周 博，夏緒輝，王 蕾，2，曹建華

（1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢 430081；2.武漢科技大學(xué)服務(wù)科學(xué)與工程研究中心，湖北 武漢 430065）

1 引言

工業(yè)機(jī)器人的運動優(yōu)化是其控制系統(tǒng)中的基礎(chǔ)性研究領(lǐng)域，決定著機(jī)器人的運動方式和作業(yè)性能。機(jī)器人在關(guān)節(jié)空間運動過程中，其作業(yè)時間和作業(yè)能耗受到運動參數(shù)的影響[1]。目前，相關(guān)學(xué)者大多是以效率最高或能耗最少為目標(biāo)對機(jī)器人運動參數(shù)進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[2]建立時間優(yōu)化模型，其目的是為了在滿足相應(yīng)約束的前提下使運行速度最大，從而縮減機(jī)器人總的運動時間。文獻(xiàn)[3]考慮關(guān)節(jié)二次加速度，使用權(quán)重分配法建立了時間-二次加速度優(yōu)化模型，用六關(guān)節(jié)機(jī)器人仿真模擬對該方法進(jìn)行了驗證。文獻(xiàn)[4]充分利用機(jī)器人的動態(tài)性能，通過優(yōu)化設(shè)定點的行程和兩點間的具體運行路徑，實現(xiàn)在最短時間內(nèi)完成制造任務(wù)。針對機(jī)器人能耗最優(yōu)問題，文獻(xiàn)[5]以工業(yè)ABB 機(jī)器人的各個關(guān)節(jié)為研究對象，建立其驅(qū)動模型，通過優(yōu)化算法得到了不同工況下的最優(yōu)能耗軌跡。文獻(xiàn)[6]為了使機(jī)器人在能量一定時作業(yè)時間最長，構(gòu)建伺服電機(jī)能耗模型，通過實驗分析計算得到了機(jī)器人最小能耗延長了其運行時間。在實際工業(yè)生產(chǎn)中，作業(yè)時間和作業(yè)能耗通常需要同時考慮，針對這一問題，文獻(xiàn)[7]使用歸一化加權(quán)法和平均模糊隸屬函數(shù)對時間和能耗模型處理得到兩種目標(biāo)函數(shù)，采用NSGA-II 算法和MODE 算法尋優(yōu)求解。文獻(xiàn)[8]用三次多項式擬合兩點之間的軌跡，采用彈性系數(shù)法和加權(quán)系數(shù)法定義了關(guān)于時間和能耗的目標(biāo)函數(shù)，引進(jìn)一種新穎的罰函數(shù)來處理約束問題，為了提高解的質(zhì)量，提出一種新的算法來對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。在對能量或效率進(jìn)行優(yōu)化時，現(xiàn)有研究考慮了機(jī)器人運動的平滑性和沖擊，但是當(dāng)綜合考慮能量和效率時，大多采用三次多項式定義機(jī)器人在關(guān)節(jié)空間中相鄰兩點的軌跡，考慮了各關(guān)節(jié)在起始點和終止點的位置和速度約束，忽略了加速度約束，這樣會使加速度曲線不平滑，引起機(jī)器人的振動和沖擊，從而加劇零部件的損傷，盡管確定的軌跡有一定平滑性，但是還是會對機(jī)器人動力學(xué)和慣性載荷產(chǎn)生影響[9]。現(xiàn)有研究在雙目標(biāo)模型轉(zhuǎn)換時，大多采用彈性系數(shù)法以消除時間和能耗在數(shù)量級上的偏差，這種方法雖然強化了時間在目標(biāo)函數(shù)里的地位，但是時間和能耗兩者的靈敏性還是會有很大的差別。

有鑒于此，用五次多項式來擬合給定相鄰兩點的運動軌跡，結(jié)合機(jī)器人運動學(xué)和動力學(xué)方程，建立機(jī)器人的時間能耗模型。以時間和能耗作為工業(yè)機(jī)器人作業(yè)過程綠色度的定量指標(biāo)，定義了每一段軌跡的目標(biāo)函數(shù)。為了便于計算和有效平衡全局搜索和局部搜索，引入增廣拉格朗日乘子方法將模型簡化，采用帶收縮因子的粒子群算法進(jìn)行求解。對中纖板生產(chǎn)線作業(yè)機(jī)器人的仿真驗證了所建模型的適用性和算法的有效性。

