江西省瑞金第一中學(xué) (342500) 魏東升

江西省大余縣新城鎮(zhèn)中學(xué) (341501) 王華亮

平面向量是高中數(shù)學(xué)大家庭中的重要一員，而平面向量數(shù)量積問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的內(nèi)容，求兩個(gè)向量的數(shù)量積也是高考的執(zhí)點(diǎn)之一，近幾年在新高考改革背景下，各省市高考的試題都涌現(xiàn)了一些以數(shù)量積為背景的好題.而向量投影的巧妙應(yīng)用，往往能夠讓我們?cè)诮鉀Q和數(shù)量積有關(guān)問題時(shí)事半功倍，歷年來相關(guān)的高考題就很好地說明了這一點(diǎn).下面，讓我們通過其在高考中的幾類妙用來感受它的魅力.

圖1

評(píng)析：求向量數(shù)量積的一種常見思路是進(jìn)行坐標(biāo)化運(yùn)算，由于坐標(biāo)化這種方法是數(shù)與形的結(jié)合，它既是向量幾何意義的具體體現(xiàn)，同時(shí)又能很好地體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，因而是許多同學(xué)的最愛．而本題采取向量投影的方法，即能減少相應(yīng)的運(yùn)算量，又能很好地體現(xiàn)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

圖2

評(píng)析：本題方法頗多，投影法雖說只是平面向量數(shù)量積眾多常見方法中(公式法、坐標(biāo)化法、基底法、投影法、極化恒等式法和特殊化法等)的一種，但其優(yōu)勢在本題中可謂體現(xiàn)地淋漓盡致．

圖3

圖4

評(píng)析：本題常規(guī)的思路是結(jié)合向量數(shù)量積公式和三角形面積公式求出A，再在ΔABC中利用余弦定理求得a．該思路較之向量投影的運(yùn)用，計(jì)算稍顯繁瑣．

上述真題讓我們感受到了向量投影解決問題的魅力，但如何尋找合適的切入點(diǎn),真正發(fā)揮向量投影的幾何意義,這是我們應(yīng)該關(guān)注到的，有時(shí)為了能夠順利使用投影，目標(biāo)向量的合理轉(zhuǎn)化是十分必要的．對(duì)于不是共起點(diǎn)的向量；或者雖然是共起點(diǎn)，但投影不能確定；又或者兩條都是動(dòng)向量的情況，可以考慮對(duì)目標(biāo)向量進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化．