楊靜，魏若愚

（北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100083）

衛(wèi)星的定軌精度是決定導(dǎo)航定位性能的直接因素。隨著衛(wèi)星導(dǎo)航技術(shù)的深入發(fā)展和應(yīng)用，對衛(wèi)星定軌也提出了更高的要求?，F(xiàn)階段主要依靠地面定軌模式的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，受限于地面站數(shù)量、分布以及戰(zhàn)時易受打壓導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰的缺陷，難以滿足對高軌衛(wèi)星和深空衛(wèi)星的導(dǎo)航。因此，衛(wèi)星星座自主定軌成為研究的重要方向。

衛(wèi)星星座自主定軌指在無實時地面支持的情況下，在星上利用星載導(dǎo)航傳感器獲取的測量信息以及先驗信息進行長時間軌道確定的過程。1984年，Mark ley首次提出用星座聯(lián)合的方法來強化基于地球和太陽傳感器的自主導(dǎo)航方案，結(jié)果表明聯(lián)合測量可以顯著提高軌道精度［1］。Ananda等在1984年給出了基于星間測距的GPS自主導(dǎo)航方法，并利用測量數(shù)據(jù)開展了仿真研究［2］，但該方案具有虧秩特性，存在星座整體旋轉(zhuǎn)和星鐘整體漂移2類問題，是不完全可觀的［3-4］。針對上述問題，通常采用引入先驗信息、增加觀測量和有偏估計3種途徑來解決［5］。在引入先驗信息方面，對于中、高軌道衛(wèi)星，通過對升交點赤經(jīng)和軌道傾角施加約束可以有效解決星座的整體旋轉(zhuǎn)問題。增加觀測量的方法通過引入恒星參考、地面信標(biāo)、地磁參考或脈沖星等測量信息來改善觀測矩陣的特性，但需要增加相應(yīng)的星載測量設(shè)備，且導(dǎo)航精度會受到測量精度制約。當(dāng)采用有偏估計方法時，當(dāng)模型僅存在微小偏差時，方法具有一定的“穩(wěn)定性”，并且對觀測值中的粗差具有一定的“抗干擾性”，但當(dāng)粗差較大時，方法有可能失效。顯然，以上幾種途徑均存在一定的局限性。Hill等提出了利用平動點軌道的特殊幾何性質(zhì)來解決星間測距星座自主定軌方法中的“虧秩”問題，這就是著名的星際聯(lián)合自主導(dǎo)航（Linked Autonomous Interplanetary Satellite Orbit Navigation，LiAISON）方法［6］，該方法可以僅利用星間測距實現(xiàn)平動點軌道導(dǎo)航星座的自主定軌。隨后，國內(nèi)外多名學(xué)者對LiAISON方法展開了研究。Leonard［7］、Fujimoto［8］等 對 地 球 靜 止 軌 道（Geostationary Earth Orbit，GEO）和平動點衛(wèi)星通過星間測距進行軌道定位，并仿真驗證了其可行性。

在衛(wèi)星星座自主定軌過程中，由于星載導(dǎo)航傳感器獲取的測量信息并不直接與衛(wèi)星軌道根數(shù)有關(guān)，因此需要設(shè)計自主定軌算法，通過數(shù)據(jù)融合的方法，對參考軌道根數(shù)進行修正，得到所需狀態(tài)變量的估計值。在星座自主定軌系統(tǒng)中，常用的定軌算法主要有批處理算法、序貫遞推算法和抗差估計算法等。由于空間物理環(huán)境下，衛(wèi)星易受到較多的擾動信號干擾，并且衛(wèi)星定軌具有較高實時性的要求，因此常采用卡爾曼濾波及其改進算法來對衛(wèi)星狀態(tài)進行估計。

衛(wèi)星自主定軌算法在濾波結(jié)構(gòu)層面上可主要分為集中式、分層式和分布式3類。由于在大型星座系統(tǒng)中，衛(wèi)星數(shù)目較多，采用集中式濾波結(jié)構(gòu)對衛(wèi)星計算和存儲有較高要求，不利于實時運行；分布式濾波結(jié)構(gòu)無處理中心，各個衛(wèi)星同等地對數(shù)據(jù)進行處理，但由于無法實時獲得其他衛(wèi)星狀態(tài)的最優(yōu)估計值，因此只能得到次優(yōu)的濾波結(jié)果；分層式濾波結(jié)構(gòu)的性能介于集中式和分布式之間，而在大型星座自主定軌系統(tǒng)中，考慮到星載設(shè)備有限的運算能力、通信能力以及對較高定軌精度的需求，分層式濾波結(jié)構(gòu)往往是更好的選擇。

