胡星宇, 肖經(jīng)淵, 李東行

（1. 廣州工商學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東 廣州 510850；2. 廣東金融學(xué)院 金融數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510521）

文獻(xiàn)[1]中，在廣義拓?fù)渲幸肓丝蓴?shù)μ-強(qiáng)仿緊空間，可數(shù)μ-θ加細(xì)空間，并證明如果廣義拓?fù)淇臻gX是可數(shù)μ-強(qiáng)仿緊空間，那么X滿足條件(A*)：對(duì)于空間X中任意一個(gè)遞增的非空μ-開子集列{Wi} ，并且滿足X ，都存在X的μ-閉子集序列{Fi} , 使得對(duì)于每一個(gè)i=1,2,…，都有 Fi?Wi成立，并且=X. 此外，通過一個(gè)例子證明存在既是可數(shù)μ-θ加細(xì)同時(shí)又是μ-正規(guī)的空間X，但是X不滿足條件 ( A*). 在此基礎(chǔ)上，還給出了可數(shù)μ-θ加細(xì)空間，可數(shù)μ-強(qiáng)仿緊空間和條件(A*)之間的關(guān)系.在這里自然有一種想法，如果將可數(shù)μ-θ加細(xì)空間換成可數(shù)μ-弱仿緊空間，那么他們之間的關(guān)系是否仍然成立呢？在這里將詳細(xì)討論.

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出一些基本概念和符號(hào).

定義1[2]設(shè)X是一非空集合，如果X的子集構(gòu)成的集族μ滿足下面2個(gè)條件：

（2）μ的任意多個(gè)元素的并屬于μ，

那么，μ稱為X上的廣義拓?fù)洌?X,)μ稱為廣義拓?fù)淇臻g.

令β?exp(X)和 ? ∈β，如果 μ ={∪β':β'? β}，那么β被稱作μ的基，也可以說μ是通過β生成的. 如果Х∈β，那么廣義拓?fù)淇臻g(X,μ)被稱作μ-空間.

如果X的子集B∈μ(Х?！师?，則В被稱作μ-開集（μ-閉集），μc表示X的全體μ-閉集構(gòu)成的集族.所有包含點(diǎn)x∈X的μ-開集都將用μx表示，即μx= { U ∈μ:x∈U}.（△代表指標(biāo)集）

定義2[3](1) 則如果對(duì)任意x, y∈X 并且x≠ y，都存在和 Uy∈μy，使 y ?Ux和 x ? Uy.

(2) 則如果對(duì)任意x, y∈ X 并且x≠ y，都存在和 Uy∈μy，使.

(3) 則如果對(duì)任意x∈X和X任意一個(gè)μ-閉子集，當(dāng)x?F，都存在和UF∈μ使 F ?UF，并且 Ux∩UF=?.

(4) 則如果對(duì)X的任意2個(gè)不相交的μ-閉子集F1和F2都存在U1, U2∈μ，使 F1? U1和 F2? U2,并且U1∩U2=?.

定義4[4]令X是廣義拓?fù)淇臻g，再令ξ和ψ是X的μ-開覆蓋，如果ξ?ψ，那么ξ被稱作是ψ的μ-子覆蓋.

定義5[4]設(shè)(X,μ)是廣義拓?fù)淇臻g，?是X的子集族，?被稱作是μ-局部有限的(μ-點(diǎn)有限的），當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一個(gè)x∈X，都存在，并且Ux只跟有限個(gè)?的元素相交（x屬于?中有限個(gè)元素）.

定義6[4]設(shè)(X,)μ是廣義拓?fù)淇臻g，?是X的-μ開覆蓋，X的-μ開子集構(gòu)成的集族?被稱作是?的-μ開加細(xì)，如果?是X的覆蓋，并且對(duì)于每一個(gè)U∈?，都存在V∈?,有U?V成立.

定義7[1]廣義拓?fù)淇臻g(X,)μ被稱作是可數(shù)μ-強(qiáng)仿緊空間，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)X的每一個(gè)可數(shù)μ-開覆蓋都有一個(gè)星有限的-μ開加細(xì)覆蓋.

定理2[5]如果X是拓?fù)淇臻g，那么下面2個(gè)結(jié)論是等價(jià)的：

(1) X是正規(guī)空間.

(2) 對(duì)于X每一個(gè)點(diǎn)有限的開覆蓋{Uα：α∈Δ} ,都存在X的開覆蓋{Vα：α∈Δ} ，并且對(duì)于每一個(gè)α∈Δ，都有成立.

2 主要結(jié)果

首先在廣義拓?fù)淇臻g中給出可數(shù)-μ仿緊空間，可數(shù)-μ弱仿緊空間的定義.

定義8[1]廣義拓?fù)淇臻g(X,)μ被稱作是可數(shù)-μ仿緊空間（可數(shù)-μ弱仿緊空間）當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)X的每一個(gè)可數(shù)-μ開覆蓋都有一個(gè)-μ局部有限（-μ點(diǎn)有限）的-μ開加細(xì).

推論1[1]在一般拓?fù)淇臻g中，參考文獻(xiàn)[6]中的圖6.4，有可數(shù)強(qiáng)仿緊空間可數(shù)仿緊空間?可數(shù)弱仿緊空間?可數(shù)θ加細(xì)空間. 在廣義拓?fù)淇臻g中，很顯然也有可數(shù)μ-強(qiáng)仿緊空間?可數(shù)μ-仿緊空間?可數(shù)μ-弱仿緊空間?可數(shù)μ-θ加細(xì)空間成立.

