盧冠辰

(洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)，河南 洛陽(yáng) 471000)

0 引言

人類下肢的結(jié)構(gòu)十分精密，膝部是下肢的一個(gè)重要支撐作用集中點(diǎn)[2,4,7,8]。它除了承載由人體自重而產(chǎn)生的靜態(tài)重力作用外，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的慣性力也由膝部承擔(dān)。事實(shí)上，國(guó)際上對(duì)于腿部運(yùn)動(dòng)的研究是相當(dāng)深入的，重視加之合理的下肢運(yùn)動(dòng)方式，有利于減少膝部受損情況發(fā)生的幾率。雖然相關(guān)討論眾多，但這些討論大多基于對(duì)行走式機(jī)器人相關(guān)關(guān)鍵要素的分析，對(duì)于腿部運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的人身基礎(chǔ)受力問(wèn)題，現(xiàn)有分析并不足夠充分和深入。從現(xiàn)存模型上看，盡管整體機(jī)器的多連桿運(yùn)動(dòng)經(jīng)典模型，可被應(yīng)用于下肢運(yùn)動(dòng)研究及規(guī)律分析，然而，對(duì)于人體的下肢多樣化的運(yùn)動(dòng)方式及相關(guān)運(yùn)動(dòng)環(huán)境因素、或?qū)τ谌吮旧砻媾R的下肢運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析及判斷等，在實(shí)際人腿運(yùn)動(dòng)受力方面，較為復(fù)雜的研究模型就顯得并不方便，也并不容易得到膝部具體受力與運(yùn)動(dòng)方式上的明確關(guān)聯(lián)。顯然，提出一種簡(jiǎn)化的易于理解的下肢運(yùn)動(dòng)模型，并具體分析人腿膝部受力的量化問(wèn)題，一方面可以得出明確的腿部運(yùn)動(dòng)與腿部受力間的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)，對(duì)普及或推動(dòng)下肢健康運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)也會(huì)形成有益的討論，而所有這些對(duì)于引發(fā)初學(xué)者的步行式機(jī)器人的入門研究也會(huì)產(chǎn)生一定的促進(jìn)作用[1,6,9-11]。因此，本文以上下行腿部運(yùn)動(dòng)為研究對(duì)象進(jìn)行模型簡(jiǎn)構(gòu)，并作受力分析，以期為腿部運(yùn)動(dòng)的受力關(guān)系及相應(yīng)的膝部關(guān)節(jié)相關(guān)防護(hù)方面進(jìn)行有意義的討論。(參見圖1(b))

圖1機(jī)器人(a左)來(lái)自網(wǎng)絡(luò)(BU robot)；機(jī)器人(a右)，是已被Google的“Atlas”雙足機(jī)器人； (b)腿部關(guān)節(jié)簡(jiǎn)圖及膝部具體結(jié)構(gòu)

腿部支撐身體重力，人體通過(guò)腿部常見的肢體運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)身體的物理遷移。基于現(xiàn)代化的工具或設(shè)備使得目前人體的移動(dòng)方式主要建立在滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)形式上，但肢體的運(yùn)動(dòng)方式仍然無(wú)法被全面替代。一方面，人們出于關(guān)注健身方面問(wèn)題的需要，有益的下肢運(yùn)動(dòng)是人們關(guān)注的熱點(diǎn)，另一方面，連接桿式運(yùn)動(dòng)在智能化社會(huì)進(jìn)程發(fā)端之初也是科學(xué)家十分關(guān)注的研究課題[1,2,5,6,9-11]。(如下圖1(a)普通滾動(dòng)行走機(jī)械人及行走下肢行擬人行走機(jī)械人)。

1 建模及過(guò)程分析

作為人腿行走的主要方式，上行與下行地位的重要性是顯而易見的。由于上下樓過(guò)程步長(zhǎng)以及步高(或步深)有顯著的周期性(見圖2)，為了問(wèn)題研究的方便，我們將腿部的上下行行為簡(jiǎn)化為常見的上下樓過(guò)程，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行腿部模型構(gòu)建和簡(jiǎn)化分析。

