宮鳳強(qiáng)，王天成，黃天朗

(1.中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410083；2.東南大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇南京，211189)

在工程可靠度分析中，工程隨機(jī)參數(shù)的最優(yōu)概率密度或分布函數(shù)模型直接影響可靠度結(jié)果的準(zhǔn)確性[1-2]，因此，對(duì)最優(yōu)概率模型推斷方法的研究始終是一項(xiàng)基礎(chǔ)性工作[3-4]。在很多工程可靠度領(lǐng)域，經(jīng)常遇到大量的極值型參數(shù)。所謂極值型參數(shù)，主要是考慮一系列最大(小)值參數(shù)，如建(構(gòu))筑物抗震設(shè)計(jì)中需要考慮的年最大地震荷載、海洋巖土工程中需要考慮的年最大風(fēng)荷載等。當(dāng)采用可靠度方法分析上述參數(shù)時(shí)，獲取它們的最佳概率分布函數(shù)是首要步驟。目前，很多學(xué)者通常采用極值型分布對(duì)該類(lèi)參數(shù)進(jìn)行擬合檢驗(yàn)。例如，張延年等[5]統(tǒng)計(jì)了中國(guó)159 個(gè)代表性城市在1951—2008年的歷年最大風(fēng)速，選取Gumbel(極值Ⅰ型)分布進(jìn)行擬合分析；李凱平等[6]利用極值Ⅲ型分布擬合地震烈度；程思軍[7]利用現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)局部腐蝕鋼筋的最大腐蝕深度進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)，揭示Gumbel 分布可作為局部腐蝕鋼筋的最大腐蝕深度概率模型。另外，一些研究者認(rèn)為其他經(jīng)典分布(正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布等)也可以用于擬合極值型參數(shù)的概率模型，如莫華美[8]研究最大積雪深度的概率分布時(shí)，認(rèn)為對(duì)數(shù)正態(tài)分布代替極值Ⅰ型分布更具優(yōu)越性；段忠東等[9]認(rèn)為極值風(fēng)速的最優(yōu)分布為威布爾分布。從上述研究可知，極值型參數(shù)的最優(yōu)概率分布并不一定是極值型分布，但是均從經(jīng)典分布范圍中選取。這種擬合方法存在以下2個(gè)不易解決的根本問(wèn)題：1)區(qū)間不匹配。經(jīng)典分布的定義區(qū)間一般為無(wú)限區(qū)間或半無(wú)限區(qū)間，但極值型工程參數(shù)的分布區(qū)間為有限數(shù)值區(qū)間，因此，利用經(jīng)典分布擬合此類(lèi)參數(shù)時(shí)在理論上無(wú)法滿(mǎn)足累積概率等于1的要求。2)經(jīng)典分布無(wú)法反映工程參數(shù)實(shí)際分布的隨機(jī)波動(dòng)性。經(jīng)典分布均為單峰值型分布，但極值型工程參數(shù)的分布可能存在多個(gè)峰值，呈現(xiàn)一定波動(dòng)性，因此，發(fā)展能夠滿(mǎn)足有限區(qū)間上累積概率等于1并能夠體現(xiàn)實(shí)際分布隨機(jī)波動(dòng)性的概率分布推斷方法十分必要。在這方面，很多專(zhuān)家提出了很多種推斷方法。如蘇永華等[10]提出了利用一般多項(xiàng)式推斷巖土參數(shù)概率分布的方法；LI等[4]提出了正交多項(xiàng)式方法；張道兵等[11]運(yùn)用最大熵原理估計(jì)了隧道襯砌結(jié)構(gòu)參數(shù)的密度函數(shù)；李松輝[12]引入了車(chē)輛荷載效應(yīng)的截尾分布模型。此外，HUANG等[13]在自然災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)分析中引入了信息擴(kuò)散理論，目前該方法在巖土工程中得到了廣泛應(yīng)用。宮鳳強(qiáng)等[14]利用正態(tài)信息擴(kuò)散方法推斷了小樣本巖土參數(shù)的概率分布，取得了較好的擬合效果。周道成等[15]用正態(tài)信息擴(kuò)散方法確定了河冰抗壓強(qiáng)度概率分布，證明了正態(tài)信息擴(kuò)散分布更加接近河冰抗壓強(qiáng)度的真實(shí)分布，并優(yōu)于經(jīng)典分布的擬合方法；徐志軍等[16]基于正態(tài)信息擴(kuò)散理論，擬合了路基沉降的概率分布，并通過(guò)工程實(shí)例驗(yàn)證了此方法的正確性和有效性；黃達(dá)等[17-18]將正態(tài)信息擴(kuò)散原理廣泛用于推斷巖體抗剪強(qiáng)度參數(shù)、巖體質(zhì)量參數(shù)和粗粒土參數(shù)的單變量邊緣分布，取得了良好效果；宮鳳強(qiáng)等[19]利用正態(tài)信息擴(kuò)散方法研究了Mohr-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)概率模型推斷方法，其概率分布更加接近參數(shù)的實(shí)際分布規(guī)律。根據(jù)上述研究，本文作者提出基于正態(tài)信息擴(kuò)散原理的極值型工程參數(shù)概率分布的推斷方法，并考察該方法是否滿(mǎn)足上述2個(gè)根本條件。在研究過(guò)程中，以樣本個(gè)數(shù)分別為25和61的年最大標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓樣本和內(nèi)摩擦角樣本為例，分別采用正態(tài)信息擴(kuò)散分布和Gumbel 分布進(jìn)行擬合，對(duì)比分析2種分布擬合所得結(jié)果的優(yōu)良性。在此基礎(chǔ)上，利用模擬樣本，考察樣本個(gè)數(shù)對(duì)擬合精度的影響，并將正態(tài)信息擴(kuò)散分布應(yīng)用于2組核管道最大腐蝕深度的預(yù)測(cè)。

