王江榮， 劉 碩， 靳存程， 劉靜芳

(蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息處理與控制工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730060)

對(duì)高速公路路基邊坡進(jìn)行安全性監(jiān)測(cè)并根據(jù)監(jiān)測(cè)時(shí)間序列對(duì)邊坡變形準(zhǔn)確預(yù)測(cè)是有效控制其變形、科學(xué)防災(zāi)減災(zāi)的重要舉措和保障。現(xiàn)有的變形預(yù)測(cè)方法主要有：灰色理論[1-2]、自回歸移動(dòng)平均模型[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]、支持向量機(jī)[5]、參數(shù)模型[6]和非參數(shù)模型[7]等，這些方法均取得了較好的預(yù)測(cè)效果，但也存在著對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)適應(yīng)能力不強(qiáng)、對(duì)數(shù)據(jù)質(zhì)量要求高、預(yù)測(cè)精度不高等問(wèn)題；另外，這些方法在建模時(shí)未能體現(xiàn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)所蕰含的物理地質(zhì)特性，大多方法僅考慮數(shù)據(jù)本身，而當(dāng)數(shù)據(jù)質(zhì)量或數(shù)量不足及規(guī)律性較差時(shí)，往往預(yù)測(cè)精度不高。本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，提出一種基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解技術(shù)(empirical mode decomposition，EMD)[8]和自回歸移動(dòng)平均(auto regressive integrated moving average model,ARIMA)[9-10]相結(jié)合的時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，該方法首先利用EMD技術(shù)將監(jiān)測(cè)時(shí)間序列分解成頻率不等、地理物理特性不同的子序列(或稱模態(tài)分量)，這些子序列通常呈非線性及非平穩(wěn)性，適合用ARIMA模型描述和預(yù)測(cè)，然后將ARIMA模型的擬合預(yù)測(cè)結(jié)果通過(guò)線性組合(線性回歸)生成路基邊坡的水平位移或沉降位移。實(shí)證分析表明EMD-ARIMA模型具有較高的預(yù)測(cè)精度，能夠滿足工程需要。

1 基于EMD的邊坡水平位移時(shí)間序列分解

1.1 EMD簡(jiǎn)介

EMD技術(shù)是一種數(shù)據(jù)序列分解方法[11-12]，該技術(shù)能夠自適應(yīng)地將復(fù)雜非線性、非平穩(wěn)高速公路路基邊坡地表位移監(jiān)測(cè)時(shí)間序列S(t)(t=1,2,…，m,m是總監(jiān)測(cè)期數(shù))分解成若干個(gè)不同頻率的子序列即本征模態(tài)函數(shù)IMF(intrinsic mode function,IMF)和一個(gè)殘差余量r(趨勢(shì)項(xiàng)序列)。記IMFi為IMF的第i(i=1,2,…,n)個(gè)分量(即S(t)的子序列)，則IMFi包含了原地表位移時(shí)間序列不同時(shí)間尺度的物理地質(zhì)局部特征。將IMFi(i=1,2,…,n)和剩余分量r進(jìn)行疊加便得到原時(shí)間序列的重構(gòu)，即

(1)

EMD 得到的各分量IMFi(t)相對(duì)分解前的位移監(jiān)測(cè)時(shí)間序列S(t)具有更簡(jiǎn)單的波動(dòng)規(guī)律，通過(guò)分析IMFi(t)(彼此獨(dú)立)和r(t)殘差分量的頻率特征，并對(duì)不同頻率的分量分別建立ARIMA模型，可提高集成模型的預(yù)測(cè)精度。

說(shuō)明一點(diǎn)，EMD技術(shù)是根據(jù)數(shù)據(jù)列(信號(hào))本身固有的特征而自適應(yīng)分解，即從時(shí)間尺度出發(fā)，先把數(shù)據(jù)信號(hào)中特征時(shí)間尺度最小(即頻率最高)的模態(tài)函數(shù)IMF1分離出來(lái)，然后分離出特征時(shí)間尺度較大的模態(tài)函數(shù)IMF2(頻率較高)，依此下去，最后分離出特征時(shí)間尺度最大的分量即余量r(頻率最小)，而余量通常是單調(diào)函數(shù)(或不明顯存在極值)。不同的數(shù)據(jù)信號(hào)EMD分解出的模態(tài)個(gè)數(shù)不盡相同，模態(tài)個(gè)數(shù)取決于數(shù)據(jù)特征時(shí)間尺度，或受數(shù)據(jù)特征時(shí)間尺度驅(qū)動(dòng)。

