張斌 李云召 吳宏春 劉勇 王冬勇 王星博 鐘旻霄

(1.中國核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 四川成都 610213；2.西安交通大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 陜西西安 710049)

20世紀(jì)70年代以后，得益于粗網(wǎng)節(jié)塊法[1,2]的迅速發(fā)展，以組件均勻化理論[3,4]和粗網(wǎng)節(jié)塊方法為理論框架的兩步法計(jì)算方案逐漸成為了壓水堆工程計(jì)算中普遍采用的燃料管理中子學(xué)數(shù)值計(jì)算方法。伴隨著粗網(wǎng)節(jié)塊法的大量工程應(yīng)用，適用于組件均勻化的均勻化理論得到了長足的發(fā)展?；诰鶆蚧话阍恚Y(jié)合早期有限差分堆芯計(jì)算的傳統(tǒng)均勻化方法，Kord Smith基于等效均勻化理論提出了能夠用于工程計(jì)算的廣義等效均勻化方法[5]，即在等效均勻化參數(shù)中引入不連續(xù)因子以達(dá)到各節(jié)塊的守恒條件，此化方法很好地滿足了絕大部分商用壓水堆的工程應(yīng)用需求。

隨著科學(xué)研究的不斷深入、計(jì)算條件和對(duì)核設(shè)計(jì)計(jì)算精度要求的不斷提高，傳統(tǒng)的兩步法計(jì)算方案面臨著越來越嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。為提高堆芯設(shè)計(jì)計(jì)算精度且滿足對(duì)新型反應(yīng)堆堆芯計(jì)算的精度要求，基于均勻化理論的改進(jìn)型兩步法計(jì)算方案全堆芯Pin-by-pin計(jì)算成為了下一代堆芯數(shù)值計(jì)算方法的研究熱點(diǎn)。全堆芯Pin-by-pin計(jì)算減少了堆芯計(jì)算過程中的近似與假設(shè)，能夠更加精細(xì)地考慮堆芯布置的非均勻性，直接求出單棒功率分布，便于堆芯燃料管理計(jì)算和相應(yīng)的堆芯安全分析。

區(qū)別于組件均勻化的廣義等效均勻化方法，Pin-bypin均勻化計(jì)算中，不連續(xù)因子的計(jì)算[6]不僅與非均勻介質(zhì)本身及其所處環(huán)境有關(guān)，也與堆芯計(jì)算方法相關(guān)。本文研究了廣義等效均勻化方法在壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算中的理論模型，針對(duì)矩形指數(shù)函數(shù)展開擴(kuò)散方法和SP3方法推導(dǎo)了零階不連續(xù)因子和二階不連續(xù)因子的計(jì)算公式，通過SP3方程形式構(gòu)造偽固定源問題解決了高階輸運(yùn)方程無法提供SP3方程中二階中子通量密度的問題，并分析了壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算中應(yīng)用Pin-by-pin不連續(xù)因子的堆芯計(jì)算精度。

1 不連續(xù)因子的計(jì)算方法研究

廣義等效均勻化方法通過放寬節(jié)塊表面中子通量密度這一約束條件，來實(shí)現(xiàn)反應(yīng)率及中子泄漏率的守恒，并提出了新的節(jié)塊與節(jié)塊之間的邊界條件，即均勻化后堆芯內(nèi)界面上中子通量密度乘上不連續(xù)因子后保持連續(xù)，第i節(jié)塊第g能群的不連續(xù)因子定義式如下：

式中：f——不連續(xù)因子；s——節(jié)塊表面；——節(jié)塊非均勻中子面通量，單位（cm2·s）-1；——節(jié)塊均勻中子面通量，單位（cm2·s）-1。

在柵格計(jì)算中，由高階輸運(yùn)計(jì)算可以直接求得各個(gè)柵元各表面的非均勻中子面通量：

而柵元均勻中子面通量的計(jì)算方法則必須要與下游堆芯計(jì)算中所使用的中子學(xué)求解方法保持一致。

1.1 矩形指數(shù)函數(shù)展開擴(kuò)散方法

本文堆芯低階輸運(yùn)計(jì)算采用矩形指數(shù)函數(shù)展開節(jié)塊方法，在矩形節(jié)塊中，中子通量密度解析解取六階近似，展開方向?yàn)楦髯鴺?biāo)軸的正負(fù)方向，則：