2 運動參數(shù)優(yōu)化問題描述

機(jī)器人各個關(guān)節(jié)從點到點的軌跡一般遵從距離最短原則進(jìn)行設(shè)定，但是在實際運動過程中，由于受到外部環(huán)境的影響以及自身工藝參數(shù)的限制，機(jī)器人只能沿著給定的路徑點運行。當(dāng)給定兩點的軌跡時，機(jī)器人各個關(guān)節(jié)在運行過程中，其力矩、速度、加速度和二次加速度會發(fā)生相應(yīng)的變化，這些運動參數(shù)會影響機(jī)器人在這個過程的作業(yè)時間和作業(yè)能耗。在對機(jī)器人運動參數(shù)優(yōu)化時，假定關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)路徑點已知，空間中無避障，只考慮運動參數(shù)對時間和能耗的影響。

2.1 關(guān)節(jié)軌跡函數(shù)

機(jī)器人在關(guān)節(jié)空間中的軌跡是由一系列的路徑點組成，利用多項式來擬合點到點的軌跡并不是唯一的。為了防止系統(tǒng)沖擊振蕩，保證作業(yè)過程的平穩(wěn)性，需要對每一段作業(yè)軌跡起始點和終止點的加速度進(jìn)行限制，所以采用五次多項式來定義機(jī)器人在關(guān)節(jié)空間作業(yè)過程中相鄰兩點的關(guān)節(jié)軌跡。設(shè)機(jī)器人第i（1≤i≤N）個關(guān)節(jié)在第m（1≤m≤L）段軌跡作業(yè)過程中經(jīng)過起始路徑點的時刻為tim0，經(jīng)過終止路徑點的時刻為分別為第m段軌跡的關(guān)節(jié)位移、角速度、角加速度和二次加速度，則機(jī)器人第i個關(guān)節(jié)在第m段軌跡作業(yè)過程中起始和終止位置需要滿足的相應(yīng)運動學(xué)約束條件如下：

假定關(guān)節(jié)i在第m段的五次多項式軌跡函數(shù)為：

聯(lián)立式（1）～式（2），求得五次多項式的系數(shù)如下：

2.2 機(jī)器人動力學(xué)模型

對于一個具有N個關(guān)節(jié)的工業(yè)機(jī)器人機(jī)械臂，忽略各關(guān)節(jié)之間的摩擦力，由拉格朗日-歐拉方程得到關(guān)節(jié)i所需的廣義力矩為：

式中：τ（it）—第個關(guān)節(jié)的廣義力或力矩—角位移、角速度、角加速度；Dij、Dijk、Gi的具體表達(dá)式見文獻(xiàn)[8]。

2.3 時間與能耗模型

已知機(jī)器人第個關(guān)節(jié)在第m段軌跡作業(yè)過程中經(jīng)過起始點和終止點的時刻分別為tim0、time，則可得第個關(guān)節(jié)在第段軌跡的作業(yè)時間為：

由于機(jī)器人所有關(guān)節(jié)的運動都是同步的，所以機(jī)器人在某一段軌跡的運行時間Hm等于其中一個關(guān)節(jié)在該軌跡的運行時間Him。利用前文中求出的軌跡函數(shù)θim（t），結(jié)合機(jī)器人的關(guān)節(jié)力矩函數(shù)，可以得到機(jī)器人在第段軌跡的能耗為：

2.4 目標(biāo)函數(shù)

由于機(jī)器人在每一段軌跡里面的運動都是相互獨立的，所以可以分別對每一段軌跡進(jìn)行優(yōu)化，從而得到時間和能耗平衡的最優(yōu)機(jī)器人運動參數(shù)。

考慮工業(yè)機(jī)器人作業(yè)過程的環(huán)境友好性，可通過量化計算體系的綠色度來判斷作業(yè)的綠色性[10]。以時間和能耗作為工業(yè)機(jī)器人作業(yè)過程綠色度的定量指標(biāo)，以最大化綠色度為目標(biāo)，建立工業(yè)機(jī)器人作業(yè)路徑優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

需滿足的約束條件：

式中：Hmax、Hmin—一段軌跡里面僅以時間作為優(yōu)化目標(biāo)時的最大時間和最小時間；Emax、Emin—一段軌跡里面僅以能耗作為優(yōu)化目標(biāo)時的最高能耗和最低能耗；H和E—一段軌跡里面時間和能耗的測度值；viC、aiC、jiC、τiC—關(guān)節(jié)速度、加速度、二次加速度和力矩的最大值；η1、η2—時間加權(quán)系數(shù)和能耗加權(quán)系數(shù)，且η1+η21。η1=1 和η2=1 分別對應(yīng)于最優(yōu)時間的運動參數(shù)優(yōu)化和最優(yōu)能耗的運動參數(shù)優(yōu)化。