1.2 數(shù)據(jù)來(lái)源及工程簡(jiǎn)介

數(shù)據(jù)來(lái)自重慶奉云高速公路K1360+500～+660段位于滑坡中部ZK2-3附近JC1-6監(jiān)測(cè)點(diǎn)的累計(jì)水平位移。該路段小里程方向接鳳凰隧道，大里程方向接孫家溝特大橋，盡管路基邊坡已采取加固措施，但因周邊工程開(kāi)挖及雨水浸蝕等影響，該段路塹路基面發(fā)生變形開(kāi)裂，后緣裂縫已發(fā)育直達(dá)橋臺(tái)基礎(chǔ)地基范圍內(nèi)，一旦裂縫出現(xiàn)持續(xù)擴(kuò)大變形，必然會(huì)造成橋臺(tái)不穩(wěn)定。圖1給出了2015年3月21日到2015年11月23日間所完成的37期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。

圖1 監(jiān)測(cè)點(diǎn)JC1-6處的累計(jì)水平位移時(shí)序圖

從圖1可看出，盡管在監(jiān)測(cè)期間對(duì)剪出口采取填土反壓及抗滑樁施工治理措施，但因受周邊工程開(kāi)挖、水文地理環(huán)境、土壤物理特性、大氣溫度、雨水等因素影響，監(jiān)測(cè)出的位移時(shí)間序列出現(xiàn)了較大的波動(dòng)性，也呈現(xiàn)出較明顯的非線性和非平穩(wěn)性，挖掘數(shù)據(jù)序列中所蘊(yùn)含的變形信息，對(duì)研究高速公路路基邊坡穩(wěn)定性具有重要意義。

1.3 EMD分解結(jié)果分析

對(duì)原始邊坡位移監(jiān)測(cè)時(shí)間序列進(jìn)行EMD分解，得到了3個(gè)IMF分量和1個(gè)殘差余量r，如圖2所示。

圖2 地表水平位移EMD分解結(jié)果

由圖2可看出，EMD技術(shù)將原始監(jiān)測(cè)時(shí)間序列自適應(yīng)地分解成4 個(gè)頻率不等的IMF 分量IMF1～I(xiàn)MF3和余量r，揭示了不同因素影響下公路路基邊坡變形的波動(dòng)特征，殘余序列r屬于低頻成分，代表了邊坡水平變形隨時(shí)間變化的總趨勢(shì)。其中，分量IMF1～I(xiàn)MF3的波動(dòng)周期性特點(diǎn)較明顯，但波動(dòng)周期非均勻且不穩(wěn)定，這種非均勻和不穩(wěn)定性反映了邊坡土體受土壤的物理性質(zhì)、地質(zhì)環(huán)境、雨水、溫度及周邊施工等因素影響其內(nèi)部結(jié)構(gòu)所發(fā)生的變化情況，非線性特點(diǎn)較明顯?？梢?jiàn)，各模態(tài)IMF分量揭示了蘊(yùn)含在邊坡變形數(shù)據(jù)序列中的物理地質(zhì)特性(或特征)，且除了序列IMF1曲線外，其他分量的變化曲線較原序列曲線( 如圖1所示) 要光滑和平穩(wěn)，這有助于提高ARIMA模型對(duì)邊坡變形分析與預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確度。

2 ARIMA模型介紹

ARIMA(p,d,q)模型是建立在差分運(yùn)算基礎(chǔ)上的自回歸移動(dòng)平均ARMA 模型(其中p,q分別是自回歸模型AR和移動(dòng)平均模型MA的階數(shù)，d為差分階數(shù))。因ARMA模型適用于平穩(wěn)非白噪聲時(shí)間序列的擬合預(yù)測(cè)分析，所以當(dāng)時(shí)間序列非平穩(wěn)時(shí)應(yīng)進(jìn)行差分運(yùn)算使其平穩(wěn)化。對(duì)于平穩(wěn)時(shí)間序列{yt}(t表示時(shí)間，yt表示序列值)可建立自回歸移動(dòng)平均ARMA(p,q)模型：

yt=φ0+φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+

ξt-θ1ξt-1-θ2ξt-2-…-θpξt-p

(2)

式中：φ0是模型的常數(shù)項(xiàng)；φ1,…φp是自回歸模型AR(p)的系數(shù)；θ1，θ2，…，θp是移動(dòng)平均模型MA(q)的系數(shù)；ξt,ξt-1,…,ξt-p是時(shí)間t,t-1,…,t-q的隨機(jī)誤差。

當(dāng)θ1=θ2=…=θp=0時(shí)，模型(2)成為自回歸模型AR(p)：

yt=φ0+φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+ξt

(3)