1 極值分布理論

極值理論研究的主要問(wèn)題是極大(小)值的極限分布問(wèn)題，是統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)中的重要分支。設(shè)X1，X2，…，Xn為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F(x)(稱(chēng)為底分布)，對(duì)自然數(shù)n，令Mn=max{X1,X2,…,Xn}，mn=min{X1,X2,…,Xn}，分別表示n個(gè)隨機(jī)變量的最大值與最小值，則[20]

若已知分布函數(shù)F(x)，則可以根據(jù)式(1)和(2)精確求出最大值和最小值的分布函數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)用中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)往往是未知的，因此，很難直接用于統(tǒng)計(jì)分析。為求得原始樣本的分布函數(shù)，必須考慮n→∞時(shí)分布函數(shù)的情況即極值漸進(jìn)分布，簡(jiǎn)稱(chēng)極值型分布。

極值統(tǒng)計(jì)理論已經(jīng)證明對(duì)于3種類(lèi)型的連續(xù)型隨機(jī)變量原始分布，根據(jù)其分布尾部的不同形式，當(dāng)n→∞時(shí)，其極限分布只有3種類(lèi)型，包括極值Ⅰ型(Gumbel)分布、極值Ⅱ型(Frechet)分布、極值Ⅲ型(Weibull)分布。其中，Gumbel 分布的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)表達(dá)式見(jiàn)式(3)和(4)，其他2種分布的概率函數(shù)表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)[20]。

2 正態(tài)信息擴(kuò)散原理

設(shè)隨機(jī)變量O的概率密度函數(shù)為f(x)，定義μ(x)在(-∞,+ ∞)上的1個(gè)波雷爾可測(cè)函數(shù)，Δn為常數(shù)且大于0，則稱(chēng)[13]

為總體密度f(wàn)(x)的1 個(gè)擴(kuò)散估計(jì)；μ(x)為擴(kuò)散函數(shù)；Δn為總體密度f(wàn)(x)的窗寬；n為隨機(jī)變量的樣本數(shù)；xi為樣本觀(guān)測(cè)值。根據(jù)信息擴(kuò)散過(guò)程，μ(x)由下式確定：

式(6)滿(mǎn)足式(5)對(duì)擴(kuò)散函數(shù)的要求，且與概率論中正態(tài)分布的密度函數(shù)形式一致，稱(chēng)為正態(tài)信息擴(kuò)散函數(shù)。將式(5)和式(6)聯(lián)合求解，則隨機(jī)變量O的概率密度函數(shù)f(x)的正態(tài)信息擴(kuò)散估計(jì)為