圖2 上下樓梯平衡過(guò)程真人模擬：(a)(b)上樓梯準(zhǔn)備及模擬啟動(dòng)； (c)(d)下樓梯準(zhǔn)備及模擬啟動(dòng)

在上樓過(guò)程中，前腿起人體主支撐作用，后腿輔助身體遷移至上級(jí)臺(tái)階，當(dāng)前腿直立時(shí)，原后腿移至上級(jí)臺(tái)階并彎曲，此時(shí)，身體重心切換遷移至新的前腿，并完成后面腿部的直立，直到最先啟動(dòng)的腿再度移動(dòng)至上一臺(tái)階并發(fā)生彎曲，如此完成一個(gè)上行周期。在下樓過(guò)程中，后腿起人體主支撐作用，前腿輔助并移至下一臺(tái)階。當(dāng)后腿直立時(shí)，身體重心切換移至前腿，前腿發(fā)生彎曲后直立，直到最初的后腿再度移動(dòng)至下一臺(tái)階并發(fā)生彎曲，如此完成一個(gè)下行周期(見圖3)。

圖3(a) 上下行樓梯的簡(jiǎn)圖; (b) 受力腿的彎曲及其受力圖示

從以上實(shí)際過(guò)程分析及圖示分解可以看出，上下樓梯過(guò)程是身體重心在腿部支撐作用下的曲腿直立過(guò)程，膝部是整個(gè)人體上下行的受力核心。假如在每一個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，人體均處于受力平衡或平衡運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，便可以方便地將這一曲腿直立的受力過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化。如圖3(b)所示，為了保持身體平衡，身體的重心落于支撐曲腿的足部，而腿部關(guān)節(jié)的角度在可調(diào)范圍變化，其過(guò)程均滿足重心落于支撐腿足部的基本規(guī)律。有了這個(gè)基本前提，同時(shí)考慮忽略腿部自重，視腿部為輕質(zhì)剛性連桿，便可簡(jiǎn)構(gòu)此過(guò)程的靜態(tài)及平衡運(yùn)動(dòng)模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)承力腿的受力進(jìn)行過(guò)程分析。

1.1 靜態(tài)平衡上下樓受力分析

1.1.1 上樓梯的平衡受力分析

如圖4所示，依照人體重心通過(guò)提供身體支撐的前腿足部，腿部的受力處于平衡。此時(shí)，以膝關(guān)節(jié)中心部位為實(shí)際支點(diǎn)，大腿所受外力處于力矩平衡狀態(tài)，因此可得如下關(guān)系：

圖4(a) 上樓梯時(shí)運(yùn)動(dòng)模型(含相關(guān)參數(shù)); (b) 大腿、小腿分解受力; (c) 膝部受力合成； (d) 弱化膝部受力的補(bǔ)充力圖

(1)

如圖4中，F(xiàn)1為通過(guò)膝關(guān)節(jié)前端的髕骨由肌肉肌腱一體產(chǎn)生的沿大腿向上的拉力，F(xiàn)2為通過(guò)膝關(guān)節(jié)前端的髕骨由肌肉肌腱一體產(chǎn)生的沿小腿向下的拉力。其中作用于膝關(guān)節(jié)的切線豎直向下的力為F，F(xiàn)到膝關(guān)節(jié)中心的距離為L(zhǎng)0，由于自身重力而產(chǎn)物的逆時(shí)針力矩為由人體在大腿上產(chǎn)生的力FG與力臂長(zhǎng)LG的積，b為小腿長(zhǎng)度，β為小腿與水平地面的夾角，M為人自身的質(zhì)量，g為重加速度。因此可得：

(2)

顯然，此時(shí)，沿膝關(guān)節(jié)前方切線所受豎直向下的力由人體自重Mg、小腿長(zhǎng)度b、小腿與水平地面夾角β、及人體重力方向到膝關(guān)節(jié)中心的距離L0共同決定。

根據(jù)力的三角形法則(圖4-Ⅲ)及余弦定律，可得如下方程：

結(jié)合方程(1)可得：

顯然，Mg、b、L0為常量，為了分析膝部受力的變化情況，可將膝部的受力作以下簡(jiǎn)化：

(3)

