馬艷榮 葉佳浩 沈中宇

摘要：基于學生在學習中遇到的困難，考慮到數(shù)學史的教育價值，從HPM的視角設計“橢圓及其標準方程”的教學。橢圓及其標準方程的發(fā)展經(jīng)歷了漫長的過程，可以大致地分為五個階段：橢圓概念（截線定義）的誕生，橢圓焦半徑性質的發(fā)現(xiàn)，橢圓作圖法的出現(xiàn)，橢圓第一定義（軌跡定義）的誕生，橢圓標準方程的推導。相應地，教學可以分為“生活引入，歷史回顧”“性質探索，認識橢圓”“畫圖操作，定義橢圓”“方程推導，求解橢圓”“思想深化，玩轉橢圓”等環(huán)節(jié)。課后反饋表明，這樣的教學取得了較好的效果。

關鍵詞：HPM橢圓及其標準方程重構式

滬教版高中數(shù)學教材在第12章《圓錐曲線》第三節(jié)《橢圓的標準方程》（前兩節(jié)分別是《曲線和方程》《圓的方程》）中，通過圓柱形水杯傾斜時水面的邊界線、玻璃窗上的圓投射到地面上的影子等生活實例讓學生認識橢圓，然后借助“兩釘一繩”讓學生畫出橢圓，進而直接給出橢圓的第一定義，后面利用“二次平方法”得到橢圓的標準方程。在實際教學中，學生常常會產生一些困惑：為什么這樣的曲線叫作“圓錐曲線”？生活中的橢圓是否與“兩釘一繩”畫出的橢圓一致？橢圓方程的推導除了教材中的方法之外，還有沒有更簡便的方法？

基于學生在學習中遇到的困難，許多教師對這一內容的教學進行了探索。有教師選取一條沒有彈性的細繩，讓學生畫出橢圓，然后得到橢圓的定義并推導橢圓的標準方程。有教師讓學生探究圓是怎么壓縮成橢圓的，然后經(jīng)過逐步探究得到橢圓的畫法，最后獲得橢圓的定義。有教師借助折紙，讓學生觀察得到交點的軌跡，從而引出橢圓，然后探究橢圓的定義與標準方程。有教師帶領學生經(jīng)歷從截線定義到軌跡定義（第一定義）的知識發(fā)生過程，基于旦德林雙球實驗，開展數(shù)學實驗探究等一系列活動。

研究表明，學生頭腦中存在兩種橢圓的意象，分別是生活中的截線定義以及教材中的軌跡定義;學生對橢圓最初的認知是生活中的橢圓。歷史表明，人們對橢圓最早的認知也來源于圓錐的截線。因此，在“橢圓及其標準方程”的教學中融入數(shù)學史符合學生的認知規(guī)律。同時，歷史上橢圓方程的推導方法經(jīng)歷了不同的傳承，除了教材中的“二次平方法”之外，還有很多精彩的方法，可以用它們來豐富我們的課堂。此外，融入數(shù)學史也有助于學生經(jīng)歷橢圓的發(fā)生、發(fā)展過程，體會數(shù)學背后的人文價值，培養(yǎng)動態(tài)的數(shù)學觀，激發(fā)學習興趣，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)，落實學科育人。

鑒于此，筆者從HPM的視角設計本節(jié)課的教學，擬定如下教學目標：（1）通過歷史的回溯和幾何畫板的演示，掌握橢圓的概念以及標準方程;（2）經(jīng)歷從情境中抽象橢圓性質以及用數(shù)量關系形式重塑橢圓定義的過程，根據(jù)橢圓的定義建立橢圓的標準方程，進一步鞏固求曲線方程的一般方法和步驟，體驗用代數(shù)方法研究幾何問題的思想，并體會多種推導方法，開闊視野;（3）經(jīng)歷橢圓定義的發(fā)展歷程，感受其中蘊含的數(shù)學文化，體會數(shù)學家堅持不懈的探究精神。