3 截尾區(qū)間確定方法和實(shí)例樣本

Gumbel 分布函數(shù)的定義區(qū)間一般為(-∞,+ ∞)，而樣本工程物理力學(xué)參數(shù)的取值通常大于0 且其范圍為有限區(qū)間。當(dāng)用Gumbel 分布函數(shù)擬合這些數(shù)據(jù)時(shí)，必然存在區(qū)間不匹配問(wèn)題。為了解決這個(gè)問(wèn)題，基于“3σ”統(tǒng)計(jì)原則并考慮Gumbel 分布的不對(duì)稱(chēng)性，確定采用考慮偏度c的“3σ”分布區(qū)間截尾方法，具體的區(qū)間截尾公式見(jiàn)表1。

表1 截尾區(qū)間確定方法Table 1 Truncated interval determination method

選擇高大釗[22]列舉的年最大標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓和張蕾等[23]列舉的內(nèi)摩擦角這2 種工程參數(shù)為例進(jìn)行研究，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

為了后續(xù)擬合檢驗(yàn)計(jì)算的需要，對(duì)實(shí)際工程樣本參數(shù)(如最值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及偏度)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并計(jì)算相應(yīng)的截尾區(qū)間左、右端點(diǎn)值，具體結(jié)果見(jiàn)表3。

4 2 種方法所得概率分布的對(duì)比分析

為了對(duì)比正態(tài)信息擴(kuò)散分布與Gumbel 分布的擬合效果，從概率分布曲線(xiàn)、K-S檢驗(yàn)值和累積概率3個(gè)方面進(jìn)行具體分析。

4.1 概率分布曲線(xiàn)對(duì)比

圖1(a)和圖1(b)所示分別為2 組實(shí)際工程樣本的累積概率分布曲線(xiàn)。從圖1(a)可見(jiàn)：NID累積概率分布曲線(xiàn)與Gumbel 累積概率分布曲線(xiàn)在前半段幾乎重合；在后半段，NID累積概率分布曲線(xiàn)完全沿著經(jīng)驗(yàn)分布折線(xiàn)的變化趨勢(shì)延伸，而Gumbel 累積概率分布曲線(xiàn)與經(jīng)驗(yàn)分布折線(xiàn)的偏差較大。圖2(a)和圖2(b)所示分別為2組實(shí)際工程樣本的概率密度函數(shù)曲線(xiàn)。從圖2(a)可見(jiàn)，年最大標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓樣本的直方圖反映了實(shí)際分布具有很大的波動(dòng)性，而Gumbel 分布曲線(xiàn)呈單峰值型分布，顯然無(wú)法很好地刻畫(huà)實(shí)際分布的波動(dòng)特性；NID概率密度分布曲線(xiàn)具有多峰值特點(diǎn)，更加貼近直方圖的分布趨勢(shì)。同理，對(duì)圖2(b)的分析結(jié)果類(lèi)似。綜上分析可知NID概率密度分布比Gumbel分布更優(yōu)。

4.2 K-S檢驗(yàn)值和累積概率對(duì)比

表4 所示為2 組實(shí)際工程樣本的K-S 檢驗(yàn)值計(jì)算結(jié)果。根據(jù)K-S檢驗(yàn)方法的特點(diǎn)，對(duì)2種工程參數(shù)的分布檢驗(yàn)均在顯著性水平為0.05(置信水平為95%)時(shí)進(jìn)行。從表4 可見(jiàn)：在同一置信水平下，2組樣本的K-S 檢驗(yàn)法臨界值分別為0.264 0 和0.174 0；NID 分布檢驗(yàn)值的計(jì)算結(jié)果分別為0.127 2和0.043 8，而Gumbel分布檢驗(yàn)值的計(jì)算結(jié)果分別為0.132 4 和0.054 5。顯然，這2 組樣本中NID 分布和Gumbel 分布的檢驗(yàn)結(jié)果均通過(guò)臨界值檢驗(yàn)，但Gumbel 分布的檢驗(yàn)值均比NID 分布的檢驗(yàn)值高，這表明NID分布具有更優(yōu)的擬合效果。

表2 實(shí)際工程樣本數(shù)據(jù)Table 2 Sample data of actual engineering

表3 樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)信息Table 3 Statistical information of sample data

圖1 實(shí)際工程樣本的概率分布函數(shù)曲線(xiàn)比較Fig.1 Comparison of probability distribution function curves for actual engineering samples

圖2 實(shí)際工程樣本的概率密度函數(shù)曲線(xiàn)比較Fig.2 Comparison of probability density function curves for actual engineering samples

表4 實(shí)際工程樣本K-S檢驗(yàn)值和累積概率計(jì)算結(jié)果Table 4 Calculation results of K-S test values and cumulative probability for actual engineering samples

