吳險(xiǎn)峰, 趙秀芳, 杜君花, 傅俊偉

(齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 黑龍江 齊齊哈爾 161006)

李三系是關(guān)于三元括積封閉的李代數(shù)的子空間[1]. 李三系與幾何、 物理密切相聯(lián), 也是李代數(shù)和Jordan代數(shù)之間的橋梁[2-5]. 作為李三系的推廣, 李超三系已成為研究物理系統(tǒng)的重要工具[4,6-7]. 目前, 關(guān)于李超三系的研究已有許多成果[8-14]. 特別地, 文獻(xiàn)[4]將Yang-Baxter方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)三元乘法關(guān)系, 從而利用李超三系得出了Yang-Baxter方程的一些新解和一個(gè)簡(jiǎn)單解. Leger等[15]研究了李代數(shù)的廣義導(dǎo)子代數(shù), 得到了廣義導(dǎo)子代數(shù)及其子代數(shù)的相關(guān)性質(zhì), 給出了廣義導(dǎo)子代數(shù)的結(jié)構(gòu)并描述了李代數(shù)滿足的特殊條件, 指出李代數(shù)的擬導(dǎo)子和上同調(diào)之間存在某種聯(lián)系. 文獻(xiàn)[9,14,16-18]研究了對(duì)于更一般的非結(jié)合代數(shù)的廣義導(dǎo)子代數(shù).

目前, 關(guān)于Hom-型代數(shù)的研究也得到廣泛關(guān)注[17-21]. Hom-李三系是李三系的推廣, 三元Jacobi恒等式由經(jīng)典的三元Jacobi恒等式經(jīng)兩個(gè)線性映射扭曲而成, 李三系是Hom-李三系的特殊情形(其中兩個(gè)扭曲映射均取為恒等映射). Hom-李超三系是Hom-李三系和李超三系的推廣, 文獻(xiàn)[17]研究了保積Hom-李超三系的廣義導(dǎo)子. 文獻(xiàn)[5]給出了δ-李超三系的概念, 當(dāng)δ=1時(shí),δ-李超三系即為李超三系. 由于李超代數(shù)均可視為一個(gè)特殊的李超三系, 因此δ-李超三系比李超代數(shù)和李超三系更廣泛, 它與Jordan李三系、 李三系、 Freudenthal-Kantor三系、 Jordan李超三系、 Freudenthal-Kantor李超三系、 Jordan李超三系和李超三系等代數(shù)也密切相關(guān). 文獻(xiàn)[21]引入了Hom-δ-李三系的概念, 并給出了其上同調(diào)和形變理論.

作為Hom-δ-李三系和Hom-李超三系的推廣, 本文研究Hom-δ-李超三系的結(jié)構(gòu). 首先給出Hom-δ-李超三系T的概念, 通過引入廣義導(dǎo)子、 擬導(dǎo)子、 導(dǎo)子Der(T)、 中心導(dǎo)子之集ZDer(T)、 擬型心QC(T)和型心C(T)的概念, 證明其均可構(gòu)成線性李超代數(shù)的子代數(shù), 并證明中心導(dǎo)子代數(shù)和型心代數(shù)都是導(dǎo)子代數(shù)的理想, 且ZDer(T)=C(T)∩Der(T). 若T的中心為零, 則[C(T),QC(T)]={0}.

1 基本概念

定義1設(shè)T是域F上的向量空間, 其上具有三線性映射[·,·,·]:T×T×T→T和線性映射(又稱扭曲映射)α:T→T. 若對(duì)任意的x,y,z,u,v∈hg(T), 滿足：

1) ?i,j,k∈Z2, [Ti,Tj,Tk]?Ti+j+k;

2)α([x,y,z])=[α(x),α(y),α(z)];

3) [x,y,z]=-(-1)xy[y,x,z];

4) (-1)xz[x,y,z]+(-1)xy[y,z,x]+(-1)zy[z,x,y]=0;

5) [α(x),α(y),[z,u,v]]=[[x,y,z],α(u),α(v)]+(-1)(x+y)z[α(z),[x,y,u],α(v)]+δ(-1)(x+y)(z+u)[α(z),α(u),[x,y,v]].

則稱(T,[·,·,·],α)是保積Hom-δ-李超三系.

由定義1可知, 保積Hom-δ-李超三系是Hom-δ-李三系[21]和Hom-李超三系[17]的推廣.

定義2設(shè)(T,[·,·,·],α)是保積Hom-δ-李超三系, 存在線性映射D:T→T, 使得對(duì)任意的x,y,z∈hg(T), 滿足[D,α]=0和

則D稱為T的η次αk-m-導(dǎo)子, 記Derαk,m(T)為所有αk-m-導(dǎo)子構(gòu)成的集合.

定義3設(shè)(T,[·,·,·],α)是保積Hom-δ-李超三系, 存在線性映射D′,D″,D?∈End(T), 使得對(duì)任意的x,y,z∈hg(T), 滿足:

[D,α]=[D′,α]=[D″,α]=[D?,α]=0,

δm{[D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ηx[αk(x),D′(y),αk(z)]+(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D″(z)]}=D?([x,y,z]),

則稱D∈End(T)為T的η次αk-m-廣義導(dǎo)子.

定義4設(shè)(T,[·,·,·],α)是保積Hom-(δ)-李超三系, 存在線性映射D′∈End(T), 使得對(duì)任意的x,y,z∈hg(T), 滿足:

[D,α]=[D′,α]=0,

則稱D∈End(T)為T的η次αk-m-擬導(dǎo)子.