一、歷史材料梳理

橢圓及其標準方程的發(fā)展經(jīng)歷了漫長的過程，可以大致地分為五個階段：

（一）橢圓概念（截線定義）的誕生

希臘哲學家普羅克魯斯（Proclus，公元5世紀）告訴我們，柏拉圖學派的梅內克繆斯（Menaechmus，公元前4世紀）是圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)者，圓錐曲線一開始被稱為“梅內克繆斯三線”（如圖1）。后來，數(shù)學家亞里士塔歐（Aristaeus，公元前4世紀）將這三種曲線分別稱為銳角圓錐曲線、

直角圓錐曲線和鈍角圓錐曲線，分別對應于今天的橢圓、拋物線和雙曲線。

亞里士塔歐曾著《立體軌跡》一書，對圓錐曲線做了進一步的研究。之后，歐幾里得（Euclid，公元前3世紀）又著《圓錐曲線》一書，對圓錐曲線的研究成果做了系統(tǒng)性的總結。可惜，這兩本書均已失傳。

（二）橢圓焦半徑性質的發(fā)現(xiàn)

在歐幾里得《圓錐曲線》的基礎上，阿波羅尼斯（Apollonius，公元前3世紀）撰寫了一部劃時代的巨著——《圓錐曲線論》。書中，作者將同一圓錐（并不局限于前人的正圓錐，而是更一般的斜圓錐，如圖2）被不同位置的平面所截得的曲線定義為圓錐曲線。

阿波羅尼斯還從圖2中，利用三角形的相似得到了橢圓的基本性質：PQ2AQ·QB=DQ·QEAQ·QB=MF·NFSF2=常數(shù)——實際上，等于短軸與長軸的平方比，也等于通徑與長軸的比。之后，阿波羅尼斯又花了很大的力氣得到了橢圓的焦半徑性質：橢圓焦半徑之和是定值。

（三）橢圓作圖法的出現(xiàn)

以設計圣索菲亞大教堂而聞名世界的拜占庭數(shù)學家安提繆斯（Anthemius，約474—534）在研究燃燒鏡時，給出了今天我們非常熟悉的橢圓的“兩釘一繩”畫法（如下頁圖3，今又稱“園藝師畫法”）。這一畫法的依據(jù)就是阿波羅尼斯所發(fā)現(xiàn)的橢圓焦半徑性質。

（四）橢圓第一定義（軌跡定義）的誕生

法國數(shù)學家和天文學家拉希爾（P.de Lahire，1640—1719）在《圓錐曲線新基礎》一書（1679）

中給出了橢圓的焦半徑定義，即橢圓的第一定義——平面上到兩定點距離之和等于常數(shù)的動點軌跡。

法國數(shù)學家洛必達（M.de LHospital，1661—1704）在《圓錐曲線分析》一書（1707）中采用了“園藝師畫法”以及拉希爾的橢圓第一定義，并根據(jù)該定義成功地推導出了橢圓的方程。

直到1822年，比利時數(shù)學家旦德林（G.P.Dandelin，1794—1847）才在一篇論文中利用圓錐的兩個內切球（如圖4），直接在圓錐上推導出了橢圓的焦半徑性質，從而直觀地證明了橢圓的截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性。

（五）橢圓標準方程的推導

洛必達在《圓錐曲線分析》中采用以下方法推導橢圓的方程：

如圖5所示，設長軸AB=2a，短軸CD=2b，焦距F1F2=2c，P（x，y）是橢圓上的任意一點。因為PF1+PF2=2a，可設PF1=a+z，PF2=a-z，其中z為待定參數(shù)。利用兩點之間的距離公式，得出PF21=（a+z）2=（x+c）2+y2，PF22=（a-z）2=（x-c）2+y2。兩式相減，得4az=4cx，即z=cxa。將其代入前式，得a2+2cx+c2x2a2=x2+2cx+c2+y2。于是可得橢圓方程y2=b2a2（a2-x2）（其中令a2-c2=b2）。

洛必達設PF1、PF2的方法被稱為“和差術”，起源于古代兩河流域，并被希臘數(shù)學家丟番圖（Diophantus，約200—284）在《算術》一書中頻繁使用于二次方程的求解。洛必達稱他得到的方程用長、短軸之比完美展現(xiàn)了橢圓的性質，但他并未將其化為今天的標準形式。

