黃 銳，鄭 東

(西南交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，成都 610031)

0 引 言

經(jīng)國內(nèi)外學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，對永磁體磁極進行優(yōu)化，采用不等厚永磁體結(jié)構(gòu)，不僅可以節(jié)省永磁體材料、簡化磁極加工，而且可以有效降低電機齒槽轉(zhuǎn)矩，但同時也會導(dǎo)致電磁轉(zhuǎn)矩性能下降。文獻[1]采用磁極分段的方法，將Bread-Loaf型磁鋼等效成一系列同圓心角磁極結(jié)構(gòu)的組合，并利用該模型分析了偏心距與極弧系數(shù)對電機氣隙磁場的影響。文獻[2]分析了偏心磁極結(jié)構(gòu)對磁場分布的影響，利用等效槽表面虛擬電流的方法，進一步考慮了開槽的影響，結(jié)果表明，采用偏心磁極結(jié)構(gòu)能夠降低齒槽轉(zhuǎn)矩。文獻[3]針對含偏心磁極的永磁同步電機，采用離散思想和磁場疊加原理，建立了氣隙磁場、齒槽轉(zhuǎn)矩、反電動勢以及電磁轉(zhuǎn)矩解析模型，并進一步分析了不等厚磁極參數(shù)對電磁性能的影響。

電機性能優(yōu)化目前國內(nèi)研究比較多，大多都是以電機性能為優(yōu)化目標，以電機結(jié)構(gòu)參數(shù)為自變量，通過優(yōu)化算法來找到最優(yōu)的參數(shù)組合。文獻[4]以異步起動永磁電機為研究對象，利用響應(yīng)面法，建立了轉(zhuǎn)子尺寸與效率和起動轉(zhuǎn)矩之間的響應(yīng)模型，利用布谷鳥算法得到了最優(yōu)結(jié)果。文獻[5]分析了電機各項參數(shù)對電機性能的影響，以此構(gòu)建了多目標優(yōu)化函數(shù)，得到了多目標優(yōu)化下最優(yōu)控制參數(shù)組合。文獻[6]將Kriging代理模型應(yīng)用于直線感應(yīng)電機的性能優(yōu)化，減少了仿真時間。

雖然目前很多研究認為不等厚永磁體可以降低齒槽轉(zhuǎn)矩，但其忽略了不等厚永磁體也會導(dǎo)致平均電磁轉(zhuǎn)矩降低。本文將通過建立Kriging代理模型、結(jié)合多目標粒子群算法，找到最優(yōu)的參數(shù)組合，不僅可以有效降低齒槽轉(zhuǎn)矩，也能使電機有較高的平均電磁轉(zhuǎn)矩，而且還能節(jié)省永磁體材料。

1 磁極參數(shù)對電機性能的影響

等厚磁極模型如圖1(a)所示，從圖1(a)中可以看出,等厚磁極模型的內(nèi)弧圓圓心和外弧圓圓心位于同一點O，永磁體厚度hm的值也保持不變。Rm為內(nèi)弧圓半徑，Rr為外弧圓半徑，O為圓心。

不等厚磁極模型如圖1(b)所示，相比于傳統(tǒng)的等厚磁極結(jié)構(gòu)，內(nèi)弧圓圓心和外弧圓圓心不在同一個點上，永磁體內(nèi)圓弧中心O′偏離圓心O距離為d，半徑為Ri，hm為永磁體中心處厚度。

如圖1(b)所示，根據(jù)三角函數(shù)推導(dǎo)圓心O到內(nèi)弧圓距離Rrj:

(1)

由式(1)可以看出,Rrj是關(guān)于Ri、d、θ的一個函數(shù)。其中磁極內(nèi)弧圓是以O(shè)′為圓心，半徑為Ri的圓，磁極外弧圓是以O(shè)為圓心，半徑為Rr的圓，因此Ri又可表示：

Ri=Rr+d-hm

(2)

將式(2)代入式(1)，可得：

(3)

由于本文是內(nèi)弧偏心的電機結(jié)構(gòu)，因此Rr是一個定值，從上式可以看出,Rrj其實是一個關(guān)于hm、d、θ的一個函數(shù)，隨著角度θ的不同，內(nèi)弧圓半徑Rrj的大小也不同，因此形成了不等厚磁極結(jié)構(gòu)。因此,接下來研究不同的永磁體中心厚度hm和磁極偏心距離d對電機性能的影響。