從表4還可見(jiàn)：根據(jù)確定后的截尾區(qū)間計(jì)算整個(gè)區(qū)間上的累積概率，對(duì)于Gumbel 分布，2 個(gè)實(shí)例樣本所得到的累積概率分別為0.997 2和0.995 7，而NID 分布的累積概率均為1.000 0。上述結(jié)果表明在截尾區(qū)間下，Gumbel 分布無(wú)法滿(mǎn)足累積概率等于1的先決條件。

5 樣本個(gè)數(shù)對(duì)2 組分布擬合精度的影響

在實(shí)際工程中，所獲得的樣本很多都是小樣本，很難考察不同樣本個(gè)數(shù)對(duì)上述2種擬合方法在擬合精度上的影響。為了研究樣本個(gè)數(shù)對(duì)2種分布擬合精度的影響，基于Monte-Carlo 方法抽取不同個(gè)數(shù)的樣本，分別利用上述2種分布進(jìn)行擬合，并根據(jù)K-S 檢驗(yàn)值與累積概率2 種指標(biāo)，評(píng)判2 種分布的擬合效果。

5.1 模擬樣本的生成

以年最大標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓樣本為例，并以α=0.001 5和β=17 602.505 8(即9 602.505 8+8 000)的Gumbel分布函數(shù)作為母函數(shù)，利用Monte-Carlo 方法生成8 組樣本，個(gè)數(shù)分別為 15，20，30，50，100，200，500 和1 000。表5 所示為模擬樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果(由于生成的模擬數(shù)據(jù)較多，文中沒(méi)有給出具體的模擬樣本數(shù)據(jù))。

5.2 概率分布的擬合優(yōu)良性檢驗(yàn)

以樣本個(gè)數(shù)分別為15，50，200 和1 000 的4組模擬樣本為例進(jìn)行說(shuō)明，繪制概率分布函數(shù)曲線(xiàn)，見(jiàn)圖3。從圖3 可以看出：不論樣本個(gè)數(shù)較少還是較多，相對(duì)于Gumbel 分布曲線(xiàn)，NID 分布曲線(xiàn)和經(jīng)驗(yàn)分布曲線(xiàn)都更加接近。圖3所示概率概率分布曲線(xiàn)還表明：不論樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際分布完全符合經(jīng)典分布還是有一定的波動(dòng)性，正態(tài)信息擴(kuò)散方法均可以很好地刻畫(huà)樣本的實(shí)際分布。

參考4.2節(jié)的檢驗(yàn)對(duì)比過(guò)程，得出模擬數(shù)據(jù)的K-S 檢驗(yàn)值和累積概率的計(jì)算結(jié)果，見(jiàn)表6。從表6 可見(jiàn)：對(duì)于每一組模擬樣本而言，NID 分布和Gumbel 分布均通過(guò)了置信水平為95%的臨界值檢驗(yàn)，但Gumbel 分布的檢驗(yàn)結(jié)果均大于NID 分布的檢驗(yàn)結(jié)果，這說(shuō)明在不同的樣本個(gè)數(shù)下，NID分布的擬合優(yōu)良性更佳。此外，在截尾區(qū)間下，Gumbel 分布的累積概率始終小于1.000 0，但NID分布的累積概率恒等于1.000 0，并不受樣本個(gè)數(shù)變化的影響。

根據(jù)表6 繪制模擬樣本個(gè)數(shù)遞增下Gumbel 分布與NID 分布的K-S 檢驗(yàn)值變化曲線(xiàn)，如圖4 所示。從圖4 可見(jiàn)：在樣本個(gè)數(shù)遞增時(shí)，臨界值和NID 分布的檢驗(yàn)值均逐漸遞減并趨于收斂，而Gumbel 分布的檢驗(yàn)值在n=20 和n=500 的點(diǎn)附近存在先增后減的情況，即存在一定波動(dòng)性。

同樣，根據(jù)表6中的數(shù)據(jù)繪制模擬樣本個(gè)數(shù)遞增下Gumbel 分布與NID 分布的累積概率變化曲線(xiàn)，如圖5 所示。由圖5 可知：在樣本個(gè)數(shù)遞增時(shí)，Gumbel 分布的累積概率波動(dòng)范圍較大且毫無(wú)規(guī)律性，而NID 分布的累積概率始終為1.000 0，與樣本個(gè)數(shù)的變化無(wú)關(guān)。