1836年，英國數(shù)學家賴特（J.M.F.Wright）在《圓錐曲線之代數(shù)體系》一書中采用“平方差法”（源于分子有理化思想）推導出橢圓的標準方程：

如圖5所示，設PF1=r1，PF2=r2，則r21=（x+c）2+y2，r22=（x-c）2+y2。兩式相減，得r21-r22=4cx，即（r1+r2）（r1-r2）=4cx。又由r1+r2=2a，可得r1-r2=2cxa，進而可得r1=a+cxa，r2=a-cxax。將其代入前式，整理得方程x2a2+y2b2=1（其中令a2-c2=b2）。

在19世紀的教科書中，基于第一定義的橢圓方程推導方法百花齊放。然而，到了20世紀，大多數(shù)教科書采用了橢圓的第二定義，而采用第一定義的教科書在推導橢圓方程時幾乎都選擇了“二次平方法”。

二、教學設計與實施

根據(jù)上述歷史階段的劃分，本節(jié)課的教學可以分為以下幾個環(huán)節(jié)：

（一）生活引入，歷史回顧

師（出示下頁圖6）將裝有水的圓柱形水杯傾斜放置，此時水面所形成的形狀是——

生 橢圓。

師小球被平行光傾斜照射所形成的影子的輪廓，圓柱（錐）形建筑被平面斜截所得的截口，這些又是什么形狀？

生 橢圓。

師為什么說這些形狀是橢圓？到底什么是橢圓？橢圓為何安排在《圓錐曲線》這一章中？帶著這些問題，一起來看一段視頻。

（播放視頻，回溯橢圓及其方程的發(fā)生和發(fā)展歷程：古希臘人與削尖的圓木樁—平面斜截不同圓錐產生圓錐曲線—圓錐曲線的進一步研究與總結—“園藝師畫法”—阿波羅尼斯與橢圓的焦半徑性質—平面截同一圓錐的不同位置定義圓錐曲線—拉希爾與橢圓的第一定義—笛卡兒和費馬創(chuàng)立解析幾何—洛必達成功推導橢圓的方程。）

（二）性質探索，認識橢圓

師大家看完視頻，可能會存在疑惑，到底橢圓的截線定義與第一定義有什么聯(lián)系？接下來，我們將借助旦德林雙球模型架起古希臘時期與17世紀橢圓定義的橋梁。（稍停）為此，我們先設置兩個關卡來引導大家理解。在平面上，過圓外一點引圓的切線，有幾條？切線長之間有什么關系？

生兩條，相等。

師 （出示圖7）類比到空間中，過球外一點引球的切線，有幾條？這些切點會形成什么圖形？這些切線長之間有什么關系？

生 切線有無數(shù)條，切點會形成圓，切線長都相等。

師 大家順利通過第一關，現(xiàn)在來到第二關。將一個半徑等于圓柱底面圓半徑的小球放入圓柱，則小球和圓柱的位置關系如何？

生 相切。

師 切點有幾個？會形成什么圖形？

生 切點有無數(shù)個，會形成圓。

師 那不妨記這個圓為C1?，F(xiàn)在將另一個同樣大的小球也放入圓柱，則它和圓柱也相切，切點也有無數(shù)個，也會形成圓。我們將這個圓記為C2。那么，C1和C2所在平面的位置關系如何？

生 平行。

師 很不錯！設圓柱的一條母線交圓C1于點P，交圓C2于點Q，那么PQ與這兩個平面是什么關系？與兩個小球的位置關系又如何？

生 與兩個平面垂直，與兩個小球相切。

師 現(xiàn)在將母線動起來，在運動的過程中，PQ的長度變不變？

生 不變。

師很好！大家順利過關，現(xiàn)在已經(jīng)完全具備了基礎知識。下面讓我們一起來揭開旦德林雙球模型的神秘面紗吧?。ǔ鍪緢D8）首先，用一個平面斜截圓柱，所得交線即為橢圓，這也是古希臘時期橢圓的由來。然后，從圓柱上方放入一個小球，使得這個小球與橢圓面相切，那么有幾個切點？