圖2為磁極參數(shù)對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。從圖2中可以看出，磁極偏心距離d對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響較大，永磁體中心厚度對齒槽轉(zhuǎn)矩影響較小。圖3為磁極參數(shù)對電磁轉(zhuǎn)矩的影響。磁極偏心距離d越小，永磁體中心厚度hm越小，相應(yīng)的電磁轉(zhuǎn)矩就越?。煌瑫r磁極參數(shù)的改變也會導(dǎo)致永磁體體積的改變。圖4為磁極參數(shù)對永磁體體積的影響。從圖4中可以看出，磁極偏心距離d越小，永磁體中心厚度hm越大，相應(yīng)的永磁體體積就越大。因此，需要通過優(yōu)化算法來求得小齒槽轉(zhuǎn)矩，大電磁轉(zhuǎn)矩，小永磁體體積的最優(yōu)磁極參數(shù)組合。

圖4 磁極參數(shù)對永磁體體積的影響

圖3 磁極參數(shù)對電磁轉(zhuǎn)矩的影響

圖2 磁極參數(shù)對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響

2 Kriging代理模型的建立

不等厚磁極參數(shù)對電機的齒槽轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩、永磁體體積都有很大的影響。但是不同的hm和d有非常多的組合，每一個hm和d的組合都需要對電機模型進行修改，再重新仿真，這樣的過程需要花費大量的時間。因此，本文將利用有限的樣本數(shù)據(jù)，通過建立Kriging代理模型，來預(yù)測不同的hm和d的組合對電機性能的影響。

代理模型可以利用有限點的響應(yīng)來構(gòu)造近似的函數(shù)表達式，以此對未知區(qū)域的響應(yīng)進行預(yù)測[7]，Kriging代理模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、響應(yīng)面模型相比，具有明確的數(shù)學(xué)表達式，不受隨機誤差的影響，構(gòu)建模型需要很少的樣本點，而且具有較高的精度，是一種對空間分布的數(shù)據(jù)求線性最優(yōu)、無偏內(nèi)插估計的插值方法[8]。

將磁極參數(shù)hm和d用矩陣x表示，電磁轉(zhuǎn)矩、齒槽轉(zhuǎn)矩、永磁體體積用矩陣y表示。

(4)

式中：n為樣本數(shù)；xi為第i個樣本點的磁極偏心距離d，永磁體厚度hm；yi為當永磁體不等厚參數(shù)為xi時的電機性能；Tcogi,Teleci,Vi分別為第i個樣本點的電磁轉(zhuǎn)矩、齒槽轉(zhuǎn)矩和永磁體體積。

xi和yi之間的關(guān)系可以寫成多項式回歸模型F(β,x)與零均值正態(tài)分布隨機過程ε(xi)的疊加：

yi(xi)=F(β,x)+ε(xi)

(5)

ε(xi)的協(xié)方差矩陣：

cov[ε(xi),ε(xj)]=σ2R[ε(xi),ε(xj)]

(6)

式中：σ2為隨機過程的方差；R[ε(xi),ε(xj)]為樣本i,j之間的相關(guān)函數(shù)；i,j=1,2,3，…,n。對于一個K維變量空間，Kriging函數(shù)表示：

(7)

式中：θh表示第h個變量對目標的貢獻度；Ph為表征函數(shù)平滑性的參數(shù)。消除建模誤差的可能性的概率密度函數(shù)：

I為n×1階單位矩陣，等式兩邊去自然對數(shù)有：

R為所有正交采集樣本的相關(guān)矩陣：

(10)

(11)

將式(11)代入式(9)，忽略常數(shù)項可得：

(12)

式(12)的取值僅和θh和Ph相關(guān)，因此建立代理模型的問題轉(zhuǎn)化為尋最優(yōu)的θh和Ph使式(12)取得最大值。

當獲得最優(yōu)的θh和Ph后，對于不同的hm和d的組合可通過式(13)預(yù)測相應(yīng)的電機性能，包括永磁體體積。

(13)