在分層式濾波結(jié)構(gòu)中，通過合理設(shè)計子濾波器的結(jié)構(gòu)、規(guī)模及其信息融合方法來保證全局濾波的精度和效率。文獻［9-12］在線性最小方差意義下，利用拉格朗日乘子法推導(dǎo)出了矩陣加權(quán)、標(biāo)量加權(quán)和對角陣加權(quán)3種融合方法。這3種方法要求多個融合信息之間是不相關(guān)的或是相關(guān)性的大小已知，但在實際應(yīng)用中難以準(zhǔn)確獲取描述相關(guān)性大小的互協(xié)方差。文獻［13］提出的簡單凸組合法忽略了融合信息間的相關(guān)性，在相關(guān)性未知的情況下實現(xiàn)融合估計，然而在融合信息間存在強相關(guān)性的情況下，若忽略該影響會導(dǎo)致估計精度下降，嚴(yán)重情況下甚至?xí)?dǎo)致濾波發(fā)散。文獻［14］中的協(xié)方差交叉融合法可以在避免計算互協(xié)方差的基礎(chǔ)上，提高濾波系統(tǒng)的魯棒性，避免發(fā)散。

本文采用LiAISON方法，利用地月系統(tǒng)中存在的非對稱引力來解決地球星座自主定軌中存在的“虧秩”問題，僅通過星間測距以實現(xiàn)自主定軌，該方法結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)，且定軌精度高。本文以由全球?qū)Ш叫l(wèi)星和拉格朗日衛(wèi)星構(gòu)成的聯(lián)合星座為研究對象，在有限的星載運算能力和通信能力下，對基于分層結(jié)構(gòu)星座自主定軌的信息融合方法展開研究。

1 星座自主定軌模型的建立

本節(jié)在分別建立全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（Global Navigation Satellite System，GNSS）中的衛(wèi)星和拉格朗日衛(wèi)星的軌道動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，以星間距離作為量測信息，建立地月聯(lián)合星座自主定軌系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程。

1.1 軌道動力學(xué)模型

考慮到定軌精度以及實時計算的需求，在全球?qū)Ш叫l(wèi)星的軌道動力學(xué)模型中，考慮了J2項攝動FJ2、太陽引力攝動Fs、月球引力攝動FM以及其他未建模噪聲FW，得到如下方程：

式中：r為地球?qū)Ш叫l(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系中的位置矢量；F0為地球重力加速度。

對于地月聯(lián)合星座而言，衛(wèi)星質(zhì)量相對于地球和月球而言可忽略不計，因此拉格朗日衛(wèi)星軌道動力學(xué)模型選用圓型限制性三體問題（Circular Restricted Three-Body Problem，CRTBP）［15］作為基礎(chǔ)力學(xué)模型。

定義質(zhì)心會合坐標(biāo)系Omr-xmrymrzmr：原點位于地月系質(zhì)心Omr，xmr軸由質(zhì)心指向月心方向，zmr軸指向系統(tǒng)的角速度方向，ymr軸按右手定則構(gòu)成。

在CRTBP中，將各物理量進行無量綱化和歸一化處理如下：

式中：μ為質(zhì)量參數(shù)；向量rm＝［xmymzm］表示衛(wèi)星在質(zhì)心會合坐標(biāo)系中的位置；rPE和rPM分別為歸一化后衛(wèi)星到地球和月球的距離。

1.2 星間測量模型

2）異類衛(wèi)星的星間測距模型

拉格朗日衛(wèi)星與全球?qū)Ш叫l(wèi)星測距示意圖如圖1所示。

圖1 拉格朗日衛(wèi)星與全球?qū)Ш叫l(wèi)星測距示意圖Fig.1 Schematic diagram of ranging between Lagrange satellite and global navigation satellite

式中：ΩM為月球軌道的升交點赤經(jīng)；iM為軌道傾角；uM為升交點角距；Rz″、Rx′和Rz分別為基于升交點赤經(jīng)、軌道傾角和升交點角距的旋轉(zhuǎn)矩陣。