生 一個。

師 很好！不妨將該切點記為F1。在橢圓上任取一點M，那么MF1與這個小球的位置關系如何？

生 相切。

師接著，從圓柱下方放入另一個同樣大的小球，使得這個小球也與橢圓面相切，那么也有一個切點。不妨將該切點記為F2，那么MF2與這個小球相切。如果過點M作剛才的PQ，思考一下：會得到哪些結論呢？

（學生思考。）

生 MF1與上方小球相切，MP也與上方小球相切，所以，MF1與MP相等。

師沒錯！通過剛才的鋪墊，我們知道過球外一點引球的切線，切線長相等。同樣，MF2、MQ和下方小球相切，所以，MF2=MQ。那么，在點M運動的過程中，圖中哪些量不變？橢圓上的點M又會滿足什么關系？

生 PQ長度不變。

生 MF1+MF2=MP+MQ=PQ。

師 我們知道，圓上任意一點到一個定點的距離等于定長，你能類比得出橢圓上任意一點所滿足的性質嗎？

生 橢圓上任意一點到兩個定點的距離之和為定值。

師 非常好！

（三）畫圖操作，定義橢圓

師我們剛才得到了一個性質，橢圓上的點都滿足這一性質。反之，根據(jù)這個性質得到的點的軌跡一定是橢圓嗎？能否將這一性質作為橢圓的定義呢？如果不行，需要增加什么限制條件？帶著這個問題，一邊畫圖，一邊思考。同桌兩人配合，利用細繩嘗試畫一個橢圓，畫的時候思考一下如何體現(xiàn)定點和定長。

生 一個人釘住繩頭，另一個人畫。繩頭就是定點，繩長就是定長。

師 好！大家動手操作一下。同時，請一個同學利用橢圓規(guī)在黑板上畫一下。

（學生畫圖。）

師 其實，大家剛剛體驗的就是“園藝師畫法”?；氐轿覀兊膯栴}，要增加什么條件，才一定能畫出橢圓呢？

生 繩長一定要大于繩頭之間的距離。

師 繩頭就是兩個定點;繩長就是橢圓上任意一點到兩個定點的距離之和，是個常數(shù)，記作2a。也就是說，在橢圓上任取一點M，則M、F1、F2構成三角形，或M在F1F2的延長線上，即MF1+MF2（=2a）>F1F2。那么，若2a=F1F2，得到的點的軌跡如何？若2a

生 2a=F1F2時，軌跡是一條線段。2a

師 不錯！那么，現(xiàn)在這個橢圓定義是否完整呢？

生 應該是平面上到兩個定點F1、F2距離之和為常數(shù)2a的點的軌跡是橢圓，且2a>F1F2。

師 大家給自己一點掌聲！你們通過上述從模型到作圖的過程，自行給出了和書本上一致的橢圓定義。其中，定點F1、F2稱為焦點，焦點F1、F2之間的距離F1F2稱為焦距，用2c來表示。這就是完整的橢圓定義。

（四）方程推導，求解橢圓

師 知道了橢圓的定義，下面就開始求橢圓的方程。求曲線方程的基本步驟是什么？

生 建系，設點，列式，化簡，檢驗。

師 很好！那如何建系？

生 以F1F2為x軸、F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。

師 嗯，不錯！這樣可以充分利用橢圓的軸對稱性。老師覺得，這樣建系求出來的方程會比較簡潔。根據(jù)對稱性，除了將F1、F2放在x軸上，還可以把F1、F2放在y軸上。就先以F1F2為x軸、F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。根據(jù)F1F2=2c，你能給出F1、F2的坐標嗎？

