趙文杰 湯新民* 黃忠濤 朱 盼

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院1) 南京 211100) (中國民航局第二研究所2) 成都 610041)

0 引 言

目前，國內(nèi)外先進(jìn)的民航機場的場面監(jiān)視，主要是通過場面監(jiān)視雷達(dá)(SMR)實現(xiàn)的[1-2].但SMR容易受到外界因素的影響，抗干擾能力比較差.本文航空器監(jiān)視數(shù)據(jù)是利用機載的ADS-B設(shè)備獲取的.由于ADS-B技術(shù)依賴GNSS系統(tǒng)(全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng))對目標(biāo)進(jìn)行定位[3].因此，ADS-B技術(shù)本身缺乏對目標(biāo)真實位置的驗證功能[4].要得到盡量接近真實值的定位信息就需要運用交互式多模型對位置和速度方面進(jìn)行誤差修正.

IMM算法在各種目標(biāo)跟蹤問題中非常有效，使用有限數(shù)量的不同模型來描述目標(biāo)的行為，并且不同模型之間的相互作用由轉(zhuǎn)移概率矩陣控制[5-6].目前國內(nèi)外一些學(xué)者對IMM算法進(jìn)行了改進(jìn)，戴定成等[7]通過重新定義模型誤差壓縮率之比，提出了一種改進(jìn)的馬爾可夫參數(shù)自適應(yīng)IMM算法.封普文等[8]基于后驗信息修正，擴展了一種在線更新馬爾可夫概率轉(zhuǎn)移矩陣的自適應(yīng)跟蹤算法.Samuel等[9]提出了一種改善混合系統(tǒng)噪聲的高機動目標(biāo)跟蹤濾波器性能的方法，設(shè)計了有色噪聲一階離散馬爾可夫系統(tǒng).通過使用具有離散白噪聲加速度和水平協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎模型的IMM濾波器來完成跟蹤.以上學(xué)者僅對算法做了跟蹤過程的馬爾可夫參數(shù)的改進(jìn)，并沒有將改進(jìn)的算法應(yīng)用到目標(biāo)軌跡的預(yù)測過程，當(dāng)缺少觀測值時算法失效.劉恒澤等[10]提出了運用IMM對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時的航跡外推算法能夠在進(jìn)行記憶跟蹤的時候保持目標(biāo)的運動趨勢，但是沒有結(jié)合實際運動情況，所以在預(yù)測時會產(chǎn)生一定的誤差.

本文旨在通過ADS-B獲取機場航空器/車輛位置信息，通過改進(jìn)的軌跡外推算法結(jié)合機場統(tǒng)計的移動目標(biāo)路徑選擇概率對移動目標(biāo)意圖預(yù)測，防止車輛駕駛員和飛行員產(chǎn)生偏差.

利用IMM做外推的不足，必須結(jié)合先驗信息，如何將先驗信息修正當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.

1 機場場面信息及建模

1.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

由于ADS-B接收到的位置信息為經(jīng)緯度信息，所以需要先將經(jīng)緯度信息轉(zhuǎn)換成以機場某一點為原點的平面直角坐標(biāo)系.

ADS-B報文中目標(biāo)位置的表示是采用橢球坐標(biāo)系(φ，λ，h).其中:φ為緯度；λ為經(jīng)度；h為飛行高度.經(jīng)過坐標(biāo)變換到地心直角坐標(biāo)系(x，y，z)，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為

(1)

式中：a為地球的長軸半徑(6 378 137 m)；b為地球的短軸半徑(6 356 752 m).設(shè)本地中心點的大地坐標(biāo)經(jīng)度、緯度、高度為(φ′，λ′，h′)，根據(jù)上述轉(zhuǎn)換公式，得本地中心點在地心直角坐標(biāo)系中的位置為

(2)

WGS84坐標(biāo)系下目標(biāo)在本地直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(3)

RT為旋轉(zhuǎn)矩陣

(4)

經(jīng)過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可以將機場中任一點表示為相對于ADS-B地面站為原點的坐標(biāo)，將跑道和滑行道等活動區(qū)域進(jìn)行劃分，并可以用坐標(biāo)表示出來該區(qū)域的范圍.