令GDerαk,m(T)和QDerαk,m(T)分別是T的η次廣義αk-m-導(dǎo)子和T的η次αk-m-擬導(dǎo)子的集合, 則

易證GDer(T)和QDer(T)都是U的Hom-δ-子代數(shù).

則C(T)稱為T的αk-m-型心.

[D(x),αk(y),αk(z)]=(-1)ηx[αk(x),D(y),αk(z)]=(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)],

則QC(T)稱為T的η次αk-擬型心.

[D(x),αk(y),αk(z)]=D([x,y,z])=0,

則ZDer(D)稱為T的η次αk-m-中心導(dǎo)子.

注3ZDer(T)?Der(T)?QDer(T)?GDer(T)?End(T).

2 廣義導(dǎo)子代數(shù)和Hom-δ-子代數(shù)

命題1設(shè)(T,[·,·,·],α)是保積Hom-δ-李超三系, 則下列結(jié)論成立:

1) GDer(T),QDer(T)和C(T)均為U的Hom-δ-子代數(shù);

2) ZDer(T)是Der(T)的Hom-δ-理想.

且

于是, 對(duì)任意的x,y,z∈hg(T), 有

假設(shè)D1∈Cαk,m(T),D2∈Cαs,n(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ. 對(duì)任意的x,y,z∈hg(T), 有

注意到

類似地, 有

[D1,D2]([x,y,z])=(-1)(θ+η)xδm+n[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)].

從而[D1,D2]∈Cαk+s,m+n(T), 于是C(T)是U的Hom-δ-子代數(shù).

2) 假設(shè)D1∈ZDerαk(T),D2∈Derαs,n(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ. 對(duì)任意的x,y,z∈hg(T), 有

注意到

且

則[D1,D2]∈ZDerαk+s,m+n(T), 故ZDer(T)是Der(T)的Hom-δ-理想.

命題2設(shè)(T,[·,·,·],α)是特征不等于3的域F上的保積Hom-δ-李超三系, 則:

1) [Der(T),C(T)]?C(T);

2) [QDer(T),QC(T)] ?QC(T);

3) [QC(T),QC(T)]?QDer(T);

4) C(T)?QDer(T);

5) ?D∈C(T),D(Der(T))?Der(T).

證明: 1) 假設(shè)D1∈GDerαk,m(T),D2∈Cαs,n(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ, 則對(duì)任意的x,y,z∈hg(T), 有

類似地, 有

[D1,D2]([x,y,z])=(-1)(η+θ)xδm+n[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)],

且

[D1,D2]([x,y,z])=(-1)(η+θ)(x+y)δm+n[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)].

則[D1,D2]∈Cαk+s,m+n(T), 從而[Der(T),C(T)]∈C(T).

2) 假設(shè)D1∈QDerαk,m(T),D2∈QC(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ, 則

因此

[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)(θ+η)x[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)].

類似地, 有

[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)(θ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)].

從而[D1,D2]∈QC(T), [QDer(T),QC(T)]∈QC(T).

3) 假設(shè)D1∈QCαk(T),D2∈QCαs(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ, 則對(duì)任意的x,y,z∈hg(T), 有

易驗(yàn)證:

4) 假設(shè)D∈Cαk,m(T), 且D的次數(shù)分別為η, 則對(duì)任意的x,y,z∈hg(T), 有

δmD([x,y,z])=[D(x),αk(y),αk(z)]=(-1)ηx[αk(x),D(y),αk(z)]=(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)],

因此

δm3D[x,y,z]=[D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ηx[αk(x),D(y),αk(z)]+(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)],

且D′=3δmD∈End(T), 即D∈QDerαk,m(T).

5) 假設(shè)D1∈Cαk,m(T),D2∈Derαs,n(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ, 則對(duì)任意的x,y,z∈hg(T), 有

因此D1D2∈Derαk+s,m+n(T).

定理1設(shè)(T,[·,·,·],α)是保積Hom-δ-李超三系, 且Z(T)是T的中心. 若α是滿射, 則[C(T),QC(T)]?End(T,Z(T)). 特別地, 若Z(T)={0}, 則[C(T),QC(T)]={0}.

證明: 假設(shè)D1∈Cαk,m(T),D2∈QCαs,m(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ. 對(duì)任意x,y,z∈hg(T),α是滿射, ?y′,z′∈T, 使得y=αk+s(y′),z=αk+s(z′), 則

因此[D1,D2](x)∈Z(T)且[D1,D2]∈End(T,Z(T)). 特別地, 若Z(T)=0, 則[C(T),QC(T)]={0}.

定理2設(shè)(T,[·,·,·],α)是特征不等于2的域F上的保積Hom-δ-李超三系, 則ZDer(T)=C(T)∩Der(T).

證明: 假設(shè)D∈Cαk,m(T)∩Derαk,m(T), 且D的次數(shù)為η, 則對(duì)任意x,y,z∈hg(T), 有

且

于是2D([x,y,z])=0, 因?yàn)橛騀的特征不等于2, 所以D([x,y,z])=0. 故D∈ZDerαk(T)且C(T)∩Der(T)?ZDer(T). 另一方面, 假設(shè)D∈ZDerαk(T), 則D([x,y,z])=[D(x),αk(y),αk(z)]=0. 直接驗(yàn)證可知,D∈Cαk(T)∩Derαk,m(T), ZDer(T)?C(T)∩Der(T). 證畢.