定義9[5]拓?fù)淇臻gX是可數(shù)仿緊空間當(dāng)且僅當(dāng)X滿足下列條件：(A)對(duì)于空間X中任意一個(gè)遞增的非空開子集列 W ?W ?…，并且滿足，都存在X的閉子集序列 F ?F?…使得對(duì)于每一個(gè)i=1,2,…,1212都有 F ?W，并且.ii

將要證明定義9在廣義拓?fù)淇臻g中是不成立的.

接下來，將會(huì)用一個(gè)例子來說明存在一個(gè)-μ空間X，它是μ-T4空間而且滿足下面這個(gè)條件*(A)，但是它不是可數(shù)-μ弱仿緊空間（同樣也不是可數(shù)-μ仿緊空間或可數(shù)-μ強(qiáng)仿緊空間）：

(A*)對(duì)于μ-空間X中任意一個(gè)遞增的非空μ-開子集列W ?W ?…，并且滿足，都存在X12的μ-閉子集序列F?F?…使得對(duì)于每一個(gè)i=1,2,…，都有 F ?W，并且.12ii

例1[1]令 X = ( 0,1)是單位開區(qū)間， β ={? } ∪ （ { 0， a ) ,(a , 1):a ∈(0,1)}.考慮X上的μ-基β生成的廣義拓?fù)淇臻gμ( β)，以下結(jié)論成立：

(1)如果A是X的μ-開子集，那么A是下面其中一種集合：

(2)如果B是X的-μ閉子集，那么B是下面其中一種集合：

(e)[r, s]; r, s ∈ ( 0,1)和r≤s（在這里假設(shè)[a, a]={a}）.

結(jié)論1[1]( X ,μ( β) )是μT2空間.

結(jié)論2[1]( X ,μ( β) )是μT4空間.

結(jié)論3[1]如果 W1?W2?…是X非空遞增的μ-開子集序列，那么集合 W1, W2，…不可能有如下形式：(0,r) ∪ ( s, 1 ),r, s ∈ ( 0,1)且r≤s.

結(jié)論4[1]X滿足條件 ( A*).

結(jié)論5[1]X擁有一個(gè)μ-可數(shù)基.

現(xiàn)在將會(huì)證明X不是可數(shù)μ-弱仿緊空間（可數(shù)μ-強(qiáng)仿緊空間）. 考慮X的可數(shù)μ-開覆蓋并且，C滿足如下結(jié)論：

結(jié)論6C沒有點(diǎn)有限的μ-開加細(xì)覆蓋.

證明 用反證法. 假設(shè)X存在點(diǎn)有限的μ-開加細(xì)覆蓋，令C*={Uα：α∈Δ}是C的一個(gè)點(diǎn)有限的μ-開加細(xì)覆蓋，因?yàn)?C*是C的μ-加細(xì)，所以對(duì)于每一個(gè)α∈Δ，一定存在aα∈ ( 0,1)，使得 Uα= ( 0,aα).因?yàn)?C*覆蓋 X = ( 0,1)，并且sup{aα:α ∈Δ} =1. 所以，對(duì)于每一個(gè)x∈(0,1)，x都被 C*覆蓋了無限多次，從而產(chǎn)生了矛盾，因此， C*不是點(diǎn)有限的μ-開加細(xì)覆蓋.

結(jié)合推論1，通過以上討論有如下定理：

定理 3存在滿足條件 ( A*)的 μ -T4空間X，X不是可數(shù)μ-弱仿緊空間（同樣也不是可數(shù)μ-仿緊空間或可數(shù)μ-強(qiáng)仿緊空間）.

接下來將會(huì)研究可數(shù)μ-強(qiáng)仿緊空間、可數(shù)μ-弱仿緊空間和滿足條件(A*)的μ-正規(guī)空間之間的關(guān)系.

仿照在一般拓?fù)淇臻g中Engelking關(guān)于可數(shù)仿緊空間［5］定理5.2.1(i) ? (ii)的證明，從而給出可數(shù)仿緊空間（可數(shù)弱仿緊空間）等價(jià)刻畫的方法［5］，引理5.3.5.給出在廣義拓?fù)淇臻g中相似的等價(jià)刻畫.

引理1[1]對(duì)于任意一個(gè)μ-空間X，下面2個(gè)條件是等價(jià)的:

(1)X是μ-正規(guī)空間.

(2)對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)有限的μ-開覆蓋{Uα:α ∈Δ}，都存在X的一個(gè)μ-開覆蓋{Vα:α ∈Δ} ，并且對(duì)于每一個(gè)α∈Δ，都有成立.文獻(xiàn)[1]已經(jīng)證明對(duì)于每一個(gè)可數(shù)μ-強(qiáng)仿緊空間（不一定是μ-正規(guī)空間）滿足條件 ( A*).

定理4[1]每一個(gè)可數(shù)μ-強(qiáng)仿緊空間都滿足條件 ( A*).

定理5每一個(gè)滿足μ-正規(guī)性的可數(shù)μ-弱仿緊空間X都滿足條件 ( A*).

最后，得到了可數(shù)μ-強(qiáng)仿緊空間，可數(shù)μ-弱仿緊空間和條件(A*)之間的關(guān)系，并且通過圖1來表現(xiàn)它們之間的關(guān)系，進(jìn)一步推廣了文獻(xiàn)[1]的結(jié)論.

圖1 可數(shù)-μ弱仿緊空間關(guān)系圖