龔文全，曾岳南，黃之鋒，郭富強

(廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，廣東 廣州 511400)

0 引 言

在交流伺服系統(tǒng)中，伺服電機一般需要通過滾珠絲杠副、聯(lián)軸器或者齒輪等機械傳動機構(gòu)來驅(qū)動負載，這些機械傳動環(huán)節(jié)本身存在著一定的柔性，傳動柔性會導(dǎo)致伺服系統(tǒng)發(fā)生機械諧振[1]。諧振發(fā)生時電機電流發(fā)生震蕩，電機速度控制失準(zhǔn)，不僅會產(chǎn)生噪聲，還會對機械傳動環(huán)節(jié)造成破壞，甚至出現(xiàn)斷軸等后果[2]。添加濾波器是常采用的抑制方法，但是濾波器會產(chǎn)生相位損失，減小系統(tǒng)的相位裕度，導(dǎo)致系統(tǒng)的動態(tài)性能變差，甚至失去穩(wěn)定[3]。

為了改善使用陷波濾波器帶來的相位滯后影響，國內(nèi)外學(xué)者在陷波器結(jié)構(gòu)以及控制策略方面做了大量研究。文獻[4]提出了ZPNF(zero-phase notch filter)的設(shè)計方案，減小了陷波器帶來的相位滯后，提高了工業(yè)機械手臂的定位快速性；文獻[5]提出了一種新型的ZPNF，對位置控制信號進行了預(yù)處理濾波，實驗結(jié)果表明，機械手臂的末端抖動得到了抑制，同時跟蹤性能也得到了提高；文獻[6]在ZPNF基礎(chǔ)上，提出了ZPETC(zero phase error tracking controller)方案，將二者有效結(jié)合，以提高機械手臂的控制性能，最后在仿真中得到了驗證；文獻[7]針對機械臂的定位和位置跟蹤，提出了一種陷波濾波器的小相位誤差補償策略，提高了機械臂的跟蹤性能。

但這些設(shè)計大多是針對伺服系統(tǒng)位置環(huán)路的控制，而且零相位陷波器設(shè)計復(fù)雜。而對于如何在常規(guī)二階陷波器的基礎(chǔ)上，減小陷波器帶來的速度環(huán)路控制延時，提高速度響應(yīng)的快速性方面，卻很少有詳細的研究。

針對伺服系統(tǒng)速度環(huán)路中，使用常規(guī)二階陷波濾波器產(chǎn)生的相位損失問題，本文首先建立柔性負載伺服系統(tǒng)諧振模型；然后對常規(guī)二階陷波濾波器的相位特性進行分析，為改善系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度，提出一種改進型陷波濾波器，并且在Simulink中建立模型，對所提方法進行仿真分析；最后搭建柔性負載伺服系統(tǒng)實驗平臺，對比改進型陷波器和常規(guī)陷波器的抑制效果。

1 柔性伺服系統(tǒng)建模及諧振分析

在交流伺服系統(tǒng)中，電機與負載之間常采用傳動軸、滾珠絲杠副或者聯(lián)軸器等傳動機構(gòu)進行連接。然而傳動機構(gòu)并不是理想剛性的，電機和負載之間屬于柔性連接。

在分析伺服機械諧振問題的時候，常將柔性伺服系統(tǒng)簡化為二質(zhì)量模型來分析。一個典型二質(zhì)量模型如圖1所示。

圖1 典型二質(zhì)量模型

根據(jù)以上關(guān)系，建立微分方程組：

(1)

式中：Ks—剛度系數(shù)；Bs—阻尼系數(shù)；Jm—電機轉(zhuǎn)動慣量；JL—負載轉(zhuǎn)動慣量；B1—電機轉(zhuǎn)軸阻尼；B2—負載阻尼；θ1—電機轉(zhuǎn)角；θ2—負載轉(zhuǎn)角；Te—電機電磁轉(zhuǎn)矩；Tw—彈性連接轉(zhuǎn)矩；TL—負載轉(zhuǎn)矩。

若忽略阻尼系數(shù)，對系統(tǒng)模型進行化簡，對系統(tǒng)微分方程組再進行拉普拉斯變換，可推導(dǎo)出電機轉(zhuǎn)速同電磁轉(zhuǎn)矩之間的傳遞函數(shù)：

(2)

對式(2)進行整理可得：

(3)

