江西省南昌三中 (330029) 張金生

神奇的圓錐曲線是連接代數(shù)與幾何之間的一座橋梁，雖然奧妙，但其實(shí)也是有較強(qiáng)的規(guī)律可循.隨著一線教師對(duì)解析幾何圓錐曲線內(nèi)在性質(zhì)的深入探究，解析幾何試題基因圖譜逐漸被破譯，不僅使教師清晰地理解命題人的思想、命題背景和考查目的，把握高考命題規(guī)律，還可以更好地培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)，提高學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文從2019年北京高考文理科解析幾何解答題入手，對(duì)這對(duì)姊妹題進(jìn)行“融合”分析、探究溯源,進(jìn)行試題基因揭秘探索之旅.

一、試題呈現(xiàn)與答案

例2 (2019年高考北京卷理科18題)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1).

(Ⅰ)求拋物線C及其準(zhǔn)線方程;

(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn),過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M,N，直線y=-1分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

答案：(Ⅰ)拋物線C的方程為x2=-4y，準(zhǔn)線方程為y=1.(Ⅱ)以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0,-3).

二、文理兩題內(nèi)在共性

對(duì)上述兩例進(jìn)行“融合”探究，可發(fā)現(xiàn)它們有內(nèi)在共性.例1的第二問可改為：(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn)，直線l:y=kx+t(t≠±1)與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)P,Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，求證：以MN為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).例2的第二問可改為：(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)F作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M,N，直線y=-1分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證：|FA|·|FB|為定值.這一共性背景是圓內(nèi)相交弦定理.

三、試題拓展

由例1得以下結(jié)論:

由例2可得以下結(jié)論:

|FA|·|FB|=|FG1|·|FG2|=p2.

四、題根基因探索

揭開試題神秘的“面紗”,抓住考題和題根之間的內(nèi)在聯(lián)系.試題生長點(diǎn)是基于圓錐曲線的通性性質(zhì)，是許多高考試題的題源題根.

水有源，故其流不窮；木有根，故其生不窮.很多考題本質(zhì)是題根穿上華麗的“外衣”，帶上神秘的“面紗”，抓住考題和題根之間的內(nèi)在聯(lián)系，解題時(shí)才能“莫為浮云遮望眼”，善于“撥開迷霧”見“真顏”，才能從茫茫題海中走出來，可謂茫茫題海，尋根是岸.教學(xué)中，我們應(yīng)將具有探究價(jià)值的題根挖掘出來,也可進(jìn)行問題情境的設(shè)置，讓學(xué)生在探究中內(nèi)化新知并建構(gòu)完善知識(shí)體系，充分體會(huì)題根的價(jià)值，并獲得思維能力和核心素養(yǎng)的長效發(fā)展.