1.2 路網(wǎng)及先驗信息建模

1) 路網(wǎng)建模 本文以祿口機場為背景，見圖1.從機場交通路網(wǎng)的實際結(jié)構(gòu)出發(fā)用圖來表示其連接關(guān)系，見圖2.圖中的節(jié)點抽象為機場中道路與道路之間的交叉點，邊抽象為兩個交叉點之間連接的路段，兩個相鄰節(jié)點之間的概率作為選擇該路段的量化屬性，從而對跑道及滑行道進(jìn)行路網(wǎng)建模.機場中的道路交叉口用節(jié)點表示，交叉口之間的路段用邊表示.路網(wǎng)模型為G=(V,E,X).其中：V={na，a=1，2,…,9}為節(jié)點集合；E={Lb，b=1，2,…,10}為邊的集合；X={(xa，ya)}為第a個節(jié)點機場位置的物理坐標(biāo).

圖1 祿口機場部分場面地圖

圖2 祿口機場路網(wǎng)模型

2) 構(gòu)建概率鄰接矩陣 由機場統(tǒng)計的ADS-B歷史數(shù)據(jù)可得每個節(jié)點之間的轉(zhuǎn)換概率并可得到概率鄰接矩陣.通過預(yù)計的下一節(jié)點與該節(jié)點的坐標(biāo)差值(xa+1-xa，ya+1-ya)和當(dāng)前航向比較，如果兩點連線的矢量和速度矢量的夾角在很小的范圍內(nèi)認(rèn)為是直行，否則轉(zhuǎn)彎，進(jìn)而可以得到某節(jié)點預(yù)計轉(zhuǎn)彎和直行的概率.

由圖2可知，共有9個結(jié)點的圖G=(V,E,X)，最簡單的方法是使用一個n×n階的概率矩陣A=(aij)n×n來定義，其中:

(5)

式中：1為連通；dij為機場中先驗信息節(jié)點i向節(jié)點j的路徑轉(zhuǎn)換概率.

則該圖的概率鄰接矩陣可以表示為

1.3 路段速度建模

(7)

轉(zhuǎn)換成矩陣為

(8)

對路網(wǎng)中每一條路段的移動目標(biāo)速度進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計在路段Lb(b=1，2,…,10)的勻速運動與勻變速運動的概率由矩陣B表示

2 基于交互式多模型的跟蹤和外推

根據(jù)機場模型對機場進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，結(jié)合移動目標(biāo)軌跡統(tǒng)計數(shù)據(jù)與實時處理的ADS-B數(shù)據(jù)，選取需要跟蹤或預(yù)測的移動目標(biāo).然后判斷目標(biāo)的運動過程是否有可靠的觀測值，如果存在可靠的觀測值，則通過當(dāng)前的觀測值結(jié)合傳統(tǒng)的IMM算法對其進(jìn)行軌跡跟蹤;否則，利用根據(jù)歷史信息結(jié)合修正的IMM軌跡外推算法對其軌跡進(jìn)行預(yù)測，具體過程見圖3.

圖3 基于IMM軌跡跟蹤與外推過程

2.1 IMM算法

為了描述運動目標(biāo)的運動狀態(tài)，將對各種運動狀態(tài)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型建模，分別用運動目標(biāo)的運動狀態(tài)模型與量測模型表示.

狀態(tài)方程:

X(k)=F(k-1)X(k-1)+G(k-1)W(k-1)

(9)

觀測方程:

Z(K)=hX(k)+v(k)

(10)

式中：X(k)∈Rn為狀態(tài)向量；F(k)為n維系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；G(k)為噪聲驅(qū)動矩陣；W(k)為狀態(tài)方程白噪聲；v(k)量測噪聲向量；Z(K)∈Rm為量測向量.

飛機在機場場面運動一般有三種運動模式，分別為勻速直線運動模型(CV)，勻變速直線模型(CA)，勻速轉(zhuǎn)彎模型(CT).在每一條路段(跑到、滑行道)中主要包括CV與CA模型，在路段與路段的交叉口處主要包括CT模型.

