李昌成 黃曉玲

(1.新疆烏魯木齊市第八中學 830002；2. 新疆生產(chǎn)建設兵團第一中學 830092)

直線與曲線，曲線與曲線相切在高中數(shù)學的解析幾何和導數(shù)部分均有涉及，知識本身并不復雜，直接應用也比較容易.但是若把相切關系隱藏在題設中就會給學生在思維上造成很大的困難.研究發(fā)現(xiàn)，高考命題專家常常在這個點位上，考查學生的綜合能力.因此，我們應當高度關注這個問題.下面分類探究，以饗讀者.

一、在直線和曲線相切背景下的問題

例1 (2017全國高考數(shù)學Ⅱ卷文科第21題第(Ⅱ)問)設函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

分析從幾何意義看，要使x∈[0,+∞),f(x)≤ax+1成立，只需當x∈[0,+∞)時，射線y=ax+1始終在函數(shù)f(x)=(1-x2)ex圖象的上方(僅在端點x=0處重合，如圖1).進一步發(fā)現(xiàn)，直線y=ax+1位于曲線f(x)的切線位置是f(x)≤ax+1成立的極限情形：即若射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置或其上方時，均有f(x)≤ax+1；若射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置下方時，f(x)≤ax+1不恒成立(圖2).

之所以如此，關鍵原因是f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函數(shù)(即曲線是上凸的).如若不然，則不能保證“當射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置或其上方時，均有f(x)≤ax+1”.例如圖3中的反例.

解由f′(x)=(-x2-2x+1)ex知，曲線f(x)在點x=0處的切線方程為y=x+1.

當x∈[0，+)時，f(x)的圖象始終位于其在點x=0處的切線y=x+1下方(僅在切點處重合).從而要使x∈[0，+)時，f(x)≤ax+1成立，當且僅當a≥1.

評注此題最常見的解法是分離參數(shù)構造函數(shù)，再利用導數(shù)求其最值，從而得解.但是一定會陷入“洛必達法則”的陷阱.本題的關鍵是切線意識，把握了切線這一實質(zhì)，問題就迎刃而解.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程；

(3)略.

評析本題不依托橢圓的切線就寸步難行，不知曉這個簡便方法也會陷入繁雜紛擾的運算中，使用結論解答此題有效避開了直線和橢圓聯(lián)立的二元二次大量運算，直接進入一元一次的運算，解答簡捷明快.有興趣者可以查閱高考參考答案，進行比較研究.

二、在曲線與曲線相切背景下的問題

例3 已知x，y∈R，且滿足x2+2xy+2y2=6，則z=x2+4y2的取值范圍為____.

評注此題一般可以用三角換元、均值不等式等方法解答，但是因為系數(shù)做了一般化處理，以上兩種方法均難以深入.利用二者之間的相切位置關系作答是一種通解通法.只因一些題目把題設特殊化，例如：已知x，y∈R，且滿足x2+2xy+4y2=6，求z=x2+4y2的取值范圍，利用三角換元、均值不等式等手段可以解答，但把問題的本質(zhì)掩蓋了.

三、在公切關系背景下的問題

例4 (2016年全國Ⅱ卷理科第16題) 若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=____.

分析切線問題是導數(shù)中最常見最簡單的問題，但本題中公共切線把導數(shù)基礎知識和整體代換技巧融為一體，把神秘的超越方程等價轉化為可運算的簡單方程，方程組思想使待定系數(shù)法能順利實施.

所以b=lnx1+1=1-ln2.

評注本題屬于導數(shù)問題中最樸素的問題，但是公切線又賦予了問題新的內(nèi)涵，難度猛然上升，融合了一些數(shù)學運算技巧，將抽象運算變得可操作，使題目檔次上升，成為小題把關題.數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)融入其中.

在平時教學中，讓學生從代數(shù)和幾何的角度深刻理解相切的含義，能夠提升學生的應用意識.尤其是兩個角度的轉化，往往是突破難題的關鍵.難題之所以難，就是因為學生思路受限或受阻，因此分門別類地研究相切關系，對學生能力的提高大有裨益.