◇ 湖北 陳雄飛

分析歷年的高考數(shù)學試卷，我們可以發(fā)現(xiàn)，不論是全國卷Ⅰ、全國卷Ⅱ還是各省的高考數(shù)學試卷，基本上每年都會有數(shù)學證明題，而且都是以大題的形式出現(xiàn)，分值為10～12分，證明題已經(jīng)成為高考必考題型之一，占有很大的比例.所以，做好證明題也是取得高分的前提條件.觀察往年的高考試卷，我們可以看出，證明題是千變?nèi)f化的，有時候是證明理論，有時候是證明公式，有時候是證明規(guī)律，等等.證明題題型太過繁雜，復習時無從下手，只能加強基礎知識的鞏固和掌握，才能更好地應對多變的題型.當然，我們的解題方法也十分重要，好的解題方法有時候能帶來極大的便利.在做證明題的過程中，反證法被越來越多的人使用，大大提高了高考數(shù)學證明題的得分率.本文主要從反證法的概念與運用方法、反證法實例分析和反證法的實際意義三個方面來闡述高中數(shù)學中的反證法.

1 反證法的概念與運用方法

1.1 反證法的概念

反證法，顧名思義，就是從待證結論的反面入手，反向證明命題的正確性.常規(guī)方法做證明題的時候就是正向一步步地分析總結，從而得到最后的結果，以此來判斷這個命題是否準確.

1.2 反證法的運用方法

掌握了反證法的概念，并不代表會運用反證法去解答證明題，所以，學會反證法的運用也至關重要.在運用反證法完整解答證明題的時候，首先，需要假設原命題不成立，然后進行推理.因為我們所使用的是反證法，所以我們的推理也得反向來.我們需要根據(jù)假設推理出矛盾的結果，從而說明我們的假設是錯誤的.這個過程我們通常用的是特殊值法，即找到一個特殊值代入我們假設的命題中去，從而使假設的命題不成立.因為反證法假設出來的命題和原命題是相反的，所以就能得到原命題是正確的結論了.

2 反證法實例分析

例1已知：m+n+z＞0，mn+nz+mz＞0，mnz＞0.求證：m＞0，n＞0，z＞0.

證明（1）用常規(guī)方法.

仔細觀察題目我們可以發(fā)現(xiàn)，通過mnz＞0，我們可以知道m(xù)，n，z 中至少有一個未知量大于零，所以只能假定其中一個未知量大于0，其他兩個要么同為負，要么同為正，又因為m+n+z＞0，mn+nz+mz＞0，那么需要知道的就是m，n，z 之間的大小關系.所以只能假設這三個未知量的大小關系，然后代入題目中進行驗算，從而得到正確的結論，其中需要考慮的情況特別多.

（2）用反證法.

假設m，n，z 不都是正數(shù)，由mnz＞0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，設m＜0，n＜0，z＞0，由m+n+z＞0，可得z＞-（m+n）.

又因為m+n＜0，所以z（m+n）＜-（m+n）·（m+n），mn+z（m+n）＜-（m+n）（m+n）+mn，即mn+nz+mz＜-m2-mn-n2.

因為m2＞0，mn＞0，n2＞0，所以-m2-mnz2=-（m2+mn+n2）＜0，即mn+nz+mz＜0.

這與已知mn+nz+mz＞0矛盾，所以假設不成立，因此m＞0，n＞0，z＞0成立.

例2已知o，p，q∈（0，1）.求證：（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 不能同 時大于

證明假設（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 都大 于.因為o，p，q 都是小于1的正數(shù)，所以1-o，1-p，1-q 都 是 正 數(shù)，（1-o）+

同理（1-p）+q＞1，（1-q）+o＞1.

三式相加，得（1-o）+p+（1-p）+q+（1-q）+o＞3，即3＞3，矛盾.

綜上，（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 不 能 都 大于

例3用反證法證明：若a，b，c∈R，且x=a2-2b+1，y=b2-2c+1，z=c2-2a+1，則，x，y，z 中至少有一個不小于0.

證明假設這三個都小于零，即

所以x+y+z＜0.

而x+y+z=（a2-2b+1）+（b2-2c+1）+（c2-2a+1）=（a2-2a+1）+（b2-2b+1）+（c2-2c+1）=（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2≥0.

與x+y+z＜0矛盾，所以假設不成立，所以x，y，z 中至少有一個不小于0.

3 反證法的實際意義

3.1 化繁為簡

有些證明題從正面入手雖然能解答出來，但是會浪費大量的時間；有些證明題并不是晦澀難懂，很多人也知道怎么去做，但是從正面入手，解題步驟太過煩瑣，很多人都望而卻步，不想為了這一道題影響整份試卷的成績.反證法的運用有效解決了這一問題，我們只需代入幾個特殊值就能讓問題迎刃而解，極大地簡化了解題步驟，同時也減少了學生因為冗雜步驟而出錯的情況.

3.2 培養(yǎng)學生的逆向思維

反證法教會學生，一條路走不通，就試著從其他路試試，正向解不出來的題目，從反方向來考慮有時候能將學生的思維從呆板的桎梏中解救出來，培養(yǎng)學生思維的靈活性，從而使其更好地適應高考題型的變化.

3.3 提高證明題解題效率和正確率

傳統(tǒng)的解決證明題的方法有時步驟特別復雜，而且步驟特別多，一旦其中任何一個環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，就會直接影響結果的準確性.所以，傳統(tǒng)方法的正確率遠遠不如反證法.反證法步驟簡單，需要驗算的地方較少，可有效避免因為步驟冗雜而產(chǎn)生錯誤結果的情況.而且，在驗算的過程中，傳統(tǒng)方法因為步驟繁多，所以驗算起來十分麻煩，但是反證法就不一樣，因為反證法步驟少，驗算起來一目了然，當結果出現(xiàn)誤差的時候，也能及時發(fā)現(xiàn)問題所在，從而大大提高了證明題的解題效率.

從上面的實例中我們可以看出，反證法在高中數(shù)學證明題解題中發(fā)揮著重要的作用，掌握反證法能大大提高學生數(shù)學證明題的得分率，讓學生的學習事半功倍，所以，正確使用反證法特別關鍵.反證法的精髓就在于“矛盾”，通過這些“矛盾”，從反面證明原命題的正確性.運用反證法解答證明題的時候，我們一定要嚴格按照反證法的步驟，一步一步地來，將整個證明題零碎化處理，這樣才能保證使用反證法準確地證明出結論.