陳建勇，孫明軒

(1.浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，浙江杭州 310023;2.溫州科技職業(yè)學(xué)院信息技術(shù)學(xué)院，浙江溫州 325000)

1 引言

迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control，ILC)適用于處理具有重復(fù)運(yùn)行特點(diǎn)的被控對象，是一種具備學(xué)習(xí)能力的高級控制技術(shù).它以跟蹤誤差調(diào)整被學(xué)習(xí)信號，不斷修正控制輸入，使得受控對象在整個作業(yè)區(qū)間上實(shí)現(xiàn)對參考信號的完全跟蹤.迭代學(xué)習(xí)控制方法要求系統(tǒng)滿足嚴(yán)格重置條件，即每次迭代作業(yè)開始時刻的系統(tǒng)狀態(tài)與期望狀態(tài)初值保持一致.然而，受復(fù)位精度的限制，系統(tǒng)初態(tài)與期望初態(tài)不一致往往是存在的，這會降低閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤精度.因此，初值問題是迭代學(xué)習(xí)控制領(lǐng)域需要解決的一個基本問題.目前，基于Lyapunov綜合方法設(shè)計(jì)初態(tài)任意情形下的學(xué)習(xí)控制器是值得研究的課題，并已得到一些解決方案.文[1]針對一類模糊系統(tǒng)，引入時變邊界層.由于邊界層隨時間單調(diào)遞減，且收斂于零，則被邊界層限定的跟蹤誤差也趨于零.文[2]利用時變邊界層考慮了純反饋系統(tǒng)的初態(tài)誤差問題.文[3]提出初始修正吸引子概念，利用吸引子達(dá)到完全實(shí)際跟蹤.文[4]利用變期望軌跡法，提出了D型、PD型和PID型學(xué)習(xí)算法，在迭代域上解決了參考軌跡慢時變的情況.文[5]構(gòu)造了一種期望誤差軌跡，首次提出誤差跟蹤設(shè)計(jì)方法.相比于變期望軌跡法，它不用每次迭代時重新設(shè)計(jì)初始段軌跡，只需要保證期望誤差軌跡初值與實(shí)際誤差軌跡初值一致即可，有利于拓寬學(xué)習(xí)控制方法的應(yīng)用范圍.

人們在設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器或自適應(yīng)學(xué)習(xí)控制器時，為了增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，往往對控制輸入或參數(shù)估計(jì)采取限幅手段，比如飽和函數(shù)或投影算子.然而，僅僅對控制輸入或參數(shù)估計(jì)限幅是不夠的，出于對設(shè)備運(yùn)行安全方面的考慮，需要采取措施對位移-速度等系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行約束.近年來，受重構(gòu)Lyapunov函數(shù)思想的啟發(fā)，障礙李雅普諾夫函數(shù)(barrier Lyapunov function，BLF)的約束控制方法因其無需知道系統(tǒng)的精確解而被廣泛用來解決系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)輸出的約束問題.文[6]針對含狀態(tài)約束的Brunovsky標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)，首次以約束區(qū)間為定義域構(gòu)造了Lyapunov函數(shù)并結(jié)合使用反推技術(shù).文[7]給出了BLF函數(shù)的嚴(yán)格定義并研究了嚴(yán)格反饋輸出受約束系統(tǒng)的控制問題.在已有的文獻(xiàn)中，學(xué)者們已經(jīng)提出了BLF 函數(shù)的3 種主要類型，包括對數(shù)型[8-9]、積分型[10-11]以及正切型[12-13].文[14]首次提出一種新的障礙Lyapunov函數(shù):二次分式型BLF函數(shù)(quadratic-fraction BLF，QFBLF)，用于學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì).文[15]考慮非參數(shù)不確定系統(tǒng)的學(xué)習(xí)控制問題，利用QFBLF函數(shù)設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)控制過程中的狀態(tài)約束.盡管基于BLF思路解決系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)輸出的約束問題已經(jīng)有了一些研究成果，仍需要進(jìn)一步深入探討.

本文討論一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的誤差約束跟蹤學(xué)習(xí)控制問題.擬構(gòu)造BLF函數(shù)的兩種形式:二次分式型對稱BLF函數(shù)和二次分式型非對稱BLF函數(shù)來分別設(shè)計(jì)控制器.分析表明，兩種控制方案均能實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差囿于預(yù)設(shè)的界內(nèi)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)迭代過程中對系統(tǒng)狀態(tài)的約束.