對機(jī)器人的運行時間和能耗進(jìn)行系數(shù)加權(quán)，可以根據(jù)實際情況，調(diào)整η1和η2的值，使得時間和能耗在一定情況下達(dá)到平衡。

3 運動參數(shù)優(yōu)化算法

3.1 帶收縮因子的粒子群算法

粒子群算法與其他智能算法相比，具有簡單實用，對非線性尋化問題具有良好的全局收斂能力[11]。

假設(shè)粒子具有D維搜索空間，第i（1≤i≤n）個粒子第k（1≤k≤MaxDT）次迭代時的位置飛行速度第i個粒子當(dāng)前所發(fā)現(xiàn)的最優(yōu)位置為當(dāng)前整個群體所發(fā)現(xiàn)的的最優(yōu)位置為和r2為兩個獨立的隨機(jī)數(shù)，c1和c2為加速常數(shù)。

為了保證PSO 算法的收斂性，引入收縮因子χ：

則相應(yīng)粒子的速度和位置更新公式為：

其中，取c1=c2=2.05，φ=4.1，所以χ=0.729。因此，該PSO 算法可以稱為帶收縮因子的粒子群算法[12]（CPSO），它可以有效平衡全局搜索和局部搜索，避免算法陷入局部最優(yōu)。

3.2 增廣拉格朗日乘子（ALM）方法

ALM 方法與懲罰函數(shù)方法類似。該方法不需要多次測試來確定初始懲罰因子，懲罰因子也不需要趨于無窮大，但是，在數(shù)值穩(wěn)定性和計算效率方面超過了罰函數(shù)法。

利用ALM 方法將不等式約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題：

式中：x=（x1，x2，…，xn）—自變量；G（x）—為目標(biāo)函數(shù)；gj（x）≤0（j=1，2，…l）—第j個不等式約束；λj—第j個拉格朗日乘子；rj—第j個懲罰因子。

在優(yōu)化過程中，拉格朗日乘子和懲罰因子的迭代更新公式分別如下：

式中：z—第z次更新；εg—約束誤差精度。

當(dāng)z=1 時，終止標(biāo)準(zhǔn)為：

當(dāng)z=2，3，…zmax時，終止標(biāo)準(zhǔn)為：

式中：ε—收斂精度；zmax—最大更新次數(shù)。

3.3 改進(jìn)型粒子群算法

由于CPSO 算法和ALM 方法各有其獨特的優(yōu)勢，所以可以將兩種方法結(jié)合，利用兩者的優(yōu)點，得到一種新的求解非線性約束問題的方法。針對能耗時間求解最優(yōu)運動參數(shù)問題屬于這一類問題。

該算法的主要思想如下，相應(yīng)的迭代過程，如圖1 所示。

圖1 算法流程圖Fig.1 Algorithm Flowchart

（1）利用ALM 方法將約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題（式10）；

（2）隨機(jī)產(chǎn)生一組數(shù)據(jù)作為粒子的初始值；

（3）判斷初始輸入值是否滿足迭代終止標(biāo)準(zhǔn)（式13），如果滿足，則輸出當(dāng)前解作為最優(yōu)解，否則，保存當(dāng)前獲得的最優(yōu)解，然后提出一個新的無約束問題（式10），應(yīng)用隨機(jī)數(shù)據(jù)產(chǎn)生一組新的粒子，采用CPSO 算法更新粒子的速度和位置，判斷是否滿足終止標(biāo)準(zhǔn)（式14），然后應(yīng)用式11 和式12 分別對拉格朗日乘子和懲罰因子進(jìn)行更新。

（4）通過反復(fù)迭代尋優(yōu)，目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解可以最終求解出來，同時可以得到最優(yōu)的運動參數(shù)。

4 案例分析

以本項目組開發(fā)的某中纖板生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)線為例，以大型多功能6 關(guān)節(jié)機(jī)器人MotomanHP165 為研究對象來進(jìn)行仿真驗證，用三維軟件畫出其生產(chǎn)現(xiàn)場三維簡圖，如圖2 所示。