式中，r為待測未知hm和d的組合x*與初始采集樣本的相關(guān)向量：

(14)

至此，不等厚永磁直流電機參數(shù)對電機性能影響的代理模型建立完畢，將表1中的數(shù)據(jù)代入模型中，便可得到任意hm和d組合下的電機電磁轉(zhuǎn)矩、齒槽轉(zhuǎn)矩和永磁體體積，節(jié)省了大量的仿真計算時間。

表1 樣本數(shù)據(jù)

3 多目標優(yōu)化函數(shù)的構(gòu)建

多目標優(yōu)化問題包含m個目標函數(shù)，K個決策變量和n個約束條件，由于目標函數(shù)間的矛盾性，使每個目標函數(shù)同時達到最優(yōu)值的解是不存在的[9]。因此得到的解并不是所有子目標的最優(yōu)解。本文中將齒槽轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩、永磁體體積作為三個目標函數(shù)，采用權(quán)重法將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標問題，即:

式中：f為適應(yīng)度值，其大小介于0～1；λ1，λ2，λ3為對應(yīng)目標的權(quán)重系數(shù)，λ1+λ2+λ3=1；Tcog，Telec，V是隨機磁極厚度hm和偏心距離d組合下的齒槽轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩、永磁體體積；Tcog_max，Telec_max，Vmax，Tcog_min，Telec_min，Vmin是滿足約束條件下的齒槽轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩、永磁體體積的最大值和最小值。

由于本文研究的是小型電機，通過查閱文獻，氣隙長度需要在0.3～0.8 mm之間，同時當磁極偏心距離d大于6 mm以后會導(dǎo)致電磁轉(zhuǎn)矩急劇下降，因此設(shè)置磁極參數(shù)約束條件：

(16)

電機最終的優(yōu)化目的為較小的齒槽轉(zhuǎn)矩、較高的電磁轉(zhuǎn)矩和較小的永磁體體積。通過觀察式(15)，需要目標函數(shù)的第一項和第三項越小越好，而第二項越大越好，因此，我們將式(15)改變一下形式，將第二項的分子和分母交換一下：

通過以上分析可知，f的值越小，說明電機性能越好，因此最終將電機的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榱饲竽繕撕瘮?shù)的最小值問題：

F(x)=minf(hm,d)

(18)

至此，電機的目標函數(shù)構(gòu)建完成。上述目標函數(shù)不僅巧妙地將電機的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榱饲竽繕撕瘮?shù)的最小值問題，而且還可以根據(jù)實際工程的不同需要，修改λ1、λ2、λ3的值。比如企業(yè)需要更多地考慮齒槽轉(zhuǎn)矩，那么可以將λ1的值設(shè)置得更大；如果要更多地考慮電磁轉(zhuǎn)矩，那么可以將λ2的值設(shè)置得更大。提高了該優(yōu)化函數(shù)在實際工程問題的實用性。

4 粒子群算法優(yōu)化模型

粒子群算法是美國學(xué)者Kennedy和Eberhart在受到鳥類覓食活動的啟發(fā)后而提出的一種群體智能算法[10]。粒子群算法與遺傳算法較類似，但區(qū)別在于，粒子群算法較為簡單，沒有遺傳算法的交叉和變異，通過追隨當前搜索到的最優(yōu)值來向全局最優(yōu)解逼近。粒子群算法收斂速度快，其模型也更為簡單，易于實現(xiàn)，擅長處理多極值函數(shù)全局優(yōu)化問題?；谏鲜鰞?yōu)點，粒子群算法非常適合解決電機優(yōu)化這一類問題。

粒子群優(yōu)化算法是根據(jù)個體的適應(yīng)度值(即目標函數(shù)的值)，使種群一步一步朝著更好的區(qū)域移動[11]。在算法的整個迭代過程中，粒子每更新一次位置，就計算一次適應(yīng)度值，通過比較新粒子的適應(yīng)度值、個體最優(yōu)適應(yīng)度值、群體最優(yōu)適應(yīng)度值來更新個體最優(yōu)極值和群體最優(yōu)極值，如圖5所示。

圖5 優(yōu)化流程圖

每次迭代過程中，粒子通過個體極值和群體極值來更新自身速度和位置，更新公式如下：

(19)