將式(3)的共軛零點稱為抗諧振頻率點ωARF，共軛極點稱為自然振動頻率點ωNTF。

共扼零點為:

(4)

共軛極點為:

(5)

式(3)的諧振方程中，存在一對共軛極點，并且這對共軛極點與虛軸非常接近，這樣會導(dǎo)致系統(tǒng)處于欠阻尼或者臨界振蕩的狀態(tài)，一旦有對應(yīng)頻率的激勵信號，系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)很容易被破壞，這在伺服系統(tǒng)中被稱為機械諧振，表現(xiàn)為電機轉(zhuǎn)速出現(xiàn)大幅度震動。

2 陷波濾波器的分析和改進

2.1 陷波器抑制諧振原理

考慮理想陷波濾波器的數(shù)學(xué)表達式為：

(6)

理想的陷波濾波器能夠?qū)⑤斎胄盘栔械闹付l率成分完全濾除，其中ω0為陷波濾波器的陷波中心頻率。常采用的二階陷波濾波器具有一定的陷波頻帶，只在陷波中心頻率附近提供較大的幅值衰減，而對陷波頻帶外的頻率信號幾乎沒有影響，即：

(7)

式中：kdep—深度系數(shù)；Q—寬度系數(shù)。

柔性伺服系統(tǒng)發(fā)生諧振現(xiàn)象，是因為有信號激勵了系統(tǒng)中存在的諧振點。因此,可以利用陷波濾波器的頻率特性，將陷波濾波器串入速度回路，濾除電流中的諧振頻率激勵信號，抑制電磁轉(zhuǎn)矩震蕩，從而實現(xiàn)電機轉(zhuǎn)速諧振抑制。

對于二質(zhì)量諧振系統(tǒng)，存在單個的諧振頻率，使得該頻率點對應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)急劇增大，破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。作為濾波器的一種，陷波濾波器可以在諧振頻率初進行精準(zhǔn)的濾波，衰減諧振信號，因此，加入適當(dāng)?shù)南莶V波器之后，諧振點峰值會被抑制。

2.2 陷波器的相位影響

陷波器實現(xiàn)了系統(tǒng)諧振峰值的抑制，但是考慮到濾波器本身的相位延遲，也必然會對系統(tǒng)產(chǎn)生一定的相位滯后，使系統(tǒng)的響應(yīng)變慢，相位穩(wěn)定裕度減小。

相位穩(wěn)定裕度表征一個系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，通常用來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)為：

PM=180°+φ(ω)

(8)

根據(jù)自動控制原理可知，對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)而言，其相位裕度至少應(yīng)保持PM>45°。

對于式(7)，令s=jω，則有：

(9)

其相角特性表達式為：

(10)

所以，陷波濾波器所產(chǎn)生的相角損失為：

(11)

由式(11)可知：若要減小相角損失Δφ(jω)，可以通過減小φ(0)或者增大φ(jω)實現(xiàn)；但對于陷波濾波器來說，改變φ(0)很難實現(xiàn)，所以只能考慮增大φ(jω)。φ(jω)由兩部分組成，分別是分子部分和分母部分，為了方便表示，以下表述中，分別以分子N和分母D來代替。

2.3 改進型陷波濾波器

引入修正因子ε，當(dāng)ε=1時，即為原陷波濾波器形式，相位特性無改變。當(dāng)ε>1時，考慮反正切函數(shù)特性，由于ε>1且位于分母，此時分子N部分保持不變，分母D部分減小，φ(jω)總體增大，在φ(0)保持不變的情況下，相角損失Δφ(jω)整體變小。

根據(jù)上述分析，式(7)可改寫為：

(12)

引入修正因子后，陷波器結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，可能引起陷波濾波器的陷波深度變化，影響陷波效果。

式(12)中幅值為：

(13)

當(dāng)ω=ωn時，此時對應(yīng)最大衰減倍數(shù)為：

(14)

則可以得到中心陷波深度為：

D=20lg|H(jω)|

(15)

當(dāng)ε=1時，即為常規(guī)陷波器，其最大衰減倍數(shù)為：

|H(jω)|=1-kdep

(16)

取ε=1.5，改進前后陷波器幅頻特性如圖2所示。

圖2 改進前后陷波器幅頻特性

從圖2中可以看出，常規(guī)陷波器的陷波深度約為-40 dB，改進后的陷波器深度為-37.8 dB，約減小2 dB；但是在陷波中心頻率處，常規(guī)陷波器的Δφ(jω)=-75.2°，而改進后陷波器為Δφ(jω)=-43.5°，相角損失明顯減小。