其中ε為由Mg、b、及L0規(guī)定的常量。

由此可見，上樓梯時(shí)，膝部受力對(duì)于特定的人而言(小腿長(zhǎng)b及體重Mg一定)，膝部受力主要和小腿與水平地面的夾角β，及大腿與水平臺(tái)面的夾角α有關(guān)。其中夾角β越大，膝部受到拉力越小。根據(jù)力的合成法則，而沿膝部髕骨的雙向拉力的合力隨二力的夾角的增大而減小，而這一合力的夾角θ與α及β的和成負(fù)相關(guān)的關(guān)系，因此，α及β的夾角和越大，膝部的受力越小。同時(shí)，設(shè)大腿與小腿外延長(zhǎng)線的夾角為θ′，其角度的變化是一個(gè)容易觀察的量，由圖5中所示的幾何關(guān)系，可得到如下角度關(guān)系：

圖5(a) 重力支撐腿各方向角度關(guān)系; (b) 矢量三角形合成及對(duì)應(yīng)角度關(guān)系對(duì)照?qǐng)D示

而人上行時(shí)，受力腿所對(duì)應(yīng)的θ′逐步變小，結(jié)合夾角β的變化，依據(jù)方程(3)，理論上可得膝部所受合力的變化情況。

上述為理論推導(dǎo)過(guò)程，真正要得出腿部的過(guò)程受力，還需要進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)際測(cè)量。由于圖中所標(biāo)注的夾角α及β隨時(shí)間變化，為了記錄其變化與時(shí)間的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)中我們采用了水平錄像的方法，將所得影像進(jìn)行處理，按固定時(shí)間間隔選取圖像，以作圖軟件(Coreldraw，億圖等)對(duì)所選圖像中對(duì)應(yīng)的夾角進(jìn)行測(cè)量，可得如下α及β隨時(shí)間變化的圖形(如圖6所示)。由圖可知，通常情況下觀察者上樓時(shí)腿部角度按圖6所示發(fā)生變化，兩種角度的值隨時(shí)間同步增加，上樓啟動(dòng)階段，以承重腿開始撐體重為起點(diǎn)，此時(shí)相應(yīng)的兩角度均為最小值，這樣我們可以結(jié)合方程(3)以及表1中實(shí)際的腿部骨骼數(shù)據(jù)，能夠比較方便計(jì)算出正常情況下一般人群膝部受力大小以及上行時(shí)的受力變化情況。

表1 根據(jù)我國(guó)公布的成人軀干的平均數(shù)據(jù),如表所示,確認(rèn)人體各部分的長(zhǎng)度[3]

圖6 實(shí)測(cè)鴻儒小區(qū)10#樓上臺(tái)階時(shí)主支撐體重大小腿與水平面夾角隨時(shí)間變化圖(臺(tái)階平均高：156.5.mm臺(tái)階平均寬：299.0mm)：■表大腿與水平地面夾角α的度數(shù)，?表示小腿與水平地面夾角β的度數(shù)

其中，設(shè)κ為步長(zhǎng)z的比例系數(shù)，當(dāng)在上述觀測(cè)點(diǎn)測(cè)量時(shí)，對(duì)于同一人及相同樓梯而言，此方程可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，設(shè)

則可得上樓梯時(shí)，α、β兩夾角存在下列關(guān)系：

(4)

聯(lián)合上述方程(2)，(3)，(4)，結(jié)合腿各部分長(zhǎng)度以及人體自重等已知量，便可以十分方便地計(jì)算出在靜態(tài)及平衡受力時(shí)膝部的受力情況。(過(guò)程見下圖7人上樓梯身體重心從雙足間切換至與單足垂直同線過(guò)程圖示)。依據(jù)上述結(jié)論，可以進(jìn)行實(shí)際情況下的膝部受力計(jì)算及極值分析：

