盛維林

（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512005）

常微分方程在科技理論中具有非常廣泛的應(yīng)用，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一［1］，一階線性微分方程是其中重要的一類方程［2］.通常解一階線性微分方程的方法有常數(shù)變易法［3-4］和積分因子法［5］.此外，一階線性微分方程還有其他一些解法［6］.這些解法中，“常數(shù)變易法”是求一階線性非齊次微分方程通解的最重要的方法［7］，但由于“常數(shù)變易法”過(guò)于巧妙，學(xué)生在做題時(shí)，還是會(huì)出現(xiàn)一些問(wèn)題.在求解一道一階線性微分方程的習(xí)題中，學(xué)生出現(xiàn)了四種不同的解法，其中有兩種解法有別于常規(guī)解法，筆者對(duì)這些解法進(jìn)行了分析和總結(jié).

1 常系數(shù)變易法

一階線性非齊次微分方程：

其中P（x），Q（x）是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù).稱：

為與（1）對(duì)應(yīng)的一階線性齊次微分方程.常系數(shù)變易法通常是先求出（1）所對(duì)應(yīng)的齊次方程（2）的通解.因?yàn)榉匠蹋?）是可分離變量的微分方程，分離變量得，

兩端分別積分，得：

即

然后設(shè)y=C（x）e-∫P（x）dx為（1）的解，代入（1）求得C（x）=∫Q（x）∫P（x）dx+C，從而得到（1）的解.以上是課本上的推導(dǎo)過(guò)程.

2 一道習(xí)題引發(fā)的不同解法

在這節(jié)課的課后，筆者布置了以下這道題目作為課后習(xí)題［1］.求方程

的通解.

（5）式所對(duì)應(yīng)的齊次方程為：

解法（一）：對(duì)（6）式分離變量、 兩邊積分得，

令y=e-x2+c（x）代入（5），得

解法（二）：對(duì)（6）式分離變量、 兩邊積分得：

解法（三）：（5）式變形為

分離變量、 兩邊積分得：

解法（四）：對(duì)（6）式分離變量、 兩邊積分得：

將y=C（x）e-x2代入（5）得C'（x）e-x2=4x.

所以（5）式的解為y=2+Ce-x2，其中C 為任意常數(shù).

3 對(duì)這些解法的分析與思考

解法（一）、（二）、（四）都是用到了常系數(shù)變易法來(lái)解題，只是在解齊次方程（6）時(shí)出現(xiàn)了（7）、（9）、（11）不同的表示，導(dǎo)致后面代入求通解時(shí)也不同，轉(zhuǎn)化為（8）、（10）、（12）求解C（x），顯然（8）、（10）求解起來(lái)要比（12）復(fù)雜一些.其實(shí)解法（一）中（7）式令eC=C1，解法（二）中（9）式令那么后面的解法就和解法（四）一樣了，但是即使這樣做了，由于C1≠ 0，（7）、（9）與（11）比較就少了y=0 這個(gè)解.如果仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn)，解法（四）也少了y=0 這個(gè)解.問(wèn)題出在哪里呢？就在兩邊同時(shí)除以y 時(shí)，沒(méi)有討論y 是否為0，應(yīng)該分y=0 和y ≠ 0 來(lái)討論，y ≠ 0 時(shí)是以上解答，其中C ≠ 0，由于y=0 也是解，所以將C 改為任意常數(shù)即可.雖然這樣做比較麻煩，但對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性是有益的.后來(lái)筆者查看了幾本《高等數(shù)學(xué)》的教材：《大學(xué)數(shù)學(xué)——微積分及其在生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用》第三版，謝季堅(jiān)，李啟文主編；《微積分》第三版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編；《微積分》第三版，中國(guó)人民大學(xué)朱來(lái)義主編.這幾本教材無(wú)一例外的都是直接兩邊除以y.另一本由東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程教研室編寫(xiě)的《常微分方程》中，是分y=0 和y ≠ 0 來(lái)討論的.筆者認(rèn)為這種處理方式比較妥當(dāng).