圖2 中纖板生產(chǎn)線簡圖Fig.2 MDF Production Line Sketch

該機(jī)器人的D-H 參數(shù)、相應(yīng)約束條件以及各機(jī)械臂的相關(guān)參數(shù)見文獻(xiàn)[13]，將機(jī)器人在作業(yè)過程中所要經(jīng)過的路徑點的直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成關(guān)節(jié)空間中六個關(guān)節(jié)的角度，得到各個關(guān)節(jié)的角度，如表1 所示。該生產(chǎn)線包括以下四個工位：取料工位、橫切工位、縱切工位和卸料工位。機(jī)械手末端吸盤夾具在整個運動過程的軌跡為：A→B→C→D→E→D→F→G→F→H→I→J→A，將這些路徑點連接起來構(gòu)成的空間軌跡，如圖3 所示。具體運動過程描述如下：

圖3 機(jī)器人末端吸盤夾具空間運動軌跡Fig.3 The Space Motion Trajectory of the End Sucker of the Robot

表1 工位路徑點對應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角Tab.1 Joint Angle Corresponding to the Station Path Point

第一步：在取料工位取料

當(dāng)輸入裝置將待加工的中纖板運送到預(yù)定地點時，機(jī)械手末端吸盤夾具從初始位置點A下降到傳送帶上方B處夾取中纖板，提起中纖板到位置C處，然后機(jī)器人基座旋轉(zhuǎn)，切換至橫切工位D點處。

第二步：對原材料進(jìn)行橫切

機(jī)械手從D點下降到橫切工作臺E點處，待橫切完成后，提起中纖板到位置點D，然后基座旋轉(zhuǎn)，機(jī)械手切換到縱切工位上方F點處。

第三步：對原材料進(jìn)行縱切

機(jī)械手從F點下降到縱切工作臺G點處，待縱切完成后，提起中纖板到位置點F，基座旋轉(zhuǎn)，機(jī)械手切換到放料工位上方H點處。

第四步：將加工好的中纖板放到指定位置

機(jī)械手從點H處下降到卸料工作臺上點I處，待將加工好的中纖板放到輸出裝置上之后，機(jī)械手末端吸盤夾具提起到位置點J處，然后機(jī)器人基座旋轉(zhuǎn)，機(jī)械手回到起始位置點A處，一個加工周期結(jié)束。

對于能耗問題，有負(fù)載相對無負(fù)載只是多一個對重力做功，對具體問題無多大影響。不考慮負(fù)載，只研究機(jī)器人自身在這個過程的能耗。按照運行距離長短將機(jī)器人在整個生產(chǎn)周期的動作分為四類：①AB，IJ；②BC，DE，ED，F(xiàn)G，GF，HI；③CD，DF，F(xiàn)H；④JA；令每一類動作的初始時間間隔分別為3.5s，3s，3.5s，5s（注：初始時間間隔只是時間的約束，并不影響目標(biāo)函數(shù)的趨勢），在MATLAB 中改進(jìn)粒子群算法的基本參數(shù)分別為：群體規(guī)模=100，粒子迭代次數(shù)=100，拉格朗日乘子和懲罰因子的最大更新次數(shù)=100，初始拉格朗日乘子，初始懲罰因子，約束誤差精度，收斂精度。在第三類和第四類運動中，只有機(jī)器人的基座在運動，其產(chǎn)生的力矩很小可以忽略不計[13]，所以可以認(rèn)為這兩類運動過程的能耗為0，但是由于力矩、速度、加速度和二次加速度的限制，在這兩類運動過程中，機(jī)器人的作業(yè)時間必須大于相應(yīng)軌跡下的最短作業(yè)時間。

當(dāng)采用三次多項式擬合兩點之間的軌跡時，利用改進(jìn)的粒子群算法求得這四類運動的最小運動時間分別為1.2936s，1.0915s，2.1500s，3.7496s。當(dāng)采用五次多項式擬合兩點之間的軌跡時，得到這四類運動的最小運動時間分別為2.2123s，1.8666s，3.1347s，4.6012s。針對第一類和第二類運動，用改進(jìn)PSO 算法對不同權(quán)值下的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到的結(jié)果，如表2 所示。

表2 優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization Results

（1）單個周期兩種軌跡對應(yīng)的速度和加速度對比

設(shè)每一個運動過程之間的時間間隔為1s，工作臺轉(zhuǎn)換時，機(jī)器人以最大約束速度運行。則對應(yīng)于情況下，在一個生產(chǎn)周期中，三次多項式軌跡下機(jī)器人各關(guān)節(jié)優(yōu)化所得的角速度和加速度變化曲線，如圖4 所示，五次多項式軌跡下各關(guān)節(jié)優(yōu)化所得的角速度和加速度變化曲線，如圖5 所示。