2 問題提出和準(zhǔn)備

考慮在時間區(qū)間[0，T]上重復(fù)運(yùn)行的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng):

式中:k(=1，2，…)表示重復(fù)作業(yè)次數(shù);xi，k∈R為系統(tǒng)狀態(tài)且分別為系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)輸出;θ∈Rn是未知參數(shù);是已知光滑函數(shù)，記給定[0，T]上的參考信號r1(t)，滿足1≤i≤n，且存在常數(shù)Mi，使得|ri(t)|≤Mi.

本文的控制目標(biāo)是，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)控制器uk，使得迭代學(xué)習(xí)過程中跟蹤誤差囿于預(yù)設(shè)的界內(nèi)，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)約束;經(jīng)過足夠多次迭代，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出在指定作業(yè)區(qū)間上對參考信號的完全跟蹤.

為表達(dá)簡便，在不引起混淆之處，文中略去函數(shù)的時間自變量.

為了克服系統(tǒng)初態(tài)誤差的不確定性，定義如下函數(shù)[5]:

其中:ek，εk是關(guān)于時間t的函數(shù);是構(gòu)造的期望函數(shù)，它包含用來表示誤差衰減性態(tài)的函數(shù)ξ(t).對于ξ(t)的表達(dá)式，應(yīng)是一連續(xù)可導(dǎo)的單調(diào)遞減函數(shù)，且滿足:1)ξ(0)=1;2)ξ(t)=0，?t∈[t1，T]，t1＞0;3)ξ(j)(t1)=0，j=1，2.由條件1)和式(2)可知:εk(t)在t=0時，滿足εk(0)=0，?k.

對于式(2)，若ek代表誤差函數(shù)，相應(yīng)的可看作期望誤差軌跡(函數(shù))，它將在下一節(jié)的控制器設(shè)計(jì)中起到重要作用.

3 學(xué)習(xí)控制

為了設(shè)計(jì)約束學(xué)習(xí)控制器的需要，這里先給出二次分式型BLF函數(shù)的兩種形式，具體如下:

1) 二次分式型對稱BLF函數(shù)的典型形式為

其中b ＞0.應(yīng)用BLF函數(shù)(3)時，需假定實(shí)現(xiàn)時系統(tǒng)所受到的各種干擾無法使得|εk|＞b，否則會導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散.

2) 二次分式型非對稱BLF函數(shù)的典型形式為

其中:b1＞0，b2＞0，且b1/=b2.

3.1 二次分式型對稱BLF

針對系統(tǒng)(1)，本節(jié)應(yīng)用對稱BLF函數(shù)(3)，并結(jié)合反推技術(shù)來設(shè)計(jì)控制器:從步驟1到步驟n-1設(shè)計(jì)虛擬控制器αi，k;步驟n設(shè)計(jì)控制器uk.系統(tǒng)中的未知參數(shù)采用積分學(xué)習(xí)律進(jìn)行估計(jì).控制器具體設(shè)計(jì)過程如下:

定義狀態(tài)誤差

其中α0，k=0.

假設(shè)1存在已知的常數(shù)ηi滿足

一般地，重復(fù)作業(yè)系統(tǒng)的復(fù)位點(diǎn)不一定與期望初態(tài)一致，但復(fù)位點(diǎn)落在以期望初態(tài)為中心的某一鄰域內(nèi)，這一點(diǎn)是可以被允許的，因此假設(shè)1是合理的.

步驟1迭代運(yùn)行時，系統(tǒng)初態(tài)誤差一般是存在的，定義跟蹤誤差

取虛擬控制

取如下對稱BLF函數(shù):

對V1，k求導(dǎo)，并將式(11)代入，得

步驟i(2≤i≤n-1) 類似于步驟1，定義跟蹤誤差

對εi，k求導(dǎo)，得

取虛擬控制

取如下對稱BLF函數(shù):

對Vi，k求導(dǎo)，將式(17)代入并化簡，得

由于

式(19)重寫為

步驟n定義跟蹤誤差

對εn，k求導(dǎo)，得

設(shè)計(jì)控制律

以及積分學(xué)習(xí)律

將式(23)代入式(22)，得

取如下對稱BLF函數(shù):