當(dāng)φ0=φ1=…=φp=0時(shí)，模型(2)為移動(dòng)平均模型MA(q)：

yt=ξt-θ1ξt-1-θ2ξt-2-…-θpξt-p

(4)

模型的具體形式，可以借助模型統(tǒng)計(jì)特性來(lái)識(shí)別(稱作人為識(shí)別法)。

借助AIC或BIC信息準(zhǔn)則法識(shí)別模型，即分別計(jì)算AR(p)、MA(q)及ARMA(p,q)的AIC值(p,q=0,1,2,…,5)，以最小的AIC值或BIC值所對(duì)應(yīng)的模型為選定模型[13]。考慮到AR(p)模型是線性方程估計(jì)，而MA和ARMA模型是非線性估計(jì)(參數(shù)估計(jì)較因難)，故在實(shí)際建模時(shí)可用高階(取較大的p值)AR模型替代MA或ARMA模型[14]。

3 EMD-ARIMA模型預(yù)測(cè)

3.1 模型預(yù)測(cè)流程

由圖2知，IMF1是高頻且伴有突變現(xiàn)象的時(shí)間序列，這與邊坡位移的漸變性相悖,可將其視為噪聲信號(hào)，在建模時(shí)可不予考慮，而其他分量即IMF2、IMF3及余量r則漸趨平緩且光滑，可視為反映邊坡位移的真實(shí)信號(hào);其中序列r可看作理想的邊坡位移量，它較好地反映了邊坡位移變化的趨勢(shì)。將去掉高頻后的IMF2+IMF3+r看成逼近實(shí)際邊坡位移的信號(hào)，為了提高逼近能力和逼近水平，采用IMF2、IMF3及r的線性組合即下面的表達(dá)式：

(5)

圖3 EMD-ARIMA模型預(yù)測(cè)流程

3.2 預(yù)測(cè)過(guò)程

基本思路：選用前32期的原始監(jiān)測(cè)水平位移構(gòu)建EMD-ARIMA模型，然后再對(duì)后5期的水平位移進(jìn)行預(yù)測(cè)。具體如下：

步驟一，分別建立模態(tài)分量IMF2、IMF3及余量r的擬合模型AMMA(p，q)，對(duì)模型的階數(shù)p和q按相對(duì)最優(yōu)模型識(shí)別法確定，即計(jì)算模型ARMA(p,q)所有p和q(p，q均小于等于5)組合的AIC信息量，取其中使信息量AIC達(dá)到最小的p和q為模型的階數(shù)。本著易操作和盡可能使模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化，在不影響精度的前提下，經(jīng)試算IMF2、IMF3及余量r的擬合模型結(jié)構(gòu)設(shè)定成ARMA(4,0)時(shí)均取得了理想效果(擬合精度很高)，此時(shí)模型變成自回歸模型AR(4)。

步驟二，將IMF2、IMF3及余量r時(shí)間序列導(dǎo)入EViews軟件[15]，在“Equation Specification”命令窗口按模型結(jié)構(gòu)輸入待估參數(shù)(按規(guī)定格式輸入)，然后選擇“LS-Least Squares(NLS and ARMA)”并執(zhí)行運(yùn)算，輸出模型參數(shù)(含常數(shù)項(xiàng))及模型性能指標(biāo)。由參數(shù)估計(jì)得到3個(gè)自回歸模型 AR(4)如下：

IMF2的擬合模型，

yt=0.419 038+2.708 109yt-1-3.416 578yt-2

+2.319 444yt-3-0.704 687yt-4

(6)

IMF3的擬合模型，

yt=-0.006 059+3.402 036yt-1-4.631 039yt-2

+2.982 214yt-3-0.774 002yt-4

(7)

r余量的擬合模型，

yt=21.033 59+3.854 744yt-1-5.621 552yt-2

+3.676 619yt-3-0.910 097yt-4

(8)

相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表1。數(shù)據(jù)表明3個(gè)模型的擬合效果是極顯著的。

表1 3個(gè)模型檢驗(yàn)結(jié)果

步驟三，構(gòu)建EMD-ARIMA預(yù)測(cè)模型。即

(9)

1.014 526·Yimf3(t)+1.022 983·Yr(t)

(10)

模型檢驗(yàn):決定系數(shù)(擬合優(yōu)度)R2=0.973 7，調(diào)整后的決定系數(shù)R′2=0.971 3，均方根誤差RMSE=1.867 6，殘差平方和SSE=129.06，MAPE=0.195 6，表明該模型擬合效果是極顯著的，可以用于后期邊坡水平位移預(yù)測(cè)。