所以，改進型陷波器以較小的陷波深度損失，獲得了較大的相位補償，在不影響諧振抑制效果的情況下，系統(tǒng)相位裕度增加。

將兩種陷波器加入諧振系統(tǒng)之后，諧振系統(tǒng)及抑制效果如圖3所示。

圖3 諧振系統(tǒng)及抑制效果

系統(tǒng)開環(huán)時，在諧振頻率附近使用常規(guī)陷波器時，系統(tǒng)相位約為-130°，使用改進型陷波器系統(tǒng)相位約為-110°，相位滯后更小。另根據(jù)式(7)的系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)可知，改進型陷波器系統(tǒng)的相位裕度約為70°左右，此時開環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

在系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)，速度環(huán)帶寬ωc主要受到抗諧振頻率點ωANF的影響，且ωc<ωARF[8]，閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性如圖4所示。

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性

圖4中，系統(tǒng)的ωARF=285 rad/s，使用常規(guī)型陷波器時，速度環(huán)帶寬ωc-notch=209 rad/s，使用改進型陷波器時，速度環(huán)帶寬ωc-im-notch=220 rad/s?？梢钥闯?，相比常規(guī)型陷波器，使用改進型陷波器后，系統(tǒng)帶寬增大。

在改進型陷波濾波器的高頻部分，即頻率大于陷波中心頻率處，改進型陷波器的幅頻特性發(fā)生了變化，理想狀態(tài)下應(yīng)保持無增益的狀態(tài)受到影響，此處的增益被抬高。但是對于中高頻段的伺服系統(tǒng)機械諧振來說，諧振頻率通常處于接近或者超過速度環(huán)截止頻率的范圍。

在圖4中，系統(tǒng)閉環(huán)的速度環(huán)截止頻率為ωc-im-notch=220 rad/s，經(jīng)過速度環(huán)截止頻率的限制之后，高頻信號等于受到了低通濾波器濾波效果，在高峰值的諧振頻率被抑制的前提下，其余的高頻信號被低通濾波效果大幅度衰減，抵消了陷波器所產(chǎn)生的增益抬高。所以，在陷波中心頻率之后，改進型陷波器幅值增益被抬高的特性變化，并不會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)。

3 仿真驗證和分析

為了驗證改進型陷波器的有效性，筆者在Simulink中搭建柔性永磁同步電機雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)仿真模型，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

速度給定為130 r/min，使伺服系統(tǒng)發(fā)生機械諧振，筆者使用PowerGrid中的FFT分析工具，得到諧振頻率，并以此作為陷波濾波器的中心頻率。

對比無陷波處理的電機轉(zhuǎn)速和使用常規(guī)陷波濾波器的電機轉(zhuǎn)速，常規(guī)陷波器諧振抑制如圖5所示。

圖5 常規(guī)陷波器諧振抑制

從圖5可以看出，當(dāng)伺服系統(tǒng)發(fā)生機械諧振時，如果僅使用PI控制器，電機轉(zhuǎn)速出現(xiàn)持續(xù)震蕩，并且無法收斂；加入常規(guī)陷波濾波器之后，電機轉(zhuǎn)速基本呈現(xiàn)平穩(wěn)狀態(tài)，最終穩(wěn)定在速度給定值，震蕩得到抑制。

但是通過對比還可以發(fā)現(xiàn)，雖然使用陷波濾波器實現(xiàn)了電機轉(zhuǎn)速振動抑制，然而此時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)存在著明顯的滯后現(xiàn)象。

對比使用常規(guī)陷波濾波器的電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)和使用改進型陷波濾波器的電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)，改進型陷波器抑制效果如圖6所示。

圖6 改進型陷波器抑制效果

從圖6可以看出，兩種陷波器均能實現(xiàn)機械諧振抑制，電機轉(zhuǎn)速都能夠平穩(wěn)收斂。但是與常規(guī)陷波器相比，經(jīng)過改進之后，系統(tǒng)的動態(tài)性能得到了改善，響應(yīng)速度明顯提高，而且穩(wěn)定速度明顯加快。

