趙海濱 顏世玉 于清文

摘? ?要：Coullet混沌是典型的三階非線性系統(tǒng)，采用Simulink軟件進行仿真和反饋控制。采用Simulink軟件建立仿真實驗系統(tǒng)，并進行仿真實驗。實驗結(jié)果表明，反饋控制器能夠進行Coullet混沌系統(tǒng)的平衡控制，狀態(tài)變量漸進收斂到零。該仿真實驗?zāi)軌蚺囵B(yǎng)學生的工程意識，提高學生的學習興趣，激發(fā)學生的創(chuàng)新精神。

關(guān)鍵詞：反饋控制? Coullet混沌系統(tǒng)? 仿真實驗? Simulink軟件

Abstract：Coullet chaos is a typical third-order nonlinear system， which is simulated and feedback control using Simulink software. Simulink software is used to establish the simulation experiment system and carry out the simulation experiment. The experiment results show that the feedback controller can balance the Coullet chaotic system， and the state variables gradually converge to zero. The simulation experiment can cultivate the students engineering consciousness， improve students interest in learning and stimulate students innovative spirit.

Key Words：Feedback control; Coullet chaotic system; Simulation experiment; Simulink software

混沌對初始條件極其敏感，微小的初值改變都會引起系統(tǒng)狀態(tài)變量的劇烈波動。混沌是具有整體穩(wěn)定、局部不穩(wěn)定的非線性動力系統(tǒng)，廣泛存在于自然界和人類社會中。混沌系統(tǒng)在保密通信和信息處理等領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用前景[1]。

本文以Coullet混沌系統(tǒng)為研究對象[2-3]，采用Simulink軟件進行混沌仿真和反饋控制，并對仿真結(jié)果進行了分析。Simulink是MATLAB軟件的重要組成部分，是重要的教學和科研輔助手段，廣泛應(yīng)用于動態(tài)系統(tǒng)的仿真[11]，只需要很少的代碼就能實現(xiàn)復(fù)雜的功能。根據(jù)Coullet混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程，設(shè)計反饋控制器進行系統(tǒng)的平衡控制，狀態(tài)變量漸進收斂到零。該仿真實驗系統(tǒng)將理論學習和工程實踐相結(jié)合，能夠激發(fā)學生的學習興趣，增強學生的編程能力和工程實踐能力。

1? Coullet混沌系統(tǒng)

Coullet混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，能夠用硬件電路實現(xiàn)，是典型的三階自治非線性混沌系統(tǒng)[4]，只需要一個控制輸入就能實現(xiàn)系統(tǒng)的平衡控制。Coullet混沌系統(tǒng)為三階常微分方程，表示為

Coullet混沌系統(tǒng)具有奇對稱性，具有3個平衡點，分別為，，。這三個平衡點都是不穩(wěn)定的鞍焦點，Coullet混沌系統(tǒng)具有2個奇異吸引子，相圖為兩個渦卷。

2? Coullet混沌仿真

根據(jù)Coullet混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程，采用ode45算法進行仿真。ode45算法是四階-五階Runge-Kutta算法。采用Simulink軟件建立Coullet混沌的仿真系統(tǒng)，如圖1所示。在圖1中，Coullet混沌系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)定為，，，仿真時間為200s。

Coullet混沌狀態(tài)變量x1和x2的二維相圖，如圖2所示，狀態(tài)變量x1和x3的二維相圖，如圖3所示，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，如圖4所示。

3? 反饋控制器

采用反饋控制器進行Coullet混沌系統(tǒng)的平衡控制。對于Coullet混沌系統(tǒng)，帶有控制輸入的受控系統(tǒng)為

當k=-2時，該矩陣的特征值為，。特征值的實部均小于零，狀態(tài)變量漸進收斂到零，能夠?qū)崿F(xiàn)Coullet混沌系統(tǒng)的平衡控制，狀態(tài)變量漸進收斂到零，即。

4? 仿真實驗

本文主要采用Simulink中的MATLAB Function模塊和積分模塊等建立仿真實驗系統(tǒng)。MATLAB Function模塊采用MATLAB語言進行編程，非常適合建立仿真系統(tǒng)，很少的代碼就能實現(xiàn)非常復(fù)雜的功能[5-7]。采用反饋控制器進行Coullet混沌系統(tǒng)的平衡控制，狀態(tài)變量漸進收斂到零。采用Simulink軟件建立的實驗系統(tǒng)，如圖5所示。在圖5中，Coullet混沌系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)定為，，。在反饋控制器中，參數(shù)設(shè)定為k=-2。狀態(tài)變量和控制器通過示波器進行顯示，并保存到MATLAB軟件的工作空間中。在圖5的仿真實驗系統(tǒng)中，采用ode45算法，最大步長設(shè)置為0.001s，仿真時間為25s。

仿真實驗系統(tǒng)運行后，Coullet混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，如圖6所示。在圖6中，狀態(tài)變量漸進收斂并在15s時基本收斂到零。反饋控制器的響應(yīng)曲線，如圖7所示。在圖7中，反饋控制器比較平滑，最小值為-0.2，最后也收斂到零。仿真結(jié)果表明，反饋控制器能夠進行Coullet混沌系統(tǒng)的平衡控制，狀態(tài)變量漸進收斂到零，即。

5? 結(jié)語

采用Simulink軟件進行Coullet混沌系統(tǒng)的仿真和反饋控制。根據(jù)Coullet混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程進行仿真，顯示狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線和二維相圖。根據(jù)Coullet混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程，設(shè)計反饋控制器進行系統(tǒng)的平衡控制。反饋控制器能夠進行Coullet混沌系統(tǒng)的平衡控制，狀態(tài)變量漸進收斂到零，并對仿真結(jié)果進行了分析。該實驗采用Simulink軟件進行建模和仿真，比較形象和直觀，學生可以修改系統(tǒng)的參數(shù)，然后進行仿真實驗。該仿真實驗系統(tǒng)將理論學習和編程實踐相結(jié)合，能夠降低實驗成本，培養(yǎng)學生的工程意識，激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)新精神。

參考文獻

[1] 孫克輝. 混沌保密通信原理與技術(shù)[M]. 北京：清華大學出版社，2015.

[2] 劉揚正，林長圣，費樹岷，等.Coullet系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)線性反饋混沌同步[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2006（4）：591-593.

[3] 劉揚正，錢仰德，姜長生，等.Coullet混沌系統(tǒng)的演化和控制實驗[J].大學物理，2006（8）：36-39.

[4] 張潔，馬勝前，張新國，等.Genesio-Tesi系統(tǒng)和Coullet系統(tǒng)的電路實現(xiàn)[J].西北師范大學學報：自然科學版，2012，48（4）：38-41.

[5] 石良臣.MATLAB/Simulink系統(tǒng)仿真超級學習手冊[M].北京：人民郵電出版社，2014.

[6] 薛定宇.控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計-MATLAB語言與應(yīng)用（第3版）[M].北京：清華大學出版社，2012.

[7] 薛定宇.高等應(yīng)用數(shù)學問題的MATLAB求解[M].4版.北京：清華大學出版社，2018.