利用步驟二中的式(6)、式(7)及式(8)對(duì)后5期即33～37期的模態(tài)分量IMF2、IMF3和余量r分別預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)值代入式(9)得后5期的邊坡水平位移量，預(yù)測(cè)值見(jiàn)表2。EMD-ARIMA模型的擬合預(yù)測(cè)效果及殘差見(jiàn)圖4。

表2 預(yù)測(cè)結(jié)果及比較

圖4 EMD-ARMA模型的擬合預(yù)測(cè)效果及殘差圖

由表2知預(yù)測(cè)值的最大絕對(duì)誤差為1.778 2 mm，最小絕對(duì)誤差為0.361 3 mm,平均絕對(duì)誤差為1.156 0 mm，說(shuō)明模型具有很高的預(yù)測(cè)精度，即外推能力強(qiáng)，能夠滿足工程需要。

作為對(duì)比，再給出下面兩種形式的預(yù)測(cè)模型：

(1)不采取EMD分解技術(shù)，直接利用前32期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立ARIMA模型，借助AIC信息準(zhǔn)則識(shí)別法將模型結(jié)構(gòu)確定為ARIMA(2,1,2),即有:

yt=13.051 16+1.885 423yt-1-0.912 305yt-2

+ξt+0.969 266ξt-1-0.288 398ξt-2

(11)

式(11)對(duì)后5期的預(yù)測(cè)結(jié)果為(29.515 4，35.150 1，39.451 8，41.166 7，42.139 7)，預(yù)測(cè)值的最大絕對(duì)誤差為4.694 6 mm，最小絕對(duì)誤差為0.358 2

mm,平均絕對(duì)誤差為1.937 2 mm。

(2)不采取EMD分解技術(shù)，直接利用前32期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立AR(4)模型(AR(p)，p≥5時(shí)模型精度沒(méi)有得到改善)，即有:

yt=13.739 48+1.091 022yt-1-0.179 053yt-2

+0.626 871t-3-0.605 78t-4

(12)

式(12)對(duì)后5期的預(yù)測(cè)結(jié)果為(30.524 1，36.026 0，37.229 5，42.666 5，42.314 7)，預(yù)測(cè)值的最大絕對(duì)誤差為3.685 9 mm，最小絕對(duì)誤差為1.076 5 mm,平均絕對(duì)誤差為2.100 5 mm。

綜上分析知EMD-ARIMA預(yù)測(cè)模型高于ARIMA(2,1,2)模型和AR(4)模型，為路基邊坡變形預(yù)測(cè)分析提供了一種新思路和新方法。另外，重慶奉云高速公路K1360+500～+660路段邊坡在2015年8月之前，累積水平位移為34.21 mm，變形不斷加劇。而在2015年8月之后，由于采取了剪出口填土反壓及抗滑樁施工治理，截止2015年11月23日，累積水平位移為43.42 mm，這段期間的水平變形增加量9.21 mm，變形趨于穩(wěn)定，滑坡處于基本穩(wěn)定狀態(tài)。

為進(jìn)一步驗(yàn)證EMD-ARIMA預(yù)測(cè)模型的有效性，以1～25期的原始監(jiān)測(cè)水平位移量建模并對(duì)26～37期的水平位移量進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 EMD-ARIMA模型對(duì)后12期的預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差分析

續(xù)表

由表3知預(yù)測(cè)值的最大絕對(duì)誤差為3.547 3 mm，最小絕對(duì)誤差為0.070 3 mm,平均絕對(duì)誤差為1.493 4 mm，說(shuō)明模型具有較高的預(yù)測(cè)精度，即外推能力強(qiáng)，能夠滿足工程需要。

說(shuō)明一點(diǎn)，本文雖然僅以重慶奉云高速公路K1360+500～+660段監(jiān)測(cè)點(diǎn)JC1-6的時(shí)間序列驗(yàn)證了EMD-ARIMA模型的有效性，但對(duì)其他監(jiān)測(cè)點(diǎn)同樣適用，限于篇幅不再討論。

4 結(jié)束語(yǔ)

路基邊坡土體易受土壤物理地質(zhì)現(xiàn)象、雨水、氣溫及周邊環(huán)境等因素影響會(huì)發(fā)生不同程度的變形，而對(duì)邊坡土體實(shí)施監(jiān)測(cè)并以此預(yù)測(cè)未來(lái)的變形是預(yù)防和有效控制變形的重要手段。實(shí)例分析表明“分解-建模-預(yù)測(cè)-合成”的建模方法(例如EMD-ARIMA)能有效提高模型的預(yù)測(cè)精度，具有借鑒意義;另外，該模型還適用于圍巖變形、路基沉降及大壩變形等領(lǐng)域。