黃夢情，陳美霞

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

作為一種新型的復(fù)合材料，功能梯度梁(functionally graded material,FGM)[1]能夠?qū)?種或2種以上的材料按照人為的設(shè)計意愿，使其在某一方向上進行連續(xù)的物理量屬性變化，避免結(jié)構(gòu)之間的不連續(xù)變化和應(yīng)力集中現(xiàn)象，使得梁具備更優(yōu)良的物理或化學(xué)性能，滿足實際工程的需求。對于軸向功能梯度梁結(jié)構(gòu)，諸多學(xué)者對其開展了廣泛的研究。Huang[2]采用Fredholm積分方程方法對變截面軸向功能梯度梁的自由振動進行分析。Hozhabrossadati[3]采用理論分析方法和數(shù)值方法分別對雙軸向功能梯度梁的固有頻率和模態(tài)振形進行對比分析。Ghayesh等[4]采用Galerkin模態(tài)分解的方法對軸向功能梯度梁的彎曲和振動進行了分析，并與文獻中的結(jié)果進行對比。由于軸向功能梯度梁的振動控制方程是變系數(shù)的微分方程，直接求解困難，因此文獻[5-13]采用有限元或者曲線擬合的方式。由于正交多項式具有高精度性，故在曲線插值擬合和數(shù)值積分方面，正交多項式得到了很好的應(yīng)用[14-15]。因此，本文基于Legendre多項式的基本理論[16]，將Gauss點的高精度數(shù)值積分和曲線的最佳平方逼近相結(jié)合，得到Legendre多項式的最佳平方逼近方法。將本方法的計算結(jié)果與相關(guān)文獻中的計算結(jié)果進行對比，驗證本方法的正確性，并且合理地評價本方法的優(yōu)缺點。

1 Legendre多項式

在[-1,1]上，Legendre多項式可由一系列冪函數(shù)xn正交化得到，它的權(quán)函數(shù)為q(x)≡1。采用遞推公式形式，可將其表示為：

(1)

用Φ(x)表示Legendre多項式基函數(shù)的集合：

Φ(x)=[P0(x)P1(x) …Pn(x)]T=ATn(x)

(2)

由于A是可逆矩陣，故式(2)可反轉(zhuǎn)為：

Tn(x)=A-1Φ(x)

(3)

定義在[-1,1]上的可積函數(shù)f(x)可用Legendre多項式進行最佳平方逼近：

(4)

其中，系數(shù)矩陣a中的元素ai可由內(nèi)積確定：

(5)

第n+1項Legendre多項式基函數(shù)的全部零點均為Gauss點。以Gauss點作為離散點，對可積函數(shù)F(x)進行離散，離散內(nèi)積矩陣為：

(6)

式中：P為基函數(shù)矩陣；τ為內(nèi)積對角系數(shù)矩陣；F為離散點函數(shù)值矩陣。

可積函數(shù)f(x)在[-1,1]上的一階導(dǎo)數(shù)為：

(7)

同時，Φ(x)的一階導(dǎo)數(shù)可轉(zhuǎn)化為：

(8)

因此，可積函數(shù)f′(x)可進一步化簡為：

(9)

由式(9)，可得向量a和b的關(guān)系：b=DTa。

同理，可求得可積函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)多項式系數(shù)向量a(n)：

a(n)=(DT)na

(10)

最后，根據(jù)式(6)和式(10)的表達，可得到f(x)的n階導(dǎo)數(shù)關(guān)于Gauss點的函數(shù)值：

(11)

2 離散控制方程及邊界條件

2.1 Timoshenko離散控制方程

如圖1所示的軸向功能梯度梁，長度為l，它的材料屬性隨著軸向x坐標(biāo)變化，包括彈性模量E(x)，材料密度ρ(x)，截面面積S(x)和截面轉(zhuǎn)動慣量I(x)，它們均為x的函數(shù)。根據(jù)Timoshenko梁理論，考慮轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的作用，梁的應(yīng)變能和動能可表示為[17]：

圖1 軸向功能Timoshenko梁示意Fig.1 Schematic of an axially FGM Timoshenko beam

(12)

式中：l0表示梁分析單元長度；u和w分別表示梁的軸向和橫向的位移；σxx、εxx、τxz和γxz分別表示梁的應(yīng)力、應(yīng)變、切應(yīng)力和切應(yīng)變。

運用Hamilton原理[18]，可得到Timoshenko梁的微分控制方程：

(13)

