潘 慶, 張曉茹, 劉 晗, 楊涪銓, 劉繼平, 孟祥東, 吳向堯, 郭義慶

(1. 吉林師范大學(xué) 物理學(xué)院, 吉林 四平 136000； 2. 中國科學(xué)院 高能物理研究所, 北京 100049)

當光子在具有不同介電常數(shù)呈周期性排列的材料中傳播時, 其傳播行為可被改變, 這種材料稱為光子晶體[1-2]. 光子晶體具有光子帶隙、 缺陷態(tài)和光的局域態(tài)等特征. 利用這些特征可制備高效率半導(dǎo)體激光器、 發(fā)光二極管、 波導(dǎo)、 光學(xué)濾波器、 高Q諧振器、 天線、 光學(xué)波導(dǎo)[3-6]、 光學(xué)限幅器和放大器等[7-9].

目前, 理論研究光子晶體的方法主要有： 平面波展開法、 傳輸矩陣法和時域有限差分法等[10-13], 這些方法均來源于經(jīng)典Maxwell方程, 即經(jīng)典電磁理論方法. 本文提出一種研究一維光子晶體的量子理論方法, 利用該方法給出光子在一維光子晶體自旋波函數(shù)的形式, 進一步計算得到量子傳輸矩陣、 量子色散關(guān)系、 量子透射率和反射率. 在數(shù)值分析中, 計算不同結(jié)構(gòu)一維光子晶體的量子色散關(guān)系、 量子透射率和反射率, 分析周期數(shù)對光子晶體量子透射率的影響, 并將量子理論方法與經(jīng)典電磁方法的計算結(jié)果進行比較. 結(jié)果表明, 其計算結(jié)果一致. 量子理論方法可用于研究二維和三維光子晶體, 并可進一步研究光子晶體的量子拓撲性質(zhì).

1 光子的自旋波動方程

自由和非自由光子的自旋波動方程[14]分別為

(1)

(2)

在折射率為n的介質(zhì)中, 光子的勢能為V=?ω(1-n)[15], 光子的自旋波函數(shù)ψ和α矩陣的三維分量形式分別為

(3)

(4)

利用分離變量法ψ(r,t)=ψ(r)f(t), 方程(1),(2)可變?yōu)?/p>

-ic?α·ψ(r)=Eψ(r)，

(5)

-ic?α·ψ(r)+?ω(1-n)ψ(r)=Eψ(r),

(6)

其中E為光子在介質(zhì)中的總能量. 方程(2),(6)分別為光子在介質(zhì)中含時與不含時的量子波動方程, 由該方程可研究光在一維光子晶體介質(zhì)中的量子透射特性.

2 一維光子晶體的量子傳輸矩陣

圖1 一維光子晶體(AB)N的量子結(jié)構(gòu)

由方程(2),(6)可得光在介質(zhì)A,B中入射和反射的平面波解分別為

在真空區(qū)域的總?cè)肷洳ê瘮?shù)由入射部分和反射部分疊加組成：

(9)

其中:F1,F2,F3表示光子入射波函數(shù)的振幅分量;F4,F5,F6表示光子反射波函數(shù)的振幅分量.

類似地, 可寫出第二周期和第N周期的光波函數(shù)：

其中:

θ為在真空區(qū)域的入射角.

根據(jù)波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)在x=0處連續(xù), 利用方程(7),(9)可得：

(14)

(15)

方程(14),(15)可寫成如下矩陣形式：

(16)

其中:

通過計算可見, 每個介質(zhì)層A和B間均可寫出傳輸矩陣MA和MB, 且在不同周期內(nèi)A和B介質(zhì)的傳輸矩陣相同.MA和MB分別為

(17)

其中:

M0,MA,MB稱為量子傳輸矩陣.

對于第N周期的一維光子晶體, 量子透射波函數(shù)可寫為

(18)

根據(jù)波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)在x=N(a+b)處連續(xù), 利用方程(13),(18)可得

(19)

(20)

(21)

由方程(5)可得一維光子晶體(沿x方向傳播的平面波)的透射率T和反射率R分別為

(22)

(23)

其中:

(24)

(25)

(26)

通過計算可得

(27)

(28)

其中:

Q2=M51N1+M52N2+M53N3;

Q3=M61N1+M62N2+M63N3;

Δ=M11M22M33-M11M23M32-M12M21M33+M12M23M31+M13M21M32-M13M22M31;

由Bloch定理可得

將式(29),(30)代入方程(7),(8),(10),(11)可得

(31)

(32)

(33)

方程(31)～(34)的非零解為

(35)

由方程(35)可得一維光子晶體的量子色散關(guān)系式為

(36)

3 結(jié)果與討論

一維量子光子晶體的初始參數(shù)如下： 介質(zhì)A和B的折射率分別為nA=1.6,nB=2.97, 厚度分別為a=277 nm,b=130 nm, 入射角為θ=0, 中心頻率為ω0=271 THz. 一維光子晶體結(jié)構(gòu)為(AB)N, 其中N為周期數(shù). 將上述參數(shù)代入方程(27),(28),(36)可得量子透射率、 量子反射率和量子色散關(guān)系曲線, 并與經(jīng)典透射率、 經(jīng)典反射率和經(jīng)典色散關(guān)系進行比較. 一維光子晶體(AB)8的色散關(guān)系曲線如圖2所示, 其中： 圖2(A)為量子色散關(guān)系; 圖2(B)為經(jīng)典色散關(guān)系. 由圖2可見, 在量子和經(jīng)典色散關(guān)系曲線中, 禁帶寬度、 位置和通帶均相同.

圖2 一維光子晶體(AB)8的色散關(guān)系

一維光子晶體(AB)8的透射率關(guān)系曲線如圖3所示, 其中: 圖3(A)為量子透射率; 圖3(B)為經(jīng)典透射率. 由圖3可見, 在量子和經(jīng)典透射率曲線中, 禁帶位置和寬度均相同. 一維光子晶體(AB)8的反射率曲線如圖4所示, 其中： 圖4(A)為量子反射率曲線； 圖4(B)為經(jīng)典透射率曲線. 由圖4可見, 量子和經(jīng)典反射率關(guān)系曲線相同. 一維光子晶體(AB)16的透射率曲線如圖5所示, 其中圖5(A)為量子透射率曲線; 圖5(B)為經(jīng)典透射率曲線. 由圖5可見, 量子和經(jīng)典透射率曲線相同. 比較圖3和圖5可見: 當周期數(shù)N=8時, 在ω/ω0=15和ω/ω0=26附近, 禁帶不明顯(透射率T≠0); 當周期數(shù)N=16時, 在ω/ω0=15和ω/ω0=26附近, 禁帶較明顯(透射率T=0), 且隨著周期數(shù)N的增大, 通帶變密, 即態(tài)密度變大. 因此周期數(shù)影響光子晶體的禁帶和態(tài)密度.

圖3 一維光子晶體(AB)8的透射率

圖4 一維光子晶體(AB)8的反射率

圖5 一維光子晶體(AB)16的透射率

綜上所述, 本文用光的量子理論方法研究了光子晶體色散關(guān)系、 透射率和反射率, 與光的經(jīng)典理論方法所得結(jié)果完全相同, 表明該量子理論方法正確. 該方法可進一步用于研究光子晶體的量子Zak相位、 量子陳數(shù)和量子邊緣態(tài)等量子拓撲性質(zhì).