式中：Ci——展開系數(shù)；S——中子源項(xiàng)；D——擴(kuò)散系數(shù)；Σr——移出截面；在保證右手系的前提下，。

公式(3)中的六個(gè)積分常數(shù)可由包含節(jié)塊平均中子通量密度和節(jié)塊五個(gè)邊界面上凈中子流密度（以出射流為正）在內(nèi)的六個(gè)定解條件確定。

當(dāng)堆芯中子學(xué)計(jì)算采用指數(shù)函數(shù)展開擴(kuò)散方法求解時(shí)，根據(jù)公式(3)和表面出射中子流密度的定義式，可以得到指數(shù)函數(shù)展開節(jié)塊方法內(nèi)第i節(jié)塊第g能群入射中子流密度與出射中子流密度之間的響應(yīng)關(guān)系，以u(píng)+方向?yàn)槔?/p>

式中：h——柵元長度，單位cm；out——出射中子流；in——入射中子流；——系數(shù)；S——中子源。

圖1 KAIST基準(zhǔn)題二維全堆芯布置和幾何結(jié)構(gòu)

圖2 KAIST基準(zhǔn)題二維全堆芯棒功率分布

根據(jù)菲克定律中柵元中子面通量、柵元凈中子流密度與出射入射中子流密度的關(guān)系可以得到如下關(guān)系式：

根據(jù)均勻化前后特征值、各能群反應(yīng)率及中子泄漏率守恒，則在單組件柵格計(jì)算中有如下等式：

聯(lián)立公式(5)和公式(6)：

聯(lián)立公式(1)、公式(2)和公式(7)即可求出指數(shù)函數(shù)展開擴(kuò)散方法下柵元的不連續(xù)因子。

1.2 矩形指數(shù)函數(shù)展開SP3方法

當(dāng)堆芯中子學(xué)計(jì)算采用矩形指數(shù)函數(shù)展開SP3方法求解時(shí)，通過與擴(kuò)散方法中相似的推導(dǎo)，根據(jù)均勻化前后特征值、各能群反應(yīng)率及中子泄漏率守恒，零階均勻化面通量與二階均勻化面通量表示如下：

圖3 組件均勻化粗網(wǎng)節(jié)塊計(jì)算的棒功率誤差分布

柵格非均勻一步法計(jì)算通常采用高階輸運(yùn)方法進(jìn)行計(jì)算，公式(8)和公式（9）中非均勻零階中子通量密度和零階中子流密度即為柵格輸運(yùn)計(jì)算直接獲得，但非均勻二階中子通量密度和二階中子流密度無法無法由柵格計(jì)算直接提供。根據(jù)SP3方程的形式，非均勻二階中子通量密度矩可由公式(10)計(jì)算得到。通過高階輸運(yùn)的柵格計(jì)算得到非均勻零階中子通量密度和零階中子流密度，根據(jù)公式(10)右端項(xiàng)構(gòu)造零階中子通量密度的泄漏項(xiàng)作為該方程的固定源項(xiàng)，通過求解此偽固定源問題即可近似求得非均勻二階中子通量密度和二階中子流密度。

通過偽固定源方法近似求解出柵格計(jì)算中的非均勻二階中子通量密度和二階中子流密度后，根據(jù)公式(8)和公式(9)可以求出各階柵元均勻中子面通量。需要注意的是二階面通量的數(shù)值很小，且數(shù)值有正有負(fù)，而偽固定源方法是種近似方法，若按照不連續(xù)因子的定義式(1)進(jìn)行SP3方程中二階通量的不連續(xù)因子的求解會(huì)出現(xiàn)很大的數(shù)值甚至是負(fù)值。不合理的不連續(xù)因子會(huì)導(dǎo)致全堆芯SP3方程迭代求解時(shí)的不收斂。為避免出現(xiàn)這種情況，對(duì)二階中子通量密度的不連續(xù)因子的求解關(guān)系式重新定義如下：

式中：s——節(jié)塊表面。

根據(jù)公式(1)和公式(11)可以得到SP3方程中零階和二階不連續(xù)因子，相應(yīng)地，在SP3方法進(jìn)行全堆芯Pin-by-pin計(jì)算求解時(shí)，節(jié)塊內(nèi)部邊界的耦合條件應(yīng)為（以u(píng)方向?yàn)槔?/p>

2 計(jì)算結(jié)果分析

為驗(yàn)證超級(jí)均勻化方法在壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算中的計(jì)算精度，本節(jié)以KAIST基準(zhǔn)題2A問題[7]下的二維全堆芯問題進(jìn)行驗(yàn)證與分析，堆芯布置和幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖4 堆芯Pin-by-pin擴(kuò)散計(jì)算的棒功率相對(duì)誤差分布