圖7 上臺(tái)階啟動(dòng)初期臺(tái)階與腿各部長(zhǎng)度及角度關(guān)系示意圖

1.1.2 下樓梯的平衡受力分析

如圖8所示，將人下樓梯的樣式做出簡(jiǎn)圖，依照平衡狀態(tài)下重心通過(guò)支撐前腿足部，腿部的受力處于平衡。此時(shí)，以膝關(guān)節(jié)中心部為實(shí)際支點(diǎn)，求大腿處力矩平衡方程，可得：

方程中，各物理量所指均與上樓梯相同，因此我們依然可以得到以下方程：

圖8(a) 下樓梯時(shí)運(yùn)動(dòng)模型(含相關(guān)參數(shù)); (b) 大腿、小腿分解受力; (c) 膝部受力合成; (d) 弱化膝部受力的補(bǔ)充力圖示

根據(jù)力的三角形法則及余弦定律，可得如下方程：

結(jié)合方程可得：

(5)

顯然，由于Mg、b、L0為常量，故膝部的受力可簡(jiǎn)化為：

其中ε為由Mg、b、及L0規(guī)定的常量。

同時(shí)，從圖9所示的情況來(lái)看，下樓梯也將出現(xiàn)與上樓梯相類似的情況，我們?nèi)匀豢梢缘玫教峁┲瘟Φ拇笸扰c水平面夾角或小腿與足部所在平面間夾角間的關(guān)系式：

圖9 下樓梯啟動(dòng)初期臺(tái)階與腿各部長(zhǎng)度及角度關(guān)系示意圖

從上面討論的結(jié)果，可以得出結(jié)論：在參與計(jì)算的所有關(guān)系量一定的情況下，上樓與下樓腿部膝關(guān)節(jié)受力情況并無(wú)差別。兩種情況下，膝關(guān)節(jié)的受力只與大小腿與水平面的夾角有關(guān)。

2 結(jié)果與討論

2.1 實(shí)際非平衡條件下的膝關(guān)節(jié)受力擬合

前面的討論僅限于靜態(tài)或受力平衡狀態(tài)下人腿上下行的受力分析。很顯然，現(xiàn)實(shí)情況要繁雜的多。為了將模型的應(yīng)用更接近現(xiàn)實(shí)，我們要做進(jìn)一步討論。

現(xiàn)實(shí)生活及醫(yī)學(xué)證據(jù)常常證實(shí)，人們?cè)谙聵翘輹r(shí)膝部關(guān)節(jié)受到力要大些。從長(zhǎng)期來(lái)看，當(dāng)膝關(guān)節(jié)受力較大且持久時(shí)，造成膝關(guān)節(jié)損傷的可能性也更大。因此有人認(rèn)為人們進(jìn)行腿部運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)盡量避免較多的下行活動(dòng)：如上下樓時(shí)，要減少下樓運(yùn)動(dòng)，而生活中也有“上山容易下山難”的體驗(yàn)。很顯然，實(shí)踐得出的認(rèn)知從一定程度上與前本文中討論的結(jié)論出現(xiàn)了偏離。這主要與上面討論模型的成立以靜平衡態(tài)為前提有關(guān)。實(shí)際情況下，人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，均會(huì)出現(xiàn)一定的偏離平衡態(tài)的情況，一旦整個(gè)上下行過(guò)程中出現(xiàn)了不平衡受力情況，相應(yīng)的人腿上下行過(guò)程的受力則要在原來(lái)的模型基礎(chǔ)之上進(jìn)行相應(yīng)的條件疊加，以使其與實(shí)際情況相適應(yīng)。如下圖所示，實(shí)際條件下，人的上下行過(guò)程都伴有一定的加速度，為了讓模型合理，我們應(yīng)在其中引入慣性力。此時(shí)，原模型中的方程要發(fā)生相應(yīng)變化：

方程中的μ為在運(yùn)動(dòng)中引入的豎直加速度分量，顯然，這一條件下，我們將得到一系列新的方程：

此時(shí)，我們依照實(shí)際角度來(lái)考慮上下樓梯時(shí)的區(qū)別：當(dāng)下樓梯時(shí)，人的運(yùn)動(dòng)將伴隨著勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能的過(guò)程，而上樓時(shí)，這一能量轉(zhuǎn)換過(guò)程主要是人體內(nèi)能轉(zhuǎn)化為人體勢(shì)能的過(guò)程。同樣條件下，下樓時(shí)身體重心將產(chǎn)生較大的向下慣性力(a′

