上海市虹口高級中學(xué) (200434) 李雪嬌

立體幾何是發(fā)展學(xué)生空間想象能力與邏輯推理能力的重要載體．在高考中，立體幾何內(nèi)容不僅出現(xiàn)在解答題中，也出現(xiàn)在客觀題中．在高考數(shù)學(xué)的客觀題中，更加注重從幾何角度考察學(xué)生的思維水平及直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．

本文從2019學(xué)年上海市虹口區(qū)高三數(shù)學(xué)一模試卷中的一道選擇題出發(fā)，談?wù)剬αⅢw幾何教學(xué)的思考．

一、試題呈現(xiàn)

題目如圖1,正四面體ABCD的體積為1，O為其中心，正四面體EFGH與正四面體ABCD關(guān)于點(diǎn)O對稱，則這兩個正四面體的公共部分的體積為( ).

圖1

本題全區(qū)均分1.85分，難度系數(shù)0.37.但因為是選擇題，不排除有不少考生是猜對的．筆者統(tǒng)計了自己任教班級學(xué)生的答題情況，均分也正好是1.85分，在答對的同學(xué)中，僅有4位同學(xué)有想法．試想一下，如果將本題改為填空題，可能會更加慘不忍睹！

二、試題賞析

本題依托基本立體圖形，在考查正四面體的基本性質(zhì)、體積計算等“四基”基礎(chǔ)上，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力．試題情境新穎，突出立體幾何的本質(zhì)特征，對空間觀念與空間度量計算均有較高的要求．該題還對部分學(xué)生過度依賴向量法，起到了很好的糾偏作用．雖然本題得分率不甚理想，但它對立體幾何的復(fù)習(xí)備考具有較好的指導(dǎo)意義，值得細(xì)細(xì)品味！

三、解法探究

思路一：以退求進(jìn)，從高維向低維“退”

在立體幾何中，將“三維空間”的問題“退”到“二維空間”的問題，運(yùn)用“復(fù)雜問題簡單化”、“以退求進(jìn)”的思維策略和類比思想是解決空間圖形問題的重要思想方法．

分析：從三維向二維后退，先求解一個相類似的平面幾何問題：如圖2,正三角形ABC的面積為1，O為其中心，正三角形DEF與正三角形ABC關(guān)于點(diǎn)O對稱，則這兩個正三角形的公共部分的面積為( ).

圖2

下面再回到原題：

圖3

評析：通過類比相應(yīng)的平面幾何問題的求解，啟發(fā)思維，找到解決問題的思路，讓學(xué)生學(xué)會用已知來發(fā)現(xiàn)未知，用數(shù)學(xué)的思維思考世界．

思路二：構(gòu)造模型，為正四面體尋根

圖4

評析：本題如果就題解題(不化歸為正方體)，對學(xué)生的空間想象與推理能力均有較高要求，而將正四面體ABCD補(bǔ)形為正方體，問題就變得直觀、清楚了．將正四面體問題化歸為正方體中的問題，是一種“解題歸根”的方法，正方體就是正四面體的根，而且該方法還給出了一種“求棱長為a的正四面體外接球的體積”的較好的思路．

尋根正四面體(以下簡稱體Ⅰ)尋根到它的外接正方體(以下簡稱體Ⅱ)，“元素”之間的對應(yīng)有以下的主要關(guān)系：

(1)體Ⅰ的6條棱，分別來自體Ⅱ6個面的6條面對角線；

(2)體Ⅰ的4個面，分別是體Ⅱ共面的3條面對角線確定的截面；

四、教學(xué)啟示

1.滲透立體幾何研究方法，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會思考

對于本題，絕大多數(shù)學(xué)生束手無策，甚至沒有頭緒．這暴露出我們在立體幾何的教學(xué)中，還沒有幫助學(xué)生形成研究立體幾何問題的基本方法，學(xué)生還沒有形成必要的空間觀念．

立體幾何主要研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系．在教學(xué)中，要遵循從整體到局部、一般到特殊的路徑建構(gòu)研究脈絡(luò)，運(yùn)用“直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算”的研究方法，關(guān)注研究立體圖形的一般思路，不斷滲透研究立體幾何問題的方法，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成，還要重視類比、合情推理等能力的培育．

在“思路一”中，應(yīng)用類比推理將空間問題先退回到平面問題，有助于學(xué)生理解和解決新問題，幫助學(xué)生在研究新問題的過程中學(xué)會思考，在“知其然且知其所以然”的基礎(chǔ)上做到“何由以知其所以然”，使學(xué)生懂得“思維之道”．

2.重視“基本圖形”的作用，從概念的聯(lián)系中探尋思路

三角形是平面幾何的最基本圖形，而長方體是空間幾何的最基本圖形．在研究基本圖形位置關(guān)系時，無論對于空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的整體認(rèn)識，還是對于空間直線、平面的平行、垂直關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)等，都可以在長方形中找到對應(yīng)的表示[1]．很多基本圖形也都可以與長方體建立聯(lián)系，而以長方體為基本圖形也方便了空間直角坐標(biāo)系的建立．因此要以長方體作為基本圖形，貫穿于立體幾何教學(xué)的始終，幫助學(xué)生認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念．

在“思路二”中，充分利用長方體這一最基本的立體圖形，將正四面體還原為正方體來解，引導(dǎo)學(xué)生從概念的聯(lián)系性中探尋解題思路，教會學(xué)生運(yùn)用最本質(zhì)的東西來解決復(fù)雜的問題，做到大道至簡．

3.透徹領(lǐng)悟課程理念，準(zhǔn)確把握教學(xué)要求

新課程背景下的立體幾何教學(xué)，雖然對空間相關(guān)定理的證明降低了要求，也減少了定理的數(shù)量，但用加強(qiáng)幾何直觀來促進(jìn)空間想象能力的發(fā)展．在大量的實(shí)際背景、直觀操作和感知的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納、概括出若干定理，感受公理化思想，在經(jīng)歷觀察、實(shí)驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動中，促進(jìn)相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得及空間觀念的形成，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力[2]．

在立體幾何教學(xué)中，我們要注重幾何直觀，加強(qiáng)對基本圖形的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生在直觀感知空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的同時，學(xué)會類比、學(xué)會推理、學(xué)會說理，養(yǎng)成言必有據(jù)的思維習(xí)慣．在空間向量的教學(xué)中，要鼓勵學(xué)生靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度去解決立體幾何問題．在使幾何問題的處理更加靈活的同時，初步認(rèn)識幾何問題代數(shù)化的意義，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識客觀世界，落實(shí)立體幾何教學(xué)的育人價值！