1.3 分層式濾波的結(jié)構(gòu)模型

考慮受到衛(wèi)星計算能力和存儲量的限制，本文采用分層式結(jié)構(gòu)設(shè)計星座自主定軌濾波器［16］。GNSS星座由采用Walker 24／3／2結(jié)構(gòu)的中軌道地球衛(wèi)星（Medium Earth Orbit，MEO）構(gòu)成，其分布示意圖如圖2所示。在構(gòu)建子濾波器時，將同一軌道面上相鄰的4顆衛(wèi)星進行組合，且同軌相鄰的2個子濾波器包含2顆相同的衛(wèi)星。同時，每個子濾波器包含2顆拉格朗日衛(wèi)星以保證絕對定位性能。在異軌信息利用方面，可將異軌衛(wèi)星引入子濾波器，對子濾波器進行集中濾波，此時只利用異軌衛(wèi)星的預(yù)測狀態(tài)；此外，也可只利用異軌衛(wèi)星間的測距信息而不對異軌衛(wèi)星自身狀態(tài)進行估計。本文采用引入異軌衛(wèi)星進行集中濾波的方法，并利用與2顆異軌衛(wèi)星間的星間測距信息提供軌道面外的幾何約束信息，以實現(xiàn)更精準(zhǔn)的軌道定位。將各子濾波器得到的局部狀態(tài)估計，經(jīng)過進一步融合得到星座中各衛(wèi)星的狀態(tài)估計結(jié)果。本文設(shè)計的分層式結(jié)構(gòu)的子濾波器的組成如表1所示。

圖2 MEO星座半分布式濾波結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of semi-distributed filtering structure of MEO constellation

表1 分層結(jié)構(gòu)的子濾波器構(gòu)成Table 1 H ierarchical sub-filter structure

在1.1節(jié)中，拉格朗日衛(wèi)星自主定軌采用了基于圓形限制性三體問題的簡化模型，但實際中的軌道往往不是理想圓形的，除此而外，在全球?qū)Ш叫l(wèi)星的建模中也存在未建模的系統(tǒng)誤差。在濾波估計過程中，各子濾波器中的公共系統(tǒng)誤差的傳播，將引起子濾波器之間存在著復(fù)雜的相關(guān)性，這使得子濾波器間的互協(xié)方差陣不是對角陣。由于本系統(tǒng)具有較強的非線性，且系統(tǒng)噪聲參數(shù)難以準(zhǔn)確獲得，這將導(dǎo)致相關(guān)性的大小難以準(zhǔn)確獲知。為了消除相關(guān)性帶來的影響，可采用方差放大技術(shù)進行處理［17］。在濾波過程中，通過對異軌衛(wèi)星狀態(tài)誤差協(xié)方差陣進行放大，并調(diào)節(jié)放大系數(shù)的大小來減弱狀態(tài)估計相關(guān)性帶來的影響。

2 信息融合方法

在相同軌道面上，子濾波器之間含有部分公共的衛(wèi)星狀態(tài)，如圖3所示，S1～S6、S9～S12為MEO 1～12號衛(wèi)星的狀態(tài)，La、Lb代表拉格朗日衛(wèi)星的狀態(tài)。為了提高濾波精度，將其公共狀態(tài)進行融合。

由于各個子濾波器中都含有相同的拉格朗日衛(wèi)星，因此對拉格朗日衛(wèi)星狀態(tài)的融合采用基于多傳感的不相關(guān)融合方法，本文不作深入討論。而對于所有全球?qū)Ш叫l(wèi)星，它們作為公共衛(wèi)星被包含在同軌相鄰的2個子濾波器中，因此，在確保估計精度的前提下，設(shè)計高效實用的融合2個局部狀態(tài)估計的融合方法。

2.1 簡單凸組合法

簡單凸組合法的融合后誤差方差陣P0以及融合估計分別為

簡單凸組合法實現(xiàn)簡單，應(yīng)用廣泛。當(dāng)局部狀態(tài)估計之間不存在相關(guān)性時，可以獲得最優(yōu)的融合結(jié)果。該方法也常被用在相關(guān)性可以忽略的場合，但是會降低融合精度，只能得到次優(yōu)的估計結(jié)果。在局部狀態(tài)估計之間相關(guān)性強時，采用該方法有可能會導(dǎo)致融合結(jié)果發(fā)散。

2.2 協(xié)方差交叉融合法

當(dāng)對相關(guān)性未知的局部狀態(tài)估計進行融合時，協(xié)方差交叉融合法可以在一定程度上避免采用簡單凸組合法可能存在的融合結(jié)果發(fā)散的問題。