反觀筆者的教學(xué)過(guò)程，在（3）式之前分離變量時(shí)討論y=0 是齊次方程的解，y ≠ 0 時(shí)兩邊同時(shí)除以y，得到的C ≠ 0.由于C=0 時(shí)，y=0，所以將C 改為任意常數(shù).緊接著讓學(xué)生觀察（4）式，如果把C1寫(xiě)成ln│C│（C ≠ 0）行不行?學(xué)生心里肯定產(chǎn)生疑問(wèn)，可不可以這樣做？為什么要這么做？先來(lái)回答第一個(gè)問(wèn)題，提示學(xué)生考慮ln│C│的值域，這樣做是可行的.為什么這樣做？聯(lián)想對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，很快得出y=Ce-∫P（x）dx（其中C ≠ 0）當(dāng)C=0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的解為y=0，此時(shí)只需要將C ≠ 0 改為C 為任意常數(shù)即可.由于部分同學(xué)中學(xué)時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算這里掌握得不牢固，導(dǎo)致在C1寫(xiě)成ln│C│時(shí)，所以出現(xiàn)解法（一）.解法（二）的出現(xiàn)是因?yàn)樵诮猓?）式時(shí)，為了不節(jié)外生枝，沒(méi)有說(shuō)明如果負(fù)號(hào)放在y 這邊的情形.但既然作業(yè)中出現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，就有必要跟學(xué)生澄清一下.回到（3）式，如果是改成則這里可以令C1=C（C ≠ 0），即y=Ce∫-P（x）dx，這樣費(fèi)一番周折之后還是與之前一致.因此，通過(guò)這道習(xí)題，可以跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)，在解一階線性微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程時(shí)，如果有負(fù)號(hào)，負(fù)號(hào)不要放在y 那邊，如果有系數(shù)，也不要放在y 那邊.

反觀解法（一）、（二），雖然有些不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤剑且膊皇呛翢o(wú)意義，它們最終轉(zhuǎn)化為（8）、（10）的解答，怎么解出C（x），這是一個(gè)很好的問(wèn)題，讓學(xué)生思考.第一步都是要將含有C（x）的項(xiàng)放在一邊，由（8）得C'（x）eC（x）=4xex2，由（10）得得到然后解答這兩個(gè)方程，這里要用到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和除法法則才能求出來(lái)，這無(wú)疑也是對(duì)學(xué)生思維的一次挑戰(zhàn).通過(guò)對(duì)比，可以總結(jié)出，常規(guī)解法（四）的優(yōu)越性，從而進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)常數(shù)C 的變形是有益的.同時(shí)對(duì)給出解法（一）、（二）的同學(xué)給予肯定.對(duì)于解法（三）的同學(xué)也要表?yè)P(yáng)，因?yàn)樗麄冇^察很仔細(xì)，這個(gè)方程可以看成可分離變量的微分方程，解答起來(lái)更簡(jiǎn)潔.

4 結(jié)語(yǔ)

一些教材限于篇幅和體系安排，比較注重傳授知識(shí)，而對(duì)解決問(wèn)題的思路分析就相對(duì)偏少.另外，會(huì)有一些細(xì)節(jié)的地方，可能考慮不到.這就需要老師平時(shí)用心鉆研教材，精心設(shè)計(jì)教學(xué).另外，在教學(xué)中總會(huì)出現(xiàn)意想不到的結(jié)果［8］，作為教師，不要盲目否認(rèn)學(xué)生的思維，當(dāng)出現(xiàn)非常規(guī)的解答時(shí)，教師應(yīng)該認(rèn)真反思，查找思維形成的原因.對(duì)一道習(xí)題多種解法的分析和總結(jié)，有利于拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生探究問(wèn)題的熱情和學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力.