羅振國

(福建省泉州市石獅第一中學(xué)，福建 泉州 362700)

電容器是電路中比較常見的元件,也是電磁學(xué)的重要研究對象.高考試題對電容器的考查也非常重視．筆者認(rèn)真歸納了近年來的高考試題,發(fā)現(xiàn)命題人對電容器的考查方式在悄然改變,已經(jīng)從電容器的構(gòu)造原理、電路總帶電狀態(tài)分析和帶電粒子在平行板電容中的運(yùn)動(dòng)等常規(guī)模式中解放出來,獨(dú)辟蹊徑地考查了電容器充放電過程中的動(dòng)力學(xué)分析和能量分析．試題將力學(xué)與電磁學(xué)結(jié)合起來,對考生的思維能力提出了很高的要求．下面隨筆者一起來重溫這些經(jīng)典試題.

1 電磁感應(yīng)中電容器的充放電問題分析

電容的充電分有外力作用與無外力作用兩種,條件設(shè)置不一樣,導(dǎo)致研究對象的運(yùn)動(dòng)情況完全不一樣,兩者的區(qū)別很大．不能盲目地死記硬背,要利用動(dòng)量定理來解決變量累積問題．此類問題借助電容的充放電過程來側(cè)重考查法拉第電磁感應(yīng)定律.

1.1 有外力作用下的電容器充電問題

圖1

例1.(2013年新課標(biāo)1卷)如圖1,兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ,間距為L．導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器,電容為C．導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于導(dǎo)軌平面．在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒,棒可沿導(dǎo)軌下滑,且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸．已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,重力加速度大小為g．忽略所有電阻．讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑,求:

(1) 電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系;

(2) 金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系.

mgsinθ-f1-f2=ma.

可得

由上式及題設(shè)可知,金屬棒做初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)．T時(shí)刻金屬棒的速度大小為

提示： 本題中的導(dǎo)體棒在重力、摩擦力和安培力的作用下加速下滑,解題的第一反應(yīng)安培力f1=BLi是變化的,給人的感覺是導(dǎo)體棒應(yīng)該是做變加速運(yùn)動(dòng),這也是題中設(shè)置的重要陷阱．然而看似變化的安培力經(jīng)過積分效應(yīng)推導(dǎo)后,算出的加速度卻是恒定的,這是本題的難點(diǎn)所在,也是本題的精妙之處了.

1.2 無外力作用下的充電問題

例2.(2019年福州市質(zhì)檢題)如圖2所示,兩平行長直光滑金屬導(dǎo)軌水平放置,間距為L,左端連接一個(gè)電容為C的電容器,導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中．質(zhì)量為m的金屬棒垂直導(dǎo)軌放置,某時(shí)刻金屬棒獲得一個(gè)水平向右的初速度v0,之后金屬棒運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖3所示．不考慮導(dǎo)軌的電阻.

圖2

圖3

(1) 求金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度v1;

(2) 求金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)電容器的電荷量q;

(3) 已知金屬棒從開始到勻速運(yùn)動(dòng)的過程中,產(chǎn)生的焦耳熱為Q,求電容器充電穩(wěn)定后儲(chǔ)存的電能W.

(3) 在0～t時(shí)間內(nèi),金屬棒的速度由v0到v1,由能量守恒可得

解得

提示: 本題屬于沒有外力作用的模型,導(dǎo)體棒受到逐漸減小的安培力作用下將做變加速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)加速度變?yōu)?的時(shí)候,導(dǎo)體棒的速度減小到最小值,以后一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)．變速問題一直都是力學(xué)的難點(diǎn),加速度的變化問題中往往隱藏著極值問題,對學(xué)生的思維能力要求較高．當(dāng)然此題也可以類比力學(xué)中的雨滴模型和降落傘模型,最終有個(gè)收尾速度.

1.3 電容器的放電問題

例3.(2017年高考天津卷)電磁軌道炮利用電流和磁場的作用使炮彈獲得超高速度,其原理可用來研制新武器和航天運(yùn)載器．電磁軌道炮示意如圖4所示,圖中直流電源電動(dòng)勢為E,電容器的電容為C．兩根固定于水平面內(nèi)的光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為l,電阻不計(jì)．炮彈可視為一質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒MN,垂直放在兩導(dǎo)軌間處于靜止?fàn)顟B(tài),并與導(dǎo)軌良好接觸．首先開關(guān)S接1,使電容器完全充電．然后將S接至2,導(dǎo)軌間存在垂直于導(dǎo)軌平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(圖中未畫出),MN開始向右加速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)MN上的感應(yīng)電動(dòng)勢與電容器兩極板間的電壓相等時(shí),回路中電流為0,MN達(dá)到最大速度,之后離開導(dǎo)軌．問:

圖4

(1) 磁場的方向;

(2)MN剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度a的大小;

(3)MN離開導(dǎo)軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少.

解析： (1) 垂直于導(dǎo)軌平面向下.

提示： 本題利用電磁軌道炮為題目的情景,來考查電容器的放電問題,可謂獨(dú)辟蹊徑．題中盡管設(shè)置了新穎的情景,但是層次分明,給考生設(shè)置了不同的臺(tái)階,前面2問要求不高,第3問要求考生能熟練運(yùn)用動(dòng)量定理解決微分累積效應(yīng),并計(jì)算出電荷量,區(qū)分度較為明顯．其實(shí)此類問題在2011年高考江蘇卷中已經(jīng)考查過了,關(guān)注高考試題的教師并不陌生,還可以進(jìn)一步分析清楚題目中的電荷量、電流、加速度和速度等物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系.