生 F1（-c，0）、F2（c，0）。

師 接下來，設點，列式。設M（x，y），根據(jù)MF1+MF2=2a，這兩個距離如何用坐標表示？

生 利用兩點之間的距離公式。

師 至此，我們已經(jīng)列好式了。下面有一個關鍵的問題：如何化簡？

生 先移項再平方。

師 不錯！平方去掉根號是最直接的想法。就請大家動手操作一下。

師 我們從之前得到的性質（也就是定義）出發(fā)，一步步推出了最后的方程。那得到的這個方程能叫作橢圓的方程嗎？

生 不能，沒有反過來驗證。

師 很好，大家都非常嚴謹！知道了橢圓上的點的坐標都滿足這個方程，還要反過來說明以這個方程的解為坐標的點都在橢圓上，滿足橢圓的性質（也就是定義）。大家課后思考一下，下節(jié)課處理。（出示圖9）現(xiàn)在觀察這幅圖，你能從中找出表示a、c、a2-c2的線段嗎？

師實際上，還有OA=OB=a?？梢?，他們都有明顯的幾何意義。不妨令a2-c2=b，得到x2a2+y2b2=1，這就是焦點在x軸上的橢圓標準方程。寫成這一形式，體現(xiàn)了數(shù)學中求簡、求美的思想。顯然，a>c>0。那么，a、b滿足什么數(shù)量關系？

生 a>b>0。

（五） 思想深化，玩轉橢圓

師下面我們繼續(xù)來玩轉（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a。剛剛我們通過“平方再平方”的方法得到了橢圓的標準方程，雖然思考上比較自然，但是計算量太大。還有其他更好的處理根號的方法嗎？

生 分子有理化。

師 分子有理化的第一步怎么做？試試看。

師掌聲獻給她！之所以想到分子有理化，是因為平方差非常好算，結果也簡單。

生剛剛這種方法也體現(xiàn)了換元思想：通過換元找r1、r2的關系式，然后解r1和r2，使過程的表達非常簡潔。

師說得很好！既然提到了換元，老師再給大家介紹一種非常神奇的方法。對于等差數(shù)列{a，b，c}，即a+c=2b而言，我們知道b加上公差就是c，b減去公差就是a。所以，可以令（x+c）2+y2=a+t，（x-c）2+y2=a-t。這種處理方式在很多不等式的證明中都會用到。既然引入了一個參數(shù)，那么該如何處理這個參數(shù)呢？

生 消參。

師 說消參也對。我們應該找到這個參數(shù)，就是要用已知的a、c來表示t。如何表示？

師說得太棒啦！其實，代回去得到的就是橢圓的焦半徑公式，這樣就很容易推導出橢圓的方程。這兩種“平方差法”在歷史上都出現(xiàn)過。前一種是由19世紀英國數(shù)學家賴特發(fā)現(xiàn)的，后來被收錄到俄羅斯的課本中。后一種被法國數(shù)學家洛必達采用過，其中的換元方式十分巧妙，被稱為“和差術”，從古代兩河流域就開始存在，后來希臘數(shù)學家丟番圖也將其用于解方程。同學們今天通過不斷地思考，也和偉大的數(shù)學家一樣，感受到了數(shù)學的魅力。

（六）課堂小結，欣賞橢圓

師本節(jié)課，在知識層面上，我們主要學習了橢圓的定義及其標準方程;在方法層面上，我們主要知道了處理根式的幾種方法，即“和差術”以及“平方差法”;在思想層面上，我們學會了利用解析思想解決幾何問題，類比平面問題解決空間問題。此外，在情感層面上，無論介紹歷史的視頻，還是旦德林雙球模型，古代數(shù)學家向我們展現(xiàn)的智慧，相比于書本上通過“兩釘一繩”作圖直接給出的橢圓定義，更讓我們受益匪淺。這些“冰冷的美麗”背后蘊含著“火熱的思考”。希望我們能好好學習數(shù)學家的探索精神，在以后的學習中更上一層樓！

三、學生反饋

課后，我們收集了全班73名學生對本節(jié)課的反饋信息。

針對課堂的整體情況，98.6%的學生表示聽懂了這節(jié)課的教學內容;85.0%的學生表示非常喜歡和贊成教師用融入數(shù)學史的方式來講授“橢圓及其標準方程”;82.2%的學生認為這節(jié)課中講數(shù)學史比講解大量例題更有意義。此外，74.0%的學生希望教師在以后的數(shù)學課中也采用這種方式授課，78.1%的學生表示非常愿意了解數(shù)學概念發(fā)生、發(fā)展的歷史?？梢?，大部分學生對數(shù)學史融入數(shù)學課堂持有積極的態(tài)度和深切的期許。