對Vn，k求導(dǎo)，并將式(24)-(25)代入，得

假設(shè)2對?k，當(dāng)t=0時，

定理1非線性系統(tǒng)(1)，滿足假設(shè)1-2，采用控制律(23)以及積分學(xué)習(xí)律(24)，則系統(tǒng)有以下性質(zhì):

i) 系統(tǒng)中所有信號有界，且

ii) 保證迭代過程中，|εi，k|＜bi成立，同時系統(tǒng)狀態(tài)有界約束始終滿足.

證i) 變量有界性和系統(tǒng)收斂性.

根據(jù)假設(shè)2 可知‖εk(0)‖2=0≤‖εk(T)‖2，這里εk=[ε1，kε2，k… εn，k]T.由式(26)，得

把式(27)代入式(29)，并重復(fù)式(29)k次，得

ii) 系統(tǒng)狀態(tài)的有界約束.

根據(jù)式(27)，在各次迭代過程中，有|εi，k|＜bi.首先證明x1，k的有界約束.由于ξ1的單調(diào)遞減性，由式(7)并結(jié)合假設(shè)1可知因?yàn)閞1的有界性，可得

證畢.

由定理1可以看出，運(yùn)用本節(jié)構(gòu)造的二次分式型對稱BLF函數(shù)，通過將εi，k囿于預(yù)設(shè)的界內(nèi)，以實(shí)現(xiàn)對狀態(tài)的約束.

3.2 二次分式型非對稱BLF函數(shù)

被控對象中，系統(tǒng)狀態(tài)約束不總是對稱的，更多的是以非對稱約束形式存在.因此，設(shè)計(jì)合適的非對稱BLF函數(shù)更有實(shí)際作用.針對系統(tǒng)(1)，本節(jié)應(yīng)用非對稱BLF函數(shù)(4)，并結(jié)合反推技術(shù)來設(shè)計(jì)控制器.系統(tǒng)中的未知參數(shù)采用微分-差分學(xué)習(xí)律進(jìn)行估計(jì).控制器具體設(shè)計(jì)過程如下:

需要聲明的是，本節(jié)控制器設(shè)計(jì)過程中使用到的一些變量標(biāo)記及其含義與第3.1節(jié)的相同，此處不再重復(fù)描述，本節(jié)只寫出一些不相同的變量.

步驟1令

取虛擬控制

將式(34)代入式(9)，得

取如下非對稱BLF函數(shù):

式中 δ∈[0，1).對V1，k求導(dǎo)，并將式(35)代入，得

步驟i(2≤i≤n-1) 令

取虛擬控制

其中v2，k=0，而vi，k的設(shè)計(jì)類似于上一節(jié)的它的表達(dá)式將在下面給出.將式(38)代入式(15)，得

取如下非對稱BLF函數(shù):

對Vi，k求導(dǎo)，并將式(39)代入，得

要使βi，k=0，則vi，k的表達(dá)式如下:

由于

式(41)重寫為

步驟n 令

設(shè)計(jì)控制律

以及微分-差分學(xué)習(xí)律

將式(44)代入式(22)，得

取如下非對稱BLF函數(shù):

對Vn，k求導(dǎo)，并將式(45)-(46)代入，得

定理2非線性系統(tǒng)(1)，滿足假設(shè)1-2，采用控制律(44)以及微分-差分學(xué)習(xí)律(45)，則系統(tǒng)有以下性質(zhì):

i) 系統(tǒng)中所有信號有界，且

ii) 保證迭代過程中，-bi1＜εi，k＜bi2成立，同時系統(tǒng)狀態(tài)有界約束始終滿足.

證i) 變量有界性和系統(tǒng)收斂性.

選擇第k次的障礙Lyapunov泛函為

連續(xù)2次迭代周期的差分為

將式(48)代入式(51)，得

令t=T，重復(fù)式(52)k次，并結(jié)合Lk(T)的非負(fù)性，得

因?yàn)長1(T)有界，則由于閉環(huán)系統(tǒng)中的所有參數(shù)保持有界，可以得出是有界的.由于其導(dǎo)數(shù)一致有界，在區(qū)間[0，T]上利用Barbalat引理，可知=0.

ii) 系統(tǒng)狀態(tài)的有界約束.