圖5 堆芯Pin-by-pin SP3計(jì)算的棒功率相對(duì)誤差分布

表1 堆芯兩步法計(jì)算的特征值誤差和棒功率誤差

采用堆芯Pin-by-pin計(jì)算和堆芯組件均勻化粗網(wǎng)計(jì)算兩種方案進(jìn)行堆芯計(jì)算并加以分析和比較：

（1）依據(jù)廣義等效均勻化理論模型，針對(duì)擴(kuò)散方法（P1）和簡化球諧函數(shù)方法（SP3）利用柵元不連續(xù)因子（PDF）分別產(chǎn)生兩群和七群的等效均勻化少群常數(shù)，并在指數(shù)函數(shù)展開節(jié)塊法中進(jìn)行全堆芯Pin-by-pin計(jì)算；

（2）根據(jù)傳統(tǒng)組件均勻化計(jì)算方法，產(chǎn)生兩群帶組件不連續(xù)因子（ADF）的組件等效均勻化常數(shù)并采用先進(jìn)變分節(jié)塊方法進(jìn)行堆芯計(jì)算。變分節(jié)塊方法在空間處理上直接針對(duì)中子通量密度分布進(jìn)行離散，因此不需要功率重構(gòu)過程而能直接得到中子通量密度分布，通過形狀因子的求解即可得到堆芯棒功率分布。

二維堆芯參考解由Bamboo-Lattice2.0一步法計(jì)算獲得，特征值參考解為0.97948，棒功率分布如圖2所示。堆芯兩步法計(jì)算的特征值誤差和棒功率誤差如表1所示。由表1的結(jié)果可知：堆芯Pin-by-pin SP3計(jì)算的計(jì)算精度普遍高于組件均勻化的堆芯粗網(wǎng)節(jié)塊計(jì)算；除由于誤差抵消導(dǎo)致計(jì)算精度提高的兩群擴(kuò)散計(jì)算外，堆芯Pin-by-pin擴(kuò)散計(jì)算的計(jì)算精度都低于組件均勻化的堆芯粗網(wǎng)節(jié)塊計(jì)算。因此，SP3方法是堆芯Pin-by-pin計(jì)算的必要條件；隨著能群數(shù)的增加，堆芯Pin-by-pin簡化球諧函數(shù)計(jì)算精度顯著提高。七群SP3計(jì)算中特征值誤差小于50pcm，最大棒功率相對(duì)誤差低于2%，相對(duì)棒功率誤差的AVG，MRS，MRE在1%以下；而在組件均勻化的粗網(wǎng)節(jié)塊計(jì)算中，特征值誤差為219pcm，最大棒功率相對(duì)誤差接近10%。因此，七群是適用于堆芯Pin-by-pin計(jì)算精度的能群數(shù)目。

組件均勻化粗網(wǎng)節(jié)塊計(jì)算的棒功率誤差分布如圖3所示，堆芯Pin-by-pin擴(kuò)散計(jì)算和SP3計(jì)算的棒功率相對(duì)誤差分布分別如圖4和圖5所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，最大棒功率相對(duì)誤差出現(xiàn)在組件與組件交界面以及燃料柵元與反射層交界面附近。這是堆芯內(nèi)組件真實(shí)環(huán)境與單組件計(jì)算中全反射邊界條件之間的不同所導(dǎo)致的。

3 結(jié)語

本文在壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算中采用廣義等效均勻化方法作為均勻化技術(shù)，對(duì)矩形指數(shù)函數(shù)展開擴(kuò)散方法和SP3方法推導(dǎo)了零階不連續(xù)因子和二階不連續(xù)因子的計(jì)算公式，產(chǎn)生了適用于擴(kuò)散計(jì)算和SP3計(jì)算的Pin-bypin等效均勻化參數(shù)?；贙AIST基準(zhǔn)題，分析了壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算中應(yīng)用Pin-by-pin不連續(xù)因子的堆芯計(jì)算精度，與傳統(tǒng)組件均勻化計(jì)算方法相比，應(yīng)用了廣義等效均勻化方法的壓水堆堆芯Pin-by-pin計(jì)算的計(jì)算精度更高。7群簡化球諧函數(shù)方法是高精度堆芯Pin-by-pin計(jì)算方案的實(shí)施策略，與KAIST基準(zhǔn)題一步法計(jì)算結(jié)果相比，其特征值誤差小于50pcm，最大棒功率相對(duì)誤差小于2%，相對(duì)棒功率誤差的AVG，MRS，MRE都在1%以下。