6 工程應(yīng)用：核管道最大腐蝕深度的預(yù)測(cè)

為了進(jìn)一步說(shuō)明正態(tài)信息擴(kuò)散分布推斷方法的可行性與有效性，以2個(gè)核管道腐蝕深度的預(yù)測(cè)問(wèn)題作為工程實(shí)例進(jìn)行對(duì)比分析[24-25]。

1)某被腐蝕核管道在一定時(shí)間內(nèi)的平面觀(guān)測(cè)深度實(shí)測(cè)值分別為2.82，2.96，3.08，3.09，3.18，3.19，3.22，3.32，3.33，3.52，3.58，3.61，3.62，3.95 和4.12 mm。周?chē)?guó)強(qiáng)等[26]認(rèn)為其分布符合極值Ⅱ型分布并預(yù)測(cè)該核管道最大腐蝕深度為4.840 3 mm。用正態(tài)信息擴(kuò)散分布擬合該組數(shù)據(jù)并計(jì)算相應(yīng)的K-S 檢驗(yàn)值，結(jié)果顯示：極值Ⅱ型分布的檢驗(yàn)結(jié)果(即以核管道最大腐蝕深度為變量的檢測(cè)結(jié)果，量綱一參數(shù))為0.115 0，NID分布的檢驗(yàn)結(jié)果為0.106 4。這2 種分布的檢驗(yàn)值均小于臨界值0.338 0，顯然，上述分布均通過(guò)了臨界值檢驗(yàn)。根據(jù)張博庭[27]提出的有限比較法可知，極值Ⅱ型分布的有限比較結(jié)果大于NID 分布的有限比較結(jié)果，這說(shuō)明NID分布更適合作為此核管道腐蝕深度的概率分布。以NID 分布作為最大腐蝕深度的預(yù)測(cè)模型，計(jì)算得到該核管道最大腐蝕深度為4.284 9 mm。由此可知：選擇擬合效果更好的NID分布作為預(yù)測(cè)模型，其最大腐蝕深度的預(yù)測(cè)結(jié)果會(huì)更加精確。

表5 年最大標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓的模擬數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)信息Table 5 Statistical information for simulated data of annual maximum standard wind pressure

圖3 模擬樣本的概率分布函數(shù)曲線(xiàn)隨樣本個(gè)數(shù)增加的比較Fig.3 Comparison of probability distribution function curves for simulated samples with the increase of sample numbers

圖4 模擬樣本的K-S檢驗(yàn)值隨樣本個(gè)數(shù)增加的比較Fig.4 Comparison of K-S test values for simulated samples with the increase of sample numbers

圖5 模擬樣本的累積概率隨樣本個(gè)數(shù)增加的比較Fig.5 Comparison of cumulative probability values for simulated samples with increase of sample numbers

為了更加清晰地看出NID 分布的擬合效果，繪制NID 分布和極值Ⅱ型分布的擬合曲線(xiàn)，如圖6所示。由圖6 可知：極值Ⅱ型分布的累積概率未達(dá)到1，而NID 分布的累積概率為1，這說(shuō)明NID 分布函數(shù)能夠較好地?cái)M合核管道腐蝕深度的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布。圖7 所示為NID 分布與極值Ⅱ型分布的累積概率偏差的變化情況。從圖7可明顯看出：NID分布的最大偏差小于極值Ⅱ型分布的最大偏差，避免了局部偏差過(guò)大的情況，這表明NID 分布能夠更好地?cái)M合真實(shí)分布；另外，核管道腐蝕深度模型的優(yōu)化能夠更好地提高最大腐蝕深度的預(yù)測(cè)精度。

圖6 實(shí)例1的NID分布和極值Ⅱ型分布擬合曲線(xiàn)Fig.6 Fitting curves of NID and extremum Ⅱ-type distributions for example 1