運動學(xué)公式可表示為

(11)

X(K)=FCV(k-1)X(K-1)+

GCV(k-1)WCV(k-1)

(12)

即

(13)

系統(tǒng)觀測轉(zhuǎn)移矩陣：

X(K)=FCT(k-1)X(K-1)+

GCT(k-1)WCT(k-1)

(14)

(15)

X(K)=FCA(k-1)X(K-1)+

GCA(k-1)WCA(k-1)

(16)

交互式多模型算法引入多個目標(biāo)運動模型，具有自適應(yīng)的特點，能夠有效地對各個模型的概率進(jìn)行調(diào)整，并按照相應(yīng)的概率對每個模型的狀態(tài)估計進(jìn)行加權(quán)，實現(xiàn)對運動目標(biāo)的跟蹤，在實際應(yīng)用中，產(chǎn)生良好的效果.IMM濾波算法主要包括四個步驟，分別為輸入交互、并行濾波、模型概率更新和輸出數(shù)據(jù)融合.

輸入交互概率:

(17)

由文獻(xiàn)[11]知IMM算法的并行濾波過程采用的是卡爾曼濾波，此處不再贅述.

似然函數(shù):

(18)

(19)

輸出數(shù)據(jù)融合：

(20)

2.2 修正馬爾科夫矩陣的軌跡外推算法

在IMM算法中，輸入的交互過程一般為馬爾科夫過程，而模型初始轉(zhuǎn)移概率由人為確定，并不會隨著實際運動情況而變化.當(dāng)目標(biāo)實際運動與初始轉(zhuǎn)移概率的偏差較大時，這種人為確定的Markov矩陣會因為情況的變化失真而不能準(zhǔn)確反映目標(biāo)的實際運動模式轉(zhuǎn)換情況，鑒于此，本文利用機場中跑道與滑行道運行的概率等先驗信息對其進(jìn)行實時修正，使之切合目標(biāo)實際運動狀態(tài).

(22)

考慮到某時刻某一模型向所有的模型轉(zhuǎn)移概率之和應(yīng)為1.因此，需要對上式進(jìn)行歸一化.修正后的轉(zhuǎn)移概率計算公式為

(23)

由式(23)可知，當(dāng)其他模型向模型j轉(zhuǎn)移的概率增大時，修正后的Markov矩陣中的第j列元素也會隨之增大，那么在下一時刻的模型交互中，機場先驗信息模型概率大的子模型將占據(jù)更大比重；相反，機場先驗信息模型概率小的子模型所占的比重將減小.

利用該比值對概率矩陣進(jìn)行修正，得

(24)

在通常情況下，當(dāng)k時刻沒有獲得符合條件的觀測值時，需要進(jìn)行軌跡外推.單一模型情況下通過卡爾曼濾波建立目標(biāo)軌跡模型，可以通過式(24)得到狀態(tài)值的一步預(yù)測值進(jìn)行軌跡外推.

式中：F(k-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.在交互多模型的情況下，由于目標(biāo)模型是通過多個模型相互作用得到的，因此無法獲得確定的F(k-1)，無法運用式(25)進(jìn)行軌跡外推.k時刻初始條件Xoj(k-1|k-1)和Poj(k-1|k-1)的計算不受觀測向量的影響，因此在k時刻沒有可信觀測信息時，可以通過式(25)和式(26)分別計算出各模型的狀態(tài)預(yù)測值和預(yù)測協(xié)方差矩陣.對模型j進(jìn)行外推過程如下.

式中:G(k-1)為第j個模型的過程噪聲傳遞矩陣；Qj為噪聲協(xié)方差矩陣；T為采樣周期.其中Fj(k-1)和G(k-1)可由CA，CV，CT模型分別得到.

(28)

(29)

(30)

由式(30)可得的狀態(tài)預(yù)測值和預(yù)測濾波均方誤差陣建立目標(biāo)的外推軌跡，從而實現(xiàn)了交互式多模算法的場面飛機與車輛的軌跡預(yù)測.