兩種陷波策略動態(tài)性能指標(biāo)如表2所示。

表2 兩種陷波策略動態(tài)性能指標(biāo)

通過表2可以看出，由于改進型陷波濾波器的相位損失更小，對系統(tǒng)產(chǎn)生的滯后也更小，電機轉(zhuǎn)速上升時間加快，峰值變小，超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時間更短，速度穩(wěn)定更快。由此可見，與常規(guī)陷波的抑制效果相比，使用改進型陷波器后，系統(tǒng)的動態(tài)性能得到了改善。

4 實驗及分析

為驗證所述方法的可行性和有效性，筆者搭建永磁同步電機柔性負載伺服系統(tǒng)。

整個系統(tǒng)由數(shù)字式交流伺服驅(qū)動單元、表貼式永磁同步電機以及柔性負載等3部分組成，實驗平臺如圖7所示。

圖7 實驗平臺

筆者通過NI公司的模塊化平臺以及LabView工具，顯示電機速度，并且根據(jù)電機反饋速度信息，離線獲取速度振動的FFT頻率檢測結(jié)果。

實驗控制參數(shù)如表3所示。

表3 實驗控制參數(shù)

4.1 穩(wěn)態(tài)抑制效果驗證

由于修正因子會導(dǎo)致陷波深度減小，首先驗證在系統(tǒng)發(fā)生機械諧振時，改進型陷波濾波器能否實現(xiàn)諧振抑制。

在高控制增益情況下，電機轉(zhuǎn)速發(fā)生劇烈震蕩，筆者于中途加入改進型陷波濾波器，電機轉(zhuǎn)速抑制前后對比如圖8所示。

圖8 電機轉(zhuǎn)速抑制前后對比

抑制前電機震蕩幅值接近70 r/min，添加陷波濾波器之后，電機轉(zhuǎn)速震蕩被迅速抑制，最終保持在4 r/min之內(nèi)，衰減比例達到94.3%，基本實現(xiàn)平穩(wěn)輸出，表明改進型陷波器可以實現(xiàn)諧振抑制。

4.2 動態(tài)性能對比

保持實驗參數(shù)不變，令系統(tǒng)產(chǎn)生諧振，筆者分別在零時刻加入常規(guī)陷波器和改進型陷波器，電機轉(zhuǎn)速動態(tài)性能對比如圖9所示。

圖9 電機轉(zhuǎn)速動態(tài)性能對比

圖9中，由于改進型陷波器帶來的相位損失更小，造成的相位裕度損失比常規(guī)陷波器要更小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性更好，兩種陷波器都可以避免系統(tǒng)發(fā)生諧振，使速度波動保持在4 r/min之內(nèi)。但常規(guī)陷波器系統(tǒng)在啟動階段波動幅度較大，而改進型陷波器系統(tǒng)則基本平穩(wěn)上升。

另外，常規(guī)陷波器系統(tǒng)的響應(yīng)速度較慢，在輸入指令為300 r/min時，速度響應(yīng)超調(diào)接近12 r/min，進入最終穩(wěn)定需要一段時間。但是改進型陷波器響應(yīng)速度更快，幾乎無超調(diào)，到達輸入指令后，迅速進入穩(wěn)定狀態(tài)，整體動態(tài)性能優(yōu)于常規(guī)陷波器系統(tǒng)。

5 結(jié)束語

針對彈性傳動環(huán)節(jié)導(dǎo)致的伺服系統(tǒng)出現(xiàn)機械諧振的問題，本文在完成諧振機理分析的基礎(chǔ)上，提出了一種使用改進型陷波濾波器進行機械諧振抑制的方法，以減小陷波器引入的相位滯后，并實現(xiàn)諧振抑制。

具體過程如下：

(1)對常規(guī)型陷波濾波器相位特性進行了分析，并且闡述了引入陷波濾波器之后，對系統(tǒng)相位裕度造成的影響；

(2)提出了改進型陷波濾波器，通過調(diào)整校正因子，可以實現(xiàn)陷波器的相位優(yōu)化，并且保證陷波器的陷波效果；

(3)仿真結(jié)果表明:和常規(guī)陷波濾波器相比，改進型陷波濾波器的相角損失更小，系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬得到提升，系統(tǒng)轉(zhuǎn)速輸出的動態(tài)性能更好。實驗結(jié)果表明:電機轉(zhuǎn)速的快速性得到提高，超調(diào)量減小。