圖4 單個周期內(nèi)三次多項式對應(yīng)的各關(guān)節(jié)角速度、加速度變化曲線Fig.4 The Angular Velocity and Acceleration Curve of Each Joint Corresponding to the ThreePolynomial in a Single Cycle

圖5 單個周期內(nèi)五次多項式對應(yīng)的各關(guān)節(jié)角速度、加速度變化曲線Fig.5 The Angular Velocity and Acceleration Curve of Each Joint Corresponding to the Quintic Polynomial in a Single Cycle

對比圖4 和圖5 中單個周期內(nèi)機(jī)器人各關(guān)節(jié)的角速度和加速度變化可知，雖然兩種方法所得結(jié)果均滿足對應(yīng)的約束條件，但是在每一段軌跡的起始點和終止點處，三次多項式對應(yīng)的加速度曲線存在突變，這樣不僅會導(dǎo)致機(jī)器人的振動和沖擊，同時加劇零部件的損傷。

（2）優(yōu)化結(jié)果對比

由表2 可知，在一個生產(chǎn)周期中，三次多項式軌跡優(yōu)化所得第一類和第二類運動最短總運動時間為9.1362s，對應(yīng)能耗為44440440.0J，五次多項式優(yōu)化所得的最短總運動時間為15.6242s，耗能30923689.2J，五次多項式較三次多項式相比時間多71.01%，能耗低30.42%，兩種方法的綠色度相同；三次多項式優(yōu)化所得的第一類和第二類運動的最優(yōu)能耗為17008154.8J，對應(yīng)時間為25s，五次多項式優(yōu)化所得最優(yōu)能耗為19337492.4J，時間相同，五次多項式較三次多項式相比能耗高13.70%，兩種方法綠色度相同；當(dāng)η1=0.5，η2=0.5 時，三次多項式最優(yōu)總運動時間為15.2828s，能耗為27480562.8J，五次多項式最優(yōu)總運動時間為19.7638s，能耗為24453227.6J，此時五次多項式較三次多項式相比時間多29.32%，能耗低11.02%，綠色度相差很小。

綜上所述，在綠色度、時間和能耗相近的情況下，考慮機(jī)器人的運動精度、機(jī)械零部件壽命，選擇五次多項式擬合兩點之間的軌跡較好。在η1=0.5，η2=0.5 時，單個周期內(nèi)機(jī)器人各關(guān)節(jié)優(yōu)化所得的最優(yōu)運動參數(shù)，如圖5、圖6 所示。

圖6 單個周期內(nèi)五次多項式對應(yīng)的各關(guān)節(jié)力矩和二次加速度曲線Fig.6 The Joint Torque and Secondary Acceleration Curve of Each JointCorresponding to the Quintic Polynomial in a Single Cycle

5 結(jié)論

（1）利用五次多項式來擬合關(guān)節(jié)空間中兩路徑點的運動軌跡，滿足了兩點的速度和加速度約束條件，保證了機(jī)器人作業(yè)過程的穩(wěn)定性，減少因沖擊振蕩對機(jī)械部件造成損傷。

（2）為了衡量機(jī)器人在不同運動參數(shù)下的綠色性，提出一種針對機(jī)器人作業(yè)時間和作業(yè)能耗的綠色度計算方法。在滿足約束條件下，對機(jī)器人每一段運行軌跡在不同權(quán)值下的總目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到相應(yīng)的最優(yōu)運動參數(shù)。

（3）針對帶約束的目標(biāo)函數(shù)存在求解困難的問題，引入增廣拉格朗日乘子方法將模型簡化，采用帶收縮因子的粒子群算法進(jìn)行求解。

（4）以某中纖板制造企業(yè)的生產(chǎn)線為例，對機(jī)器人作業(yè)過程進(jìn)行仿真，從時間、能耗及綠色度角度分析對比了兩種軌跡函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，驗證了該運動參數(shù)優(yōu)化方法能夠很好的平衡機(jī)器人作業(yè)時間與作業(yè)能耗。

下一步的研究工作是將摩擦因素和障礙因素引入總目標(biāo)模型，更真實地反映運動參數(shù)對時間和能耗的影響。