(20)

粒子群算法參數(shù)設(shè)定完成以后，便可將目標函數(shù)和粒子群算法結(jié)合起來，粒子群算法產(chǎn)生隨機初始粒子，然后通過Kriging代理模型預(yù)測相應(yīng)的電機性能參數(shù)，再將電機的各項性能參數(shù)代入目標函數(shù)，如此循環(huán)下去，直到滿足迭代次數(shù)要求，并輸出目標函數(shù)的最小值以及相應(yīng)的磁極厚度hm和磁極偏心距離d。

前文已經(jīng)提到過權(quán)重因子λ的大小反映了對某個目標優(yōu)化的重視程度，λ的取值不同，最后優(yōu)化的結(jié)果也不同，因此本文根據(jù)λ的不同取值,設(shè)計兩個結(jié)構(gòu)優(yōu)化方案。方案一：目標權(quán)重因子λ1=0.6,λ2=0.2,λ3=0.2;方案二：目標權(quán)重因子λ1=0.2，λ2=0.6,λ3=0.2，粒子種群規(guī)模設(shè)置為20，最大迭代次數(shù)設(shè)置為200,ω=1,c1=c2=1.5。算法的收斂曲線如圖6所示。

(a) 方案一

在方案一的目標函數(shù)下，算法得到的最優(yōu)組合為hm=8.2mm，d=5.5mm，目標函數(shù)的最小值fmin=0.337；在方案二的目標函數(shù)下，算法得到的最優(yōu)組合為hm=8.2 mm，d=3.5 mm，目標函數(shù)的最小值fmin=0.875。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果對有限元模型進行修改，并在Maxwell進行仿真，將兩種優(yōu)化方案和原始結(jié)構(gòu)(hm=8 mm，d=0)的電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩進行對比，電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩曲線如圖7和圖8所示，永磁體體積對比如表2所示。

表2 三種方案性能對比

圖8 齒槽轉(zhuǎn)矩對比曲線

圖7 電磁轉(zhuǎn)矩對比曲線

從圖7、圖8、表2中可以看出,優(yōu)化方案一和優(yōu)化方案二相比，方案一齒槽轉(zhuǎn)矩相比于原始方案下降了61%，方案二齒槽轉(zhuǎn)矩相比于原始方案下降了50%，方案一的平均電磁電磁轉(zhuǎn)矩相比于原始方案下降了4.1%，方案二的平均電磁電磁轉(zhuǎn)矩相比于原始方案下降了1.8%。雖然都是采取了不等厚永磁體結(jié)構(gòu)，但是因為權(quán)重系數(shù)的不同，方案一更希望齒槽轉(zhuǎn)矩越小越好，而方案二更希望電磁轉(zhuǎn)矩越大越好，因此，方案一的齒槽轉(zhuǎn)矩要更小一些，方案二的電磁轉(zhuǎn)矩要更大一些。同時，無論是方案一，還是方案二，永磁體體積都小于原始方案，實現(xiàn)了本文的優(yōu)化目的，說明了優(yōu)化算法的有效性。

5 結(jié) 語

本文首先研究了不等厚永磁體磁極參數(shù)對電機性能的影響，然后將Kriging代理模型和多目標粒子群算法相結(jié)合來實現(xiàn)對電機的優(yōu)化，結(jié)果表明，本文的優(yōu)化算法不僅能夠有效削弱齒槽轉(zhuǎn)矩、降低轉(zhuǎn)矩脈動，也能保證較高的電磁轉(zhuǎn)矩，同時還能節(jié)約永磁體材料。進一步分析可知，增大磁極偏心距離d，會導(dǎo)致齒槽轉(zhuǎn)矩減小，電磁轉(zhuǎn)矩減小，但同時增大永磁體中心厚度hm，可以彌補磁極偏心引起的電磁轉(zhuǎn)矩減小的問題。同時本文的算法還可以根據(jù)不同的需要來改變優(yōu)化目標的權(quán)重系數(shù)，實現(xiàn)對電機性能的靈活優(yōu)化，節(jié)約大量的仿真時間，為實際的工程應(yīng)用提供參考依據(jù)。