陳愛(ài)強(qiáng)

[摘要]理解和掌握不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)易錯(cuò)題型加以歸納總結(jié)，可以避免解題錯(cuò)誤，提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]不等式;易錯(cuò)點(diǎn)：剖析

[中圖分類號(hào)]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1674-6058（2020）14-0010-02

高考中常常直接或間接考查不等式的知識(shí)，題型既有選擇題也有填空題，客觀題突出對(duì)不等式性質(zhì)應(yīng)用的考查，主觀題常與其他知識(shí)如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角等進(jìn)行交匯，學(xué)生在利用不等式性質(zhì)解題時(shí)常會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，因此，有必要將各種易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行歸納、分析，以引起警惕，現(xiàn)將不等式中常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)列舉如下，

一、不等式變形導(dǎo)致的錯(cuò)誤

[例1]已知-2

錯(cuò)解：∵-2

分析：本題的錯(cuò)誤是直接去求-2n的范圍，忽視已知中的條件m

正解：∵-2

[例2]已知f（x）=ax^{2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍.}

錯(cuò)解：∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，∴l(xiāng)≤a-b≤2①，2≤a+b≤4 ②，又∵f（-2）=4a-2b，∴①+②得3/2≤a≤3，∴6≤4a≤12③，∵①+②x（-1）得-3≤-2b≤0 ④，∴③+④得3≤4a-2b≤12，∴3≤f（-2）≤12.

分析：這種解法錯(cuò)誤在于多次運(yùn)用不等式性質(zhì)時(shí)，沒(méi)有充分考慮到限制條件，即等號(hào)不能同時(shí)成立，這樣就導(dǎo)致所求的范圍擴(kuò)大了.要認(rèn)識(shí)到a與b不是相互獨(dú)立的，而是兩個(gè)相互聯(lián)系的整體，當(dāng)a取等號(hào)時(shí)b未必會(huì)取到等號(hào)，因此本題在解答過(guò)程中應(yīng)把a(bǔ)-b和a+b當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)處理，只有這樣才能得到正確的答案，

正解：令f（-2）=mf（-1）+nf（1），∴4a-2b=m（a-b）+n（a+b）=（m+n）a+（n-m）b，∴m+n=4，n-m=-2，∴m=3，n=l，∴f（-2）=3f（-1）+f（1），∴3≤3f（-1）≤b，2≤f（1）≤4，∴5≤3f（-l）+f （1）≤10，∴5≤f（-2）≤10.

二、忽視隱含條件導(dǎo)致的錯(cuò)誤

[例3]若a>b，a，b

R，比較a³-a²b+ab²與a²b-ab²+b³的大小.

三、忽視均值不等式成立的條件

[例4]求函數(shù)y=1-x-（9/x）的最值.

錯(cuò)解：∵y=1-〔x+（9/x）〕，而由均值不等式知x+9/x≥2（√9）=6，∴y≤1-6=-5，∴y_max=-5.

分析：上述解法忽視均值不等式成立的前提條件，即各項(xiàng)均為正數(shù)，實(shí)際上，由于已知沒(méi)有給出x的取值范圍，所以應(yīng)對(duì)x的取值進(jìn)行分類，即分為x>0和x<0.因此在應(yīng)用均值不等式時(shí)應(yīng)先考慮是否滿足各項(xiàng)均為正數(shù)這個(gè)前提條件.

[例5]若O

分析：這種解法忽視“和”或“積”為定值的條件，當(dāng)湊出的和為定值時(shí)，對(duì)應(yīng)各個(gè)量積有最大值;當(dāng)湊出的積為定值時(shí)，對(duì)應(yīng)各個(gè)量和有最小值，而〔（3-x）/2〕²？：不是定值，應(yīng)通過(guò)配湊法使和為定值.

[例5]求函數(shù)y=（x²+3）/√（x^{2+2）（x∈R）的最小值.}

綜合上述不等式求最值的例子，在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，需注意均值不等式的條件：“一正，二定，三相等”.

四、不等式放縮不當(dāng)導(dǎo)致的錯(cuò)誤

五、命題的不等價(jià)轉(zhuǎn)化導(dǎo)致的錯(cuò)誤

[例8]已知關(guān)于X的方程X^{2+（k-2）x+5-k=0的兩根都大于2，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.}

六、思維定式導(dǎo)致的錯(cuò)誤

[例9]求不等式x^{2+ax+1>0在-2≤a≤2恒成立的條件.}

綜上，不等式中有很多易錯(cuò)點(diǎn).在解答有關(guān)不等式問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意不等式中的隱含條件，應(yīng)用均值不等式時(shí)要注意公式成立的條件，在不等式變形過(guò)程中要注意等價(jià)變形，不能讓范圍人為變大，對(duì)一些不等式恒成立問(wèn)題，不能根據(jù)式子的表面特點(diǎn)用固定思維去分析解決，應(yīng)結(jié)合已知條件從各個(gè)方面去分析，找出題目的實(shí)質(zhì).另外，在證明不等式時(shí)，有時(shí)需要根據(jù)所要證的式子特點(diǎn)將式子適當(dāng)放大或縮小，放得過(guò)大或過(guò)小都會(huì)導(dǎo)致證明失敗，因此，當(dāng)我們?cè)谑炀氄莆詹坏仁叫再|(zhì)后，又能知曉并避免不等式中這些易錯(cuò)點(diǎn)，通過(guò)一定的練習(xí)，那么在碰到有關(guān)不等式問(wèn)題時(shí)，就能從容應(yīng)對(duì)，就不會(huì)再出現(xiàn)類似錯(cuò)誤.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）