協(xié)方差交叉融合法是在信息空間上對均值和協(xié)方差估計的一個凸組合。協(xié)方差交叉融合法是一種特殊形式的按矩陣加權(quán)線性無偏融合估計，通過使融合協(xié)方差陣的某種范數(shù)到達最小，以完成融合。采用協(xié)方差交叉融合法計算得到的誤差方差陣、融合估計的表達式分別為

對非線性問題，可采用黃金分割法和斐波那契法等方法來對最優(yōu)權(quán)系數(shù)ω進行搜索。

定義1 （協(xié)方差橢球［18］）對于任意一個協(xié)方差矩陣Pi，j，其協(xié)方差橢球為滿足條件＝c的所有點構(gòu)成的軌跡，其中c為一常數(shù)。

由式（11）求解的融合方差陣P0，其協(xié)方差橢圓包含由P1和P2生成的協(xié)方差橢圓的公共區(qū)域，并且通過兩橢圓的4個交點。當(dāng)兩局部估計相關(guān)度即誤差協(xié)方差矩陣P1，2已知時，融合后的協(xié)方差橢圓始終位于P1和P2協(xié)方差橢圓的公共區(qū)域內(nèi)部。假設(shè)兩相關(guān)估計誤差方差陣估計值分別為P1、P2，若其滿足一致性條件，那么即使相關(guān)性未知，協(xié)方差交叉融合法也能保證融合后誤差方差陣一致性的成立［12］。

2.3 矩陣加權(quán)法

2.4 標(biāo)量加權(quán)法

在精度方面，矩陣加權(quán)法考慮了局部估計之間的相關(guān)性，其融合精度比簡單凸組合法更高；對于協(xié)方差交叉融合法，由于該方法可能出現(xiàn)無法找到最優(yōu)系數(shù)或陷入局部最優(yōu)的情況，并且未考慮相關(guān)性的影響，因此其精度比標(biāo)量加權(quán)法低。此外，在實際應(yīng)用中，由于系統(tǒng)對于實時性往往有較高要求，而按標(biāo)量加權(quán)相比于按矩陣加權(quán)，能夠在損失較小精度的前提下大大降低運算量，因此按標(biāo)量加權(quán)常常更能滿足實際系統(tǒng)的需求。

3 仿真分析

本文以地月聯(lián)合星座作為仿真對象，其中全球?qū)Ш叫l(wèi)星選取Walker 24／3／2構(gòu)型中的24顆MEO衛(wèi)星，拉格朗日衛(wèi)星選取L1、L2點的2顆南族Halo衛(wèi)星。全球?qū)Ш叫l(wèi)星軌道由軌道動力學(xué)模型通過數(shù)值積分生成，拉格朗日衛(wèi)星軌道由受攝三體模型進行數(shù)值積分生成并通過多步打靶法進行拼接。通過星間測距，采用擴展卡爾曼濾波算法對衛(wèi)星狀態(tài)進行估計以實現(xiàn)自主定軌。

仿真時長設(shè)為25 d，濾波周期為100 s，測量精度設(shè)為5m。以GNSS星座中的1號衛(wèi)星作為分析對象，采用表1所述濾波結(jié)構(gòu)，通過誤差均方根（RMSE）來描述衛(wèi)星定軌精度，其計算公式為

式中：Xest，i為i時刻狀態(tài)估計值；Xi為i時刻狀態(tài)真值；n為時間點總個數(shù)。

采用簡單凸組合法計算得到的MEO 1號衛(wèi)星位置和速度誤差如圖4和圖5所示。圖中：x，y，z表示衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系3個坐標(biāo)軸下的位置誤差；vx，vy，vz表示衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系3個坐標(biāo)軸下的速度誤差。

采用協(xié)方差交叉融合法時需求解最優(yōu)權(quán)系數(shù)ω。利用斐波那契法與黃金分割法通過取試探點使包含極小點的區(qū)間不斷縮短，當(dāng)區(qū)間長度小到一定程度時，區(qū)間上各點的函數(shù)值均接近極小值，即可得出極小點的近似估計值。兩者區(qū)別在于斐波那契法迭代區(qū)間長度縮短率采用的是斐波那契數(shù)，且迭代次數(shù)也是給定的，這就使得斐波那契法迭代次數(shù)可遠(yuǎn)小于黃金分割法，因此計算量也大幅減??；但給定迭代次數(shù)也造成斐波那契法結(jié)束迭代時可能并未求解出近似極小值點，而黃金分割法雖然迭代計算量高，但求解精度也更高。利用2種方法求解的得到的MEO 1號衛(wèi)星各個時刻的系數(shù)如圖6、圖7所示。從圖中可看出，斐波那契法系數(shù)為離散式的取值，說明在給定的迭代次數(shù)下可能并未求解出極小值點；而黃金分割法系數(shù)具有連續(xù)性。表2中的仿真結(jié)果也說明了采用黃金分割法的濾波精度高于斐波那契法。