2 電路中電容器的充放電過程中的能量分析

電容器在直流電路中,充電或者放電都會(huì)引起能量的變化,考題可以涉及電容器的能量變化和電源的做功等問題．考生對這部分的內(nèi)容比較模糊,課本上也沒有現(xiàn)成的公式,需要運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行遷移,對理解推理能力要求很高．下面分兩類問題來舉例說明.

2.1 電容的儲(chǔ)存能量問題

例4.(2019年高考北京卷第23題)電容器作為儲(chǔ)能器件,在生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用．對給定電容值為C的電容器充電,無論采用何種充電方式,其兩極間的電勢差u隨電荷量q的變化圖像都相同.

圖5

(1) 請?jiān)趫D5中畫出上述u-q圖像．類比直線運(yùn)動(dòng)中由v-t圖像求位移的方法,求兩極間電壓為U時(shí)電容器所儲(chǔ)存的電能W.

(2) 在如圖6所示的充電電路中,R表示電阻,E表示電源(忽略內(nèi)阻)．通過改變電路中元件的參數(shù)對同一電容器進(jìn)行兩次充電,對應(yīng)的q-t曲線如圖7中①②所示.

圖6

圖7

a. ①②兩條曲線不同是__________(選填E或R)的改變造成的.

b. 電容器有時(shí)需要快速充電,有時(shí)需要均勻充電．依據(jù)(a)中的結(jié)論,說明實(shí)現(xiàn)這兩種充電方式的途徑.

(3) 設(shè)想使用理想的“恒流源”替換(2)中電源對電容器充電,可實(shí)現(xiàn)電容器電荷量隨時(shí)間均勻增加．請思考使用“恒流源”和(2)中電源對電容器的充電過程,填寫表1(選填“增大”、“減小”或“不變”).

表1

圖8

(2) a. 由于電源內(nèi)阻不計(jì),當(dāng)電容器充滿電后電容器兩端電壓即電源的電動(dòng)勢,電容器最終的電荷量為Q=CE,由q-t圖可知,兩種充電方式最終的電荷量相同,只是時(shí)間不同,所以①②曲線不同是R造成的.

b. 由圖7可知,要快速度充電時(shí),只要減小圖6中的電阻R,要均勻充電時(shí),只要適當(dāng)增大圖6中的電阻R即可.

(3) 在電容器充電過程中在電容器的左極板帶正電,右極板帶負(fù)電,相當(dāng)于另一電源,且充電過程中電量越來越大,回路中的總電動(dòng)勢減小,當(dāng)電容器兩端電壓與電源電動(dòng)勢相等時(shí),充電結(jié)束,所以換成“恒流源”時(shí),為了保證電流不變,所以“恒流源兩端電壓要增大,通過電源的電流不變,在(2)電源的電壓不變,通過電源的電流減?。鸢溉绫?所示.

表2

提示: 本題知識(shí)涉及較廣,第1步考查圖像的面積含義的遷移應(yīng)用,v-t圖像中面積代表位移,而u-q圖像中面積代表能量,其實(shí)類似的還有彈簧的F-x圖像中面積代表的彈力做功(彈性勢能)等等,考生平時(shí)要注意總結(jié)．第2步中考查考生對圖像的理解,識(shí)別電源不變,最終電容器的兩端電壓與電源一致,對應(yīng)的充滿電量是一樣的,則可以判斷出來影響充電時(shí)間是由電阻造成的．第3步中引入恒流源的概念,考生是不熟悉的,能有些許聯(lián)系的地方是出現(xiàn)在電學(xué)實(shí)驗(yàn)中的半偏法測電阻,這里才出現(xiàn)恒壓源、恒流源的概念.這就需要考生的智慧,在理解概念和題意的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理．所有本題看似生活中常見的電容器充電問題,卻抓住了考生的不少“軟肋”,題目新穎,讓人有無從下手之感.

2.2 充放電過程中電源的消耗能量問題

圖9

例5.(第10屆全國物理競賽試題)圖9中所示ad為一平行板電容器的兩個(gè)極板,bc是一塊長寬都與a板相同的厚導(dǎo)體板,平行地插在a、d之間,導(dǎo)體板的厚度bc=ab=cd．極板a、d與內(nèi)阻可忽略的電動(dòng)勢為E的蓄電池以及電阻R相聯(lián)如圖,已知在沒有導(dǎo)體板bc時(shí)電容器a、d的電容為C．現(xiàn)將導(dǎo)體板bc抽走,設(shè)已知抽走過程中所做的功為A,求這過程中電阻R上消耗的電能.

解析: 已知沒有導(dǎo)體板bc時(shí),a、d板間組成的電容器的電容為C,當(dāng)有bc存在時(shí),電容器的電容C′相當(dāng)于兩個(gè)電容器ab和cd串聯(lián),而每個(gè)電容器的電容和C相比是其3倍(因距離減小為原來的1/3),可得

在抽走bc過程中電能的減少量為

用WR表示電阻上消耗的電能,由能量守恒可知A+ΔW1=ΔW2+WR,所以WR=A+ΔW1-ΔW2．可得

綜上所述,電容器的充放電要重點(diǎn)要區(qū)分在電磁感應(yīng)的動(dòng)力學(xué)問題還是在電路中的能量問題．電磁感應(yīng)中的動(dòng)力學(xué)側(cè)重是應(yīng)用牛頓第二定律和動(dòng)量定理來分析問題;而電路中的能量問題則是要側(cè)重能量的公式理解應(yīng)用．考生要學(xué)會(huì)總結(jié)體會(huì)高考試題,借鑒經(jīng)典的試題來訓(xùn)練并提升自己的學(xué)科素養(yǎng)與關(guān)鍵能力.