3 仿真實驗與分析

飛機落地時初始位置為(0,0)，在跑道上先經(jīng)過一段勻變速運動接著在跑道中勻速運動，到達(dá)圖2中的n2節(jié)點時轉(zhuǎn)彎再經(jīng)過一段勻速過程到達(dá)n5節(jié)點，在此之前為跟蹤過程，從n5節(jié)點之后進(jìn)行軌跡的外推，其中采樣周期為1 s.其中，初始模型概率為μ=[0.3,0.3,0.4]，初始馬爾科夫轉(zhuǎn)移概率為Pij=[0.9,0.05,0.05;0.05,0.9,0.05;0.05,0.05,0.9]，觀測噪聲協(xié)方差為R=diag{[20,20]}，過程噪聲協(xié)方差矩陣Q=diag{[10,10]}.

在觀測數(shù)據(jù)正常的情況下，運用交互式多模型算法進(jìn)行目標(biāo)跟蹤，當(dāng)沒有符合要求的觀測數(shù)據(jù)時，運用外推算法進(jìn)行軌跡外推，軌跡的外推見圖4.

圖4 外推軌跡

為了驗證修正馬爾科夫矩陣的軌跡外推算法與未修正的外推算法的預(yù)測效果，分別對兩種算法進(jìn)行仿真實驗，其中“預(yù)測一”表示修正馬爾科夫矩陣的軌跡外推算法的預(yù)測軌跡，“預(yù)測二”表示未修正的軌跡外推算法的預(yù)測軌跡.仿真結(jié)果見圖5.軌跡外推的次數(shù)與比例見表1.

圖5 外推算法預(yù)測軌跡

表1 軌跡外推的次數(shù)與比例

為了進(jìn)一步驗證兩種算法在軌跡選擇上都預(yù)測正確的前提下，速度誤差的大小，本文選取了圖5a)情況下運用最小二乘法進(jìn)行擬合并對速度誤差進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果見圖6.其中“V-1”為改進(jìn)的軌跡外推算法的速度隨時間變化曲線，“V-2”表示未改進(jìn)的軌跡外推算法的速度隨時間變化曲線.由圖7可知，曲線“V-1”較曲線“V-2”更接近真實曲線，說明改進(jìn)的外推算法對速度的擬合比未改進(jìn)的外推算法效果要好.

圖6 外推算法速度曲線

圖7為兩種外推算法速度誤差曲線，均值與方差見表2，改進(jìn)的外推算法速度誤差在平均值與方差上都更接近真實值，因此速度的擬合效果更好.

圖7 外推算法速度誤差曲線

表2 兩種外推算法速度誤差對比

本文通過設(shè)計仿真實驗驗證了改進(jìn)的軌跡外推算法在移動目標(biāo)缺少觀測量時根據(jù)已有的信息對其軌道選擇準(zhǔn)確率比未改進(jìn)算法有明顯提高，當(dāng)兩種算法同時對軌道選擇預(yù)測準(zhǔn)確的情況下，改進(jìn)的軌跡外推算法對于速度的擬合效果更好，因此能夠?qū)δ繕?biāo)狀態(tài)進(jìn)行較好的預(yù)測.

4 結(jié) 束 語

本文根據(jù)機場路網(wǎng)信息和移動目標(biāo)的運動模型，實現(xiàn)了對目標(biāo)進(jìn)行軌跡跟蹤，在此基礎(chǔ)上提出了IMM軌跡外推算法當(dāng)缺少可靠度觀測值時結(jié)合歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)根據(jù)外推算法進(jìn)行軌跡的預(yù)測.將過去時刻的歷史信息融入到馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣中，在移動目標(biāo)每經(jīng)過一個節(jié)點馬爾科夫矩陣就會自動更新，使其更符合真實的目標(biāo)運動狀況，從而使濾波器更好地適應(yīng)目標(biāo)運動狀態(tài)的變化，以獲得更佳的目標(biāo)軌跡預(yù)測效果.仿真結(jié)果進(jìn)一步證明了改進(jìn)的IMM外推算法比未修改的軌跡外推算法準(zhǔn)確度更高.