM 中，若兩只股票的相關(guān)性累加值不小于p×β，則記錄這兩只股票相關(guān)到RS 中。

3 實驗結(jié)果與分析

實驗選取了2017 年7 月12 日交易時間內(nèi)，在滬深兩市交易的25 支銀行股票的每分鐘的成交價格為數(shù)據(jù)源(每支股票共有240 個數(shù)據(jù))。由于各股票的價格差異顯著，實驗使用每支股票的每分鐘成交價相對開盤價的漲跌幅(=(成交價-開盤價)/開盤價)為實驗數(shù)據(jù)。25 支股票的漲跌幅情況如圖1所示，同時從圖1 也可以觀察出某些股票的成交價格的漲跌存在著一致性。

為驗證算法1 的有效性，我們使用了依據(jù)式(2)計算的股票價格序列距離與算法1 中使用股票價格序列的k維歐式索引的距離作為對比。對比試驗結(jié)果表明，在分別選取合適的α、β的前提下，兩種方法均可以構(gòu)造同樣的相關(guān)股票數(shù)據(jù)集。例如，為獲得相關(guān)股票集{民生銀行600016，交通銀行601328}時，算法1 使用的參數(shù)α、β分別取值為0.04 和0.99，而在直接使用股票價格序列距離時，參數(shù)α、β 分別取值為0.01 和0.9。實驗中，股票價格觀測窗口寬度L取值為10，即通過分析過去10 min 以來的股票成交價格來判斷任意兩只股票是否相關(guān)。

圖1 25支銀行股的漲跌

相比較直接使用股票價格序列距離獲取β(α)相關(guān)的股票集，使用算法1 獲取β(α)相關(guān)的股票集時，在維度參數(shù)k=2 或者3 時，可以在2 維平面或者3 維空間中直接展示各股票的相對位置。由于所使用的索引是k維歐氏索引，展示各股票的相對位置關(guān)系時，每只股票是所在空間中的一個點，而不同點間的距離直接反映了與每個點對應(yīng)的股票的相關(guān)程度：點間的距離越小，對應(yīng)股票的相關(guān)性越大。圖2 給出了實驗用25 只股票在2 維空間中的相對位置231 次疊加后股票空間的分布效果，這種效果是圖1 中描述的25 支股票價格波動的另一角度的詮釋。典型時刻25 只股票在2 維歐式空間中的相對位置關(guān)系由圖3 的(a)-(h)子圖給出。圖3的每個子圖中，圖題為股票相對位置所處的時刻。顯然，股票價格序列的k維歐氏索引能夠直觀的刻畫股票的相關(guān)性。

4 結(jié)論與研究展望

圖2 股票相對位置疊加后的股票空間分布

圖3 典型時刻股票的相對位置

股票的相關(guān)性檢測是股票市場中異常行為監(jiān)測與管理的基礎(chǔ)，為獲取正常交易的股票的相關(guān)性，本文基于股票價格序列定義了股票的距離和泛化距離實現(xiàn)了股票差異性的定量計算。基于定量的股票距離，本文使用多尺度分析技術(shù)實現(xiàn)了股票價格序列在k維歐式空間的索引：股票價格序列的k維歐式空索引一方面可以用于在2 維或3 維空間中直觀的顯示股票之間的差異性，另一方面還可以使得基于歐式距離的聚類或者分類技術(shù)有效的應(yīng)用于股票數(shù)據(jù)的深度分析過程。同時，本文在股票股價相關(guān)的基礎(chǔ)上定義了股票的β(α)相關(guān)，設(shè)計了獲取β(α)相關(guān)股票的方法，實現(xiàn)了基于股票價格序列的相關(guān)性股票的有效獲取。進(jìn)一步，基于股票價格序列的β(α)相關(guān)的相關(guān)性股票的獲取也為以股票為點、股票之間的關(guān)系為邊構(gòu)造的股票網(wǎng)絡(luò)模型中邊的有效描述提供了一種新量化手段。

關(guān)于股票相關(guān)性，本文僅僅考慮了股票間的正相關(guān)特性，負(fù)相關(guān)股票獲取的模型與方法是未來必須關(guān)注的研究。同時，本文研究直接使用了股票的價格序列，已經(jīng)進(jìn)行的研究顯示基于股票價格的變化可以更細(xì)致的揭示股票之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)特性，基于股票價格變化的股票相關(guān)性模型與相關(guān)股票獲取方法設(shè)計是值得關(guān)注的研究。