同樣對MEO 1號衛(wèi)星，采用標(biāo)量加權(quán)計算得到各個時刻協(xié)方差矩陣標(biāo)量加權(quán)系數(shù)如圖8所示。

圖4 全球?qū)Ш?號衛(wèi)星位置誤差Fig.4 Position error of global navigation satellite 1

圖5 全球?qū)Ш?號衛(wèi)星速度誤差Fig.5 Velocity error of global navigation satellite 1

圖6 斐波那契法系數(shù)Fig.6 Fibonacci coefficient

圖7 黃金分割法系數(shù)Fig.7 Golden section coefficient

在本質(zhì)上，協(xié)方差交叉融合法和標(biāo)量加權(quán)法都是采用標(biāo)量系數(shù)對協(xié)方差矩陣進行融合。對比圖6～圖8可看出，協(xié)方差交叉融合法的融合系數(shù)變化范圍較大，而標(biāo)量加權(quán)法所得的系數(shù)只在一定區(qū)間內(nèi)變化。表2中的仿真結(jié)果顯示，按標(biāo)量加權(quán)的濾波精度高于協(xié)方差交叉融合法的濾波精度。因此，從精度考慮，按標(biāo)量加權(quán)是更優(yōu)的選擇。

表2 多源融合方法精度對比Tab le 2 Precision com parison of m u lti-source fusion algorithm

圖8 標(biāo)量加權(quán)系數(shù)1Fig.8 Scalar weighting coefficient 1

由濾波結(jié)果分析可知，包含異軌信息的各種融合方法的濾波精度都較無異軌時有所提升，說明方差放大技術(shù)能夠有效減弱濾波器之間相關(guān)性帶來的影響，并且異軌的引入增加了軌道面外的未知約束信息，由此提高了濾波精度。在含異軌信息的分層結(jié)構(gòu)中采用簡單凸組合法、矩陣加權(quán)法和標(biāo)量加權(quán)法3種方法融合得到的濾波精最高，且濾波精度大致相似，與集中式濾波精度相當(dāng)。其中，矩陣加權(quán)法精度比標(biāo)量加權(quán)法略高，但計算復(fù)雜度也相對更高。協(xié)方差交叉融合法雖然提高了系統(tǒng)的魯棒性，但是由于衛(wèi)星系統(tǒng)的復(fù)雜性，采用黃金分割法和斐波那契法并不能確保找到滿足極小化指標(biāo)的最優(yōu)系數(shù)，因此濾波精度也只能保證不低于最低精度，從仿真結(jié)果也可看出，協(xié)方差交叉融合法濾波精度相對其他3種方法較低。

4 結(jié) 論

本文針對衛(wèi)星自主定軌系統(tǒng)，采用多種融合方法實現(xiàn)融合估計，實驗結(jié)果表明：

1）設(shè)計的分層式濾波結(jié)構(gòu)，在采用合適的融合方法時具有較高的融合精度，與集中式濾波精度相當(dāng)，能夠滿足系統(tǒng)應(yīng)用的需求。

2）在利用方差放大法消除狀態(tài)相關(guān)性的影響后，線性最小方差意義下的矩陣加權(quán)法退化為簡單凸組合法，2種方法的精度幾乎相同。

3）在線性最小方差意義下，矩陣加權(quán)法精度略高于標(biāo)量加權(quán)法，但計算復(fù)雜度更高耗時更長；在實際系統(tǒng)中，按標(biāo)量加權(quán)更能滿足系統(tǒng)對實時性的要求。

4）本文采用的簡化的衛(wèi)星定軌模型，若是能夠建立更精確的衛(wèi)星運動模型，對狀態(tài)相關(guān)性做較好的估計，則在線性最小方差意義下的3種方法能夠按相關(guān)性已知的情況進行融合獲得更好的濾波精度。