式中：G(x)為材料的剪切彈性模量；κ為剪切修正系數(shù)；p為作用于梁上的軸向力。由于本文僅考慮Timoshenko梁的自由振動，將Timoshenko梁撓度和轉(zhuǎn)角的空間項與時間項分離開來：

(14)

可化簡得：

(15)

可化簡式(15)，得：

(16)

其中：k11=k12=[f1(ξ)h1(ξ)]′/(f1(ξ)h1(ξ))

k13=sf2(ξ)/(4f1(ξ))，k24=rf2(ξ)/4f1(ξ)

k21=[f1(ξ)h2(ξ)]′/f1(ξ)h2(ξ)

k22=k23=h1(ξ)/(4sh2(ξ))

(17)

Kii(ξ1) …Kii(ξn))。

2.2 Timoshenko梁邊界條件

采用投影矩陣的方法將各邊界條件施加到離散控制方程式(17)中。各邊界條件的數(shù)學(xué)離散形式(i=0或i=N-1)可表示為：

簡支Hinged(H):

α′(ξi)=0，Z(ξi)=0

(18)

固支Clamped (C):

α(ξi)=0，Z(ξi)=0

(19)

自由Free (F):

α′(ξi)=0，Z′(ξi)-α(ξi)=0

(20)

在確定梁兩端的邊界條件之后，便可得到邊界條件的矩陣為：

BbV=0

(21)

式中：Bb矩陣的行數(shù)j表示邊界條件的個數(shù)，以兩端固支的梁為例：

(22)

式中：ei表示第i個元素為1，其余為0的N維行向量。

當(dāng)離散方程式(17)滿足式(18)中的j個邊界條件時，式(17)的2N維解向量可以由2N-j維向量表示：

(23)

(24)

3 梁固有頻率和撓度轉(zhuǎn)角曲線分析

取一長度為l的Timoshenko梁，無量綱回轉(zhuǎn)半徑r為0.01，剪切系數(shù)κ為5/6，泊松比υ為0.3，材料的橫截面面積和物理屬性沿軸向變化規(guī)律：

(25)

式中：c表示截面變化率；m表示材料梯度指數(shù)；下標(biāo)z和a分別代表材料ZrO2和Al，Ea=70 GPa，ρa=2 702 kg/m3，Ez=200 GPa，ρz=5 700 kg/m3。

3.1 Legendre多項式最佳平方逼近的收斂性分析

取材料梯度m=2，截面變化率c=0.2，采用兩端固支的計算模型，對Legendre多項式的最佳平方逼近方法進行收斂性分析，無量綱化的固有頻率變化如圖2所示。從圖2中可看出，在梁兩端固支的情況下，隨著選取的Legendre多項式項數(shù)的增加，固有頻率變化曲線基本趨于平緩，趨近于一個穩(wěn)定的值。針對兩端固支的情況，當(dāng)Legendre多項式項數(shù)取到第15項之后，Timoshenko梁前4階固有頻率的變化幅度變得很小，基本趨于穩(wěn)定。同理可計算得到在不同材料梯度系數(shù)、截面變化率和邊界條件下的Legendre多項式曲線擬合所需項數(shù)，可為本文后續(xù)的諸多算例提供收斂性依據(jù)。

圖2 兩端固支的無量綱固有頻率示意(C-C)Fig.2 The convergence schematic of dimensionless natural frequencies (C-C)

3.2 截面變化率和材料梯度系數(shù)對固有頻率的影響

在不同邊界條件下，分析截面變化率c和材料梯度系數(shù)m對Timoshenko梁固有頻率的影響。為對比計算結(jié)果，本文選取與文獻[13,17]中相同的參數(shù)：材料梯度系數(shù)m=2，分析不同截面變化率c對梁前4階固有頻率的影響，結(jié)果如表1所示；截面變化率c=0.2，分析不同材料梯度系數(shù)m對梁前4階固有頻率的影響，結(jié)果如表2所示。

表2 不同材料梯度系數(shù)和邊界條件下Timoshenko梁的前4階固有頻率表Table 2 The first four natural frequencies with material gradient coefficient and different boundary conditions

從表1，2中數(shù)據(jù)對比結(jié)果可看出：在不同邊界條件下，截面變化率對固有頻率的影響是不一樣的；不同邊界條件對Legendre多項式的項數(shù)需求是不一樣的，求解出的結(jié)果準(zhǔn)確度也是不一致的；在同一邊界條件下，Legendre多項式求解出的固有頻率和文獻[17]中FEM計算出的結(jié)果變化趨勢是一致的。

表1 不同截面變化率和邊界條件下Timoshenko梁的前4階固有頻率表Table 1 The first four natural frequencies with section change rate and different boundary conditions