針對橢圓概念的理解情況，問卷借鑒高考題設置了以下問題：“AB是平面α的斜線段，A為斜足。若點P在平面α內運動，使△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是。請寫下你的思考過程?！?2.6%的學生能夠給出正確答案“橢圓”，他們有的將其想象成斜截圓錐來思考，有的借助橢圓定義來推理，有的借助投影來獲取，有的類比旦德林雙球模型來探索。少部分學生由于不熟悉橢圓的性質和定義，給出答案“圓”“線段”或“平行直線”。

問卷設置了如下問題來檢測學生的“橢圓”意象：“看到‘橢圓二字，你會想到什么？”58.9%的學生想到橢圓的標準方程及長軸、短軸和焦距、焦半徑;42.3%的學生想到橢圓的定義及其發(fā)展史;54.8%的學生想到用解析幾何思想建立直角坐標系，列方程進行代數(shù)處理;71.2%的學生想到生活中各種各樣的橢圓形狀;28.8%的學生想到“園藝師畫法”?？梢?，通過本節(jié)課的學習，無論知識本身還是多元文化，抑或思想方法層面，大部分學生都有所收獲。

問卷還設置了一個問題來了解學生這節(jié)課中印象最深的內容。典型的回答如下：“視頻讓我對圓錐曲線的發(fā)展、橢圓的定義有了更深的了解，開闊了我的視野?！薄皫缀萎嫲逅尸F(xiàn)的旦德林雙球模型，能幫助我更好地學習橢圓的性質，了解定義的由來?！薄俺苏n本上的推導方法以外，歷史上竟然還有這么多精彩巧妙的推導方法?！薄巴ㄟ^自己的一步步思考、發(fā)現(xiàn)來學習新知識，更有參與感，充滿成就感?！笨梢?，學生對橢圓定義的發(fā)展史、旦德林雙球模型的探索以及各種巧妙化簡方程、處理根式的方法印象深刻，也進一步體會到“冰冷的美麗”背后的“火熱的思考”。

四、教學反思

本節(jié)課應用數(shù)學史的方式主要有重構式和附加式。基于橢圓定義和橢圓方程的演變與發(fā)展，師生一問一答、交流碰撞，從認識橢圓、定義橢圓、求解橢圓到玩轉橢圓，環(huán)環(huán)相扣、深入思考，重構了歷史的過程。豐富的數(shù)學史素材為對話式課堂教學帶來了有趣的話題，搭建了溝通的平臺。同時，借助視頻幫助學生認識橢圓，向學生附加展示了歷史上數(shù)學家的貢獻以及橢圓的發(fā)生、發(fā)展，讓課堂生動活潑、趣味不斷。

本節(jié)課體現(xiàn)了數(shù)學史多元的教育價值。借助旦德林雙球模型架起古希臘時期與17世紀橢圓定義的橋梁，探索橢圓性質，重塑橢圓定義，巧妙推導橢圓方程，構建了“知識之諧”;不斷地激發(fā)學生思考，讓學生在畫圖的過程中體會橢圓的定義，在討論的過程中化簡橢圓的方程，展現(xiàn)和數(shù)學家一樣的智慧，營造了“探究之樂”;推導橢圓的標準方程時，書本上的“二次平方法”計算復雜，歷史上的“和差術”和“平方差法”簡潔巧妙，拓寬了學生的思維，彰顯了“方法之美”;思考模型形成過程中的變量與不變量，類比圓的定義抽象橢圓的定義，探索含有兩個根式方程的化簡思路，培養(yǎng)了學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，實現(xiàn)了“能力之助”;數(shù)學史揭示了數(shù)學知識是不斷演進的，而不是一成不變的，“冰冷的美麗”背后蘊含著“火熱的思考”，展示了“文化之魅”;引導學生跨時空與古人對話，了解古人精彩的推導方法，激發(fā)學生的學習興趣和自信，讓學生體會數(shù)學背后的探索精神和人文元素，達成了“德育之效”。

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