柳洪剛 張軍

摘? 要：球面距離解算是航海學(xué)和大地問(wèn)題計(jì)算的一個(gè)重要的、基礎(chǔ)性內(nèi)容，可為艦船航跡規(guī)劃、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素計(jì)算提供基礎(chǔ)。以現(xiàn)有大圓距離解算的球面三角公式為基準(zhǔn)，對(duì)論文構(gòu)建模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行了仿真檢驗(yàn)，仿真結(jié)果表明，在兩點(diǎn)兩點(diǎn)間大圓距離不斷變化的情況下，該文模型的解算誤差始終控制在10-8（m）的數(shù)量級(jí)上，論文構(gòu)建的距離解算模型有效，計(jì)算精度與球面三角公式相當(dāng)。

關(guān)鍵詞：球面大圓距離? 球面三角? 積分解算

中圖分類(lèi)號(hào)：U666.1 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2020）06（a）-0189-02

在一般航海計(jì)算中，通常視地球?yàn)閳A球體，并在球面上解算大地問(wèn)題。而在高精度航海計(jì)算中，常采用參考橢球體參數(shù)，首先將橢球面元素投影到球面，在球面上解算大地問(wèn)題，再將求得的球面元素按投影關(guān)系變換為橢球面上相應(yīng)的元素[1]。由此可見(jiàn)，無(wú)論是一般計(jì)算還是高精度計(jì)算，球面大地問(wèn)題解算是重要基礎(chǔ)。

球面大地距離主要指的是兩點(diǎn)間大圓劣弧長(zhǎng)，通常采用球面三角公式進(jìn)行距離解算。論文以球面距離解算為研究對(duì)象，在分析了現(xiàn)有解算從大圓性質(zhì)特點(diǎn)出發(fā)，提出并構(gòu)建了全新的球面大地距離解算模型。

1? 現(xiàn)有大圓距離解算模型簡(jiǎn)述

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，大地問(wèn)題解算方法目前有70多種[2]。這些方法中比較經(jīng)典的有直接對(duì)大地線微分方程進(jìn)行積分的方法和利用地圖投影理論解算大地問(wèn)題的方法。第一種方法利用大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程，直接在橢球面上進(jìn)行積分運(yùn)算，這種積分通常不能直接計(jì)算，可將大地線微分方程積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題或通過(guò)高斯法、龍格庫(kù)塔法等進(jìn)行數(shù)值積分。第二種方法的基本原理是根據(jù)不同法則建立橢球面到球面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而在球面上研究大地問(wèn)題解算，最后轉(zhuǎn)化到橢球面上，貝塞爾大地投影就是其中非常典型的一種方法。

大圓距離解算是大地問(wèn)題解算的一種特殊情況和基礎(chǔ)問(wèn)題[3]，其是在地球近似球面上研究?jī)牲c(diǎn)間最短距離的問(wèn)題。較常用的計(jì)算方法主要是基于球面三角的大圓公式。

如圖1所示，pN為球面北極，p1、p2為球面上兩點(diǎn)，其球面緯度分別為φ1、φ2，球面經(jīng)差為△λ，大圓弧p1p2的長(zhǎng)度為D，α1、α2為球面角。

在地球圓球體上，距離解算問(wèn)題主要求解兩點(diǎn)間大圓劣弧長(zhǎng)，因此可歸結(jié)為解算圖1中極球面三角形△p1p2pN，通過(guò)球面三角公式：

大圓距離由上式求解，以“m”為單位，則有[4]：

現(xiàn)有模型主要基于球面幾何以及極球面三角形解算兩點(diǎn)間大圓距離。

論文嘗試一種新的思路，即從球面微分三角形△pxpx′py′及球面幾何約束條件著手，分析大圓弧幾何特性，構(gòu)建一種新的大圓距離積分解算模型。

2? 大圓距離的積分解算模型

在圖1中，假設(shè)在大圓弧p1p2取任意一段弧長(zhǎng)為無(wú)限小的圓弧pxpx′，px、px′間的球面緯差為dφ，py′在過(guò)py點(diǎn)的子午線上并與px′同緯度，F(xiàn)為px點(diǎn)的大圓弧方位角，這樣三角形△pxpx′py′可近似看作球面直角三角形，令點(diǎn)px和py′點(diǎn)緯度差為dφ，則pxpy′長(zhǎng)度可表示為：

這種積分求取兩點(diǎn)間大圓弧距離的方法不需要兩點(diǎn)的經(jīng)度或經(jīng)度差信息，只需兩點(diǎn)的球面緯度及其中一點(diǎn)的大圓弧方位角，即可實(shí)現(xiàn)大圓距離的解算。

3? 模型解算的準(zhǔn)確性檢驗(yàn)

為驗(yàn)證積分法的準(zhǔn)確性，以球面三角公式（2）解算的大圓距離為基準(zhǔn)，檢驗(yàn)該文構(gòu)建模型的解算誤差。令其中一點(diǎn)p1（123.0°N，33.0°N），設(shè)置點(diǎn)p2位置，令p2經(jīng)度變化范圍為[123.0°E，125.0°E]，緯度變化范圍為[34.0°N，35.0°N]，計(jì)算大圓距離的解算誤差。此處取地球半徑R=6377830（m）。

在p2點(diǎn)的經(jīng)緯度變化區(qū)間內(nèi)積分法解算的大圓距離如圖2所示，誤差曲面如圖3所示。由圖3可見(jiàn)，積分法求解大圓距離的準(zhǔn)確度非常高，誤差控制在10-7（m）的數(shù)量級(jí)上。

為進(jìn)一步驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，兩點(diǎn)相對(duì)位置、距離不斷變化，進(jìn)行了上百次的仿真驗(yàn)證。另選取一組典型仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。其中p1坐標(biāo)（120.0°E，30.0°N），p2經(jīng)度變化范圍為[120.0°，E，128.0°E]，緯度變化范圍為[32.0°N4，0.0°N]，由圖可以看出，該文模型的解算誤差始終控制在10-8（m）的數(shù)量級(jí)上。

4? 結(jié)語(yǔ)

球面大圓距離解算是大地問(wèn)題解算的一個(gè)重要方面。該文完成了積分法解算大圓距離的推導(dǎo)過(guò)程及解算的準(zhǔn)確性仿真分析。在兩點(diǎn)經(jīng)度未知而大圓方位角已知的情況下，積分法能很好地完成大圓距離解算，且積分法推導(dǎo)出的公式計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確度很高。在一般航海計(jì)算中或地圖投影將橢球面計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為球面幾何問(wèn)題后，也可利用積分法進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的解算。

參考文獻(xiàn)

[1] 王建強(qiáng)，胡明慶.貝賽爾大地主題解算分析[J].測(cè)繪科學(xué)，2012，37（1）：30-31.

[2] 周振宇，郭廣禮，賈新果.大地主題解算方法綜述[J].測(cè)繪科學(xué)，2007，32（4）：190-191.

[3] 王志明.混合航線的快速計(jì)算法[J].中國(guó)航海，2002（1）：37-39.

[4] 范業(yè)明，王解先，劉慧芹.大地主題的數(shù)值解法[J].工程勘察，2007（1）：61-63.