圖7 實(shí)例1的擬合誤差折線(xiàn)Fig.7 Fitting error poly-lines for example 1

2)某核電站設(shè)冷水系統(tǒng)除淤管道不銹鋼部分運(yùn)行1 a后的超聲測(cè)量厚度，在同一條件下，其實(shí)測(cè)值分別為 2.9，3.7，3.9，3.9，4.6，4.7，4.8，5.0，5.4，5.5，5.7，5.9，6.0，6.3，6.3，7.0 和8.1 mm。周?chē)?guó)強(qiáng)等[26]認(rèn)為其分布符合極值Ⅲ型分布并預(yù)測(cè)該核管道最大腐蝕深度為9.3 mm。按照實(shí)例1 的計(jì)算過(guò)程，進(jìn)行K-S 檢驗(yàn)值計(jì)算，結(jié)果顯示：極值Ⅲ型分布的管道不銹鋼部分腐蝕深度檢驗(yàn)結(jié)果為0.120 1，NID分布的檢驗(yàn)結(jié)果為0.085 9。這2 種分布的檢驗(yàn)值均小于臨界值0.318 0。同理，這2種分布均通過(guò)了K-S檢驗(yàn)，但極值Ⅲ型分布的有限比較結(jié)果大于NID 分布的比較結(jié)果。顯然，NID分布比極值Ⅲ型分布更適合作為此核管道腐蝕深度的概率分布。利用NID 分布預(yù)測(cè)該核管道最大腐蝕深度為8.7 mm，表明由極值Ⅲ型分布預(yù)測(cè)的最大腐蝕深度比NID分布的大。與實(shí)例1進(jìn)行比較可得出同樣的結(jié)論，即選擇擬合效果更好的NID分布作為預(yù)測(cè)模型，其最大腐蝕深度的預(yù)測(cè)結(jié)果會(huì)更加精確。

同理，繪制該樣本的NID 分布和極值Ⅲ型分布的擬合曲線(xiàn)圖，如圖8 所示(其中，極值變量指核管道最大腐蝕深度)。由圖8 可知：核管道腐蝕深度樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)大致分布在NID分布曲線(xiàn)的兩側(cè)，表明NID分布有較好的擬合效果。圖9所示為該樣本的擬合誤差折線(xiàn)圖。從圖9可知：極值Ⅲ型分布的最大偏差大于NID 分布的最大偏差，說(shuō)明NID分布更加接近真實(shí)分布。

圖8 實(shí)例2的NID分布和極值Ⅲ型分布擬合曲線(xiàn)Fig.8 Fitting curves of NID and extremum Ⅲ-type distributions for example 2

圖9 實(shí)例2的擬合誤差折線(xiàn)Fig.9 Fitting error poly-lines for example 2

7 結(jié)論

1)利用正態(tài)信息擴(kuò)散分布和極值型分布分別對(duì)年最大標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓和內(nèi)摩擦角2組工程樣本進(jìn)行擬合，正態(tài)信息擴(kuò)散分布的K-S 檢驗(yàn)值比極值Ⅰ型(Gumbel)分布的K-S檢驗(yàn)值??；正態(tài)信息擴(kuò)散分布的累積概率等于1，而Gumbel 分布的累積概率小于1。正態(tài)信息擴(kuò)散分布的曲線(xiàn)能夠更好地反映真實(shí)樣本的直方圖或經(jīng)驗(yàn)分布折線(xiàn)的波動(dòng)變化。

2)在不同樣本個(gè)數(shù)下，正態(tài)信息擴(kuò)散分布與Gumbel 分布均通過(guò)了K-S 檢驗(yàn)，但正態(tài)信息擴(kuò)散分布的檢驗(yàn)值均低于Gumbel 分布的檢驗(yàn)值。隨著樣本個(gè)數(shù)增加，正態(tài)信息擴(kuò)散分布的K-S檢驗(yàn)結(jié)果具有更快的收斂速度和更好的收斂穩(wěn)定性；正態(tài)信息擴(kuò)散分布的累積概率始終等于1，并不受樣本個(gè)數(shù)的影響，而Gumbel 分布的累積概率有較大的波動(dòng)范圍并恒小于1。

3)正態(tài)信息擴(kuò)散分布預(yù)測(cè)模型比極值Ⅱ型分布或極值Ⅲ型分布的模型精度更高；由正態(tài)信息擴(kuò)散分布預(yù)測(cè)的最大腐蝕深度比極值Ⅱ型分布或極值Ⅲ型分布的預(yù)測(cè)結(jié)果更加精確。

4)正態(tài)信息擴(kuò)散方法在推斷極值型工程參數(shù)的概率密度函數(shù)方面具有分布參數(shù)唯一、計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便、累積概率恒定、擬合檢驗(yàn)值低、對(duì)樣本個(gè)數(shù)適應(yīng)性強(qiáng)的特點(diǎn)。