據(jù)上面討論，上下行過(guò)程膝部受力方程如下：

(8)

2.2 減緩膝部受力分析

國(guó)際上通常利用腳底緩沖的方式來(lái)降低運(yùn)動(dòng)中膝部的損傷。例如，一般認(rèn)為在塑膠材料上進(jìn)行運(yùn)動(dòng)可以有效減少膝部損傷，該方法本質(zhì)相當(dāng)于減小了人體的向下慣性力?；谖闹心Ｐ屯茖?dǎo)的結(jié)果，我們自然也希望本簡(jiǎn)構(gòu)模型能在上下行中膝部受力的緩解方面產(chǎn)生作用。

如圖10所示，從圖中我們發(fā)現(xiàn)，膝部所受合力的方向與運(yùn)動(dòng)方向大致反向(其具體方向由力的三角形合成法則決定)，如果能在圖中對(duì)膝部施加一個(gè)與此合力Ftotal相反的力Fadd，從理論上講，可以起到減弱膝部受力的效果。為了得到這樣一個(gè)力Fadd，設(shè)想在大腿與小腿間添加一個(gè)彈性物體，當(dāng)大腿與水平面的夾角α以及小腿與腳部平面間的夾角β較小時(shí)，根據(jù)前面的結(jié)論，此時(shí)膝部所受合力也最大，這也是最易造成膝部受力損傷的時(shí)候。然而，與此同時(shí)，大腿與小腿間添加的彈性物體所受的壓縮形變也最大，彈性體可以產(chǎn)生的彈性反作用力也較大，因此，F(xiàn)add此時(shí)也應(yīng)最大。兩力疊加，即可達(dá)到有效減緩膝部受力的作用效果。最終膝部的受力應(yīng)為：

圖10 膝部受力及介入式減緩作用分析

F=Ftotal-Fadd

(9)

3 結(jié)論

通過(guò)上述有關(guān)上下行人腿膝部受力問(wèn)題量化研究，我們可得到如下結(jié)論。

1) 從靜態(tài)或平衡運(yùn)動(dòng)狀態(tài)上講，人的上下行過(guò)程中，膝部受力和腿與平面的角度、小腿的長(zhǎng)度、人的體重、樓梯的高及步長(zhǎng)等因素有關(guān)。但由于上行與下行過(guò)程中對(duì)應(yīng)的各數(shù)量因素相同，因此兩種情況下膝部受力并無(wú)區(qū)別；

2) 從上下行的實(shí)際情況上看，由于慣性力的存在，使得實(shí)際上膝部受力與平衡狀態(tài)下不同。由于上下行時(shí)兩種情況人體軀干重心產(chǎn)生不同的加速度，其中下行加速大于上行加速度，因此下行運(yùn)動(dòng)時(shí)膝部受力要明顯大于上行情況。從而用數(shù)據(jù)說(shuō)明，人們認(rèn)為的下行易傷膝的說(shuō)法成立；

3) 文中模型可以得到上下行運(yùn)動(dòng)中膝部受力變化趨勢(shì)，膝部受力的極值問(wèn)題也可以依具體情況可以得出。這些數(shù)據(jù)可為醫(yī)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、步行機(jī)器人的下肢構(gòu)建、甚至建筑學(xué)中臺(tái)階各尺寸的合理設(shè)置等，提供有價(jià)值的參考借鑒；

4) 基于及緩解膝部受力的觀點(diǎn)，我們?cè)谕炔亢?jiǎn)構(gòu)受力模型中引入了附加力(詳見式(9))。從原理上有望成為一種減緩膝關(guān)節(jié)損傷的便宜方式及有效途徑；

5) 最后，文中提到的產(chǎn)生彈力形變的材料設(shè)計(jì)、選取、組裝，以及設(shè)置等問(wèn)題將會(huì)成為本課題下一步探索的重要研究?jī)?nèi)容。