由定理2中第i)部分證明可知，在各次迭代過程中，有-bi1＜εi，k＜bi2.現(xiàn)在證明本定理中的狀態(tài)有界約束，步驟類似于定理1中第ii)部分的證明過程.由于x1，k=可得到其中:由于xi，k=同樣可以證明，其中:證畢.

可以看出，運(yùn)用本節(jié)構(gòu)造的二次分式型非對稱BLF函數(shù)，通過將εi，k囿于預(yù)設(shè)的界內(nèi)，間接地實(shí)現(xiàn)對狀態(tài)的約束.

綜上，本文通過引入期望誤差軌跡來解決迭代學(xué)習(xí)系統(tǒng)的初值問題，且期望誤差軌跡的設(shè)計(jì)方法簡單.構(gòu)造了二次分式型BLF函數(shù)的兩種典型形式來分別設(shè)計(jì)控制器.由定理1-2的分析和證明部分可以看出，跟蹤誤差在迭代過程中囿于預(yù)設(shè)的界內(nèi)，從而實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的有界約束.

4 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證所提算法的有效性，考慮如下二階嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng):

取i=1，2，當(dāng)t∈[0，t1]時，

根據(jù)對稱BLF函數(shù)和非對稱BLF函數(shù)這兩種情形，分別進(jìn)行仿真:

1) 對稱BLF函數(shù)情形.

設(shè)定|x1，k|＜1.61和|x2，k|＜6.78以及b1=0.01，b2=0.5.采用控制律(23)以及積分學(xué)習(xí)律(24)，迭代20次后，仿真結(jié)果如圖1-4所示.

圖1 情形1下的x1(t)及其期望軌跡r1(t)Fig.1 x1(t)and its desired trajectory r1(t)in Case 1

圖2 情形1下的控制輸入Fig.2 Control input in Case 1

圖3 情形1下的e1(t)和期望誤差軌跡Fig.3 e1(t)and the desired error trajectory in Case 1

圖4 情形1下的誤差性能指標(biāo)JkFig.4 Error performance index Jk in Case 1

2) 非對稱BLF函數(shù)情形.

設(shè)定

采用控制律(44)以及微分-差分學(xué)習(xí)律(45)，迭代20次后，仿真結(jié)果如圖5-8所示.

圖5 情形2下的x1(t)及其期望軌跡r1(t)Fig.5 x1(t)and its desired trajectory r1(t)in Case 2

圖6 情形2下的控制輸入Fig.6 Control input in Case 2

圖7 情形2下的e1(t)和期望誤差軌跡Fig.7 e1(t)and the desired error trajectory in Case 2

圖8 情形2下的誤差性能指標(biāo)JkFig.8 Error performance index Jk in Case 2

圖1和圖5表明，由t=0.2起系統(tǒng)輸出完全跟蹤上參考信號;圖3和圖7表明，本文提出的兩種控制方案都能夠在任意初值下，使得狀態(tài)誤差在整個作業(yè)區(qū)間上實(shí)現(xiàn)對期望誤差軌跡的精確跟蹤;圖4和圖8可以看出在迭代過程中，|ε1，k(t)|，t∈[0，T]被約束于[0，b1]區(qū)間內(nèi).

為了比較，采用無約束學(xué)習(xí)控制

以及積分學(xué)習(xí)律

進(jìn)行仿真，期望誤差軌跡的構(gòu)造及各參數(shù)值選取同前.圖9是控制律(55)作用下，|ε1，k|隨迭代次數(shù)變化的情況.可以看出，無約束學(xué)習(xí)控制策略不能保證Jk≤b1.

圖9 無約束學(xué)習(xí)控制下的Jk收斂過程Fig.9 The convergence performance of Jk without BLF

5 結(jié)論

本文給出一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的學(xué)習(xí)控制算法.文中構(gòu)造兩種形式簡單的二次分式型BLF函數(shù)，并結(jié)合反推技術(shù)分別進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，保證系統(tǒng)狀態(tài)在各次迭代中受到約束.為了解決初值問題，引入期望誤差軌跡，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出在預(yù)指定區(qū)間上精確跟蹤參考信號.