從表2中可看出：Legendre方法計算出的固有頻率和IMM方法的結(jié)果相差不大，且變化趨勢是一致的。相比于IMM方法，Legendre多項式方法計算需求的項數(shù)較少，但準(zhǔn)確度有所下降。

采用Legendre方法求解梁的固有頻率時，在梁上需要選取的控制點數(shù)目相對較少，但固有頻率的準(zhǔn)確度存在一定的損失，主要原因是邊界條件的近似處理。同時，計算出的固有頻率還受到梁邊界約束形式、截面變化率和材料梯度系數(shù)的影響。因為“C-C”的約束強度相對較強，所以計算其固有頻率需要選取的多項式數(shù)目相對較少?！癈-F”的約束強度較弱，需要的多項式項數(shù)較多，主要是增加端點附近的Gauss點數(shù)目，以改善端點處的近似處理。

如果邊界約束條件的強度較弱，材料梯度系數(shù)和截面變化率對Legendre方法計算的固有頻率也有比較大的影響。從表1和表2中可看出：在3種邊界條件中，材料梯度系數(shù)和截面變化率對“C-C”條件下固有頻率的影響是最小的，計算誤差較小，對“C-F”條件下固有頻率的影響是最大的，計算誤差相對較大。

采用Legendre多項式方法計算功能梯度梁的固有頻率時，固支約束條件下的擬合效果是最好的，自由約束的擬合效果比較差。對于自由約束的梁，要提高固有頻率的精確度，須增加離散Gauss點的數(shù)目，加強對端點附近振型曲線的控制。

3.3 Legendre多項式項數(shù)對振型擬合的影響

本文以兩端固支的Timoshenko梁為例，分析Legendre多項式方法選取的項數(shù)對梁振型擬合的影響。選取Timoshenko梁的前4階振型，截面變化率c=0.2，材料梯度系數(shù)m=2，擬合振型隨多項式項數(shù)的變化如圖3所示。

圖3 梁前4階模態(tài)下的撓度和轉(zhuǎn)角隨N變化(C-C)Fig.3 Deflections and rotation angle curves with respect to different N of the first four mode shape (C-C)

從圖3中的前4階曲線結(jié)果可得到：對于低階固有振型，只需少量的項數(shù)N即可較好的擬合出梁的撓度和轉(zhuǎn)角曲線；Legendre多項式擬合的曲線精度比較高，但是在端點處邊界條件處理得很差；同一階模態(tài)振型下，選取相同的項數(shù)，撓度曲線的擬合結(jié)果要比轉(zhuǎn)角曲線的擬合結(jié)果好；端點處的撓度和轉(zhuǎn)角值存在誤差，隨著選取多項式項數(shù)的增加，會減小誤差，但無法完全消除。在圖3(d)中，由于分析振型達到4階，原本選取的十項多項式已不能滿足該振型需求，故擬合準(zhǔn)確度相對較差。

因為Legendre正交多項式方法擬合出的曲線是一條連續(xù)且高階可導(dǎo)的曲線，所以相對于常規(guī)的分段線性或者分段拋物線方法，Legendre方法得到的曲線精度是比較高的。擬合曲線的高精度性也是由正交多項式本身的性質(zhì)決定的。同時，由于離散點取為Gauss點，故該方法不能完全的滿足邊界條件，只能對其進行近似處理。Gauss點是根據(jù)所選取的正交多項式本身的性質(zhì)得到的，一般不包括2個端點。采用投影矩陣的方式處理邊界條件，僅僅是在最靠近端點的Gauss點上施加邊界條件，并不是將邊界條件施加在真實的端點上。

4 結(jié)論

1)采用Legendre正交多項式的最佳平方逼近方法可求解出軸向功能梯度Timoshenko梁的固有頻率以及撓度和轉(zhuǎn)角的振型曲線，且得到的擬合曲線是一條連續(xù)并高階可導(dǎo)的曲線。

2)隨著選取的Legendre多項式項數(shù)的增加，擬合得到的撓度曲線和轉(zhuǎn)角曲線的準(zhǔn)確度也得到提高，端點處的誤差有所改善。

3)采用Legendre方法計算功能梯度梁的固有頻率時，固支約束條件下的擬合效果是最好的，自由約束的擬合效果相對較差。

4)在Legendre方法中，截面變化率和材料梯度系數(shù)對梁固有頻率的影響要依據(jù)邊界約束條件來定。邊界約束條件越強，截面變化率和材料梯度系數(shù)對梁固有頻率的影響越小。