劉憲升
(濱州學(xué)院理學(xué)院 山東·濱州 256600)
為討論方便,我們先給出角的平分線的定義、性質(zhì)定理及其逆定理。
定義:從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角的射線,叫做這個(gè)角的平分線。
角的平分線的性質(zhì)定理及其逆定理,我們以人教版課本[1]的敘述為例。
定理1:“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等?!?/p>
定理1′:“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上?!?/p>
由角的平分線定義可知其實(shí)質(zhì)是:角的平分線是角的一條對(duì)稱軸。即:角是一個(gè)關(guān)于角的平分線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形。這一實(shí)質(zhì)不少課本指了出來(lái),不再贅述。
關(guān)于定理1 這一性質(zhì),課本上都給出了證明,但都沒與角的平分線的實(shí)質(zhì)相聯(lián)系。實(shí)際上,我們結(jié)合點(diǎn)到直線的距離的定義,該性質(zhì)是在角平分線(對(duì)稱軸)上任取一點(diǎn),過該點(diǎn)向角的兩邊對(duì)稱的作垂線(作法對(duì)稱),所得兩交點(diǎn)(垂足)是一對(duì)對(duì)稱點(diǎn),故兩垂線段是關(guān)于角平分線的對(duì)稱線段,它們的長(zhǎng)度當(dāng)然相等了。因此,性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是:過角平分線上任一點(diǎn),向角的兩邊作的兩條對(duì)稱的垂線段相等。下面,給出兩垂線段對(duì)稱的證明。
這就證明我們上面對(duì)角的平分線性質(zhì)實(shí)質(zhì)的認(rèn)識(shí)是正確的。
前面我們已指出并證明了定理1 中,到角的兩邊的距離是關(guān)于角的平分線的對(duì)稱線段,垂足是對(duì)稱點(diǎn)。我們把垂足這個(gè)條件放開,一般化為關(guān)于角的平分線對(duì)稱的點(diǎn),可得下面推廣。
推廣1:角的平分線上的點(diǎn)與角的兩邊上關(guān)于角的平分線對(duì)稱兩點(diǎn)的連線段相等。
其實(shí),推廣1 若換種說法可能更好理解與記憶,表述為下面命題。
推廣1 的逆命題也是成立的,表述如下。
推廣1′:角的內(nèi)部與角的兩邊上關(guān)于角平分線對(duì)稱兩點(diǎn)的連線段相等的點(diǎn)在角平分線上。
上面對(duì)性質(zhì)定理實(shí)質(zhì)的揭示,就可以解釋前面所提木匠所用角平分儀為何這樣制作、角平分線的作法為何這樣作的問題了。
圖1
首先,圖1(48 頁(yè)截圖)是人教版課本中的角平分儀。在圖1中,不管∠的大小,由于=,故始終關(guān)于要作的角的平分線對(duì)稱是對(duì)稱點(diǎn);又=,實(shí)際上是在對(duì)稱軸的兩側(cè)對(duì)稱的作兩條射線,所得交點(diǎn)自身對(duì)稱,又自身對(duì)稱,故射線是角的對(duì)稱軸,即角的平分線。其實(shí),我國(guó)古代的木匠不懂平面幾何知識(shí),他們就是借助對(duì)稱制造了角平分儀。
總之,角的平分線無(wú)論是用角平分儀畫,還是根據(jù)作法作,都是先在角的兩邊上確定關(guān)于角平分線對(duì)稱的兩點(diǎn),再?gòu)倪@兩點(diǎn)出發(fā)朝角內(nèi)對(duì)稱作圖交于一自身對(duì)稱的點(diǎn),由頂點(diǎn)畫出的過交點(diǎn)的射線就是角的平分線。其關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱性作出異于頂點(diǎn)的另一自身對(duì)稱點(diǎn),而它是由對(duì)稱的兩條線相交得到的。認(rèn)識(shí)到這一實(shí)質(zhì)就可以給出其他作法,如:
其實(shí),此作法簡(jiǎn)單的說,就是作兩條關(guān)于角的平分線對(duì)稱的兩線段(直線或射線均可),找到另一自身對(duì)稱點(diǎn),進(jìn)而畫出角的平分線。
我們先證明等腰三角形的三線合一性質(zhì)。
此題為人教版課本51 頁(yè)綜合應(yīng)用第5 題。如不把性質(zhì)定理進(jìn)行推廣,此綜合應(yīng)用題證明還是有一定難度的,下面應(yīng)用推廣給出證明。
由應(yīng)用可見,在揭示角的平分線及其性質(zhì)并推廣后,不僅可以合理的解釋角平分儀的制作原理,以及角的平分線作法為什么這么作,而且應(yīng)用它們解決選擇、填空題可以一眼就能看出問題的結(jié)論;對(duì)于大題也可快速、簡(jiǎn)單的、幾步就能解決問題,有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。如果我們廣大數(shù)學(xué)教育工作者,能從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度,認(rèn)真研究課本或所教內(nèi)容,揭示出其蘊(yùn)涵的實(shí)質(zhì),數(shù)學(xué)難學(xué)的問題將會(huì)迎刃而解。