鄭 宇，張志龍，施衛(wèi)科，張 健，安 東，孫京陽

(中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院 空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100076)

引言

轉(zhuǎn)臺(tái)是航空航天半實(shí)物仿真系統(tǒng)的重要裝備[1]，主要用來慣導(dǎo)系統(tǒng)在空中的位姿，以對(duì)其追蹤性能進(jìn)行測(cè)試。轉(zhuǎn)臺(tái)一般有三個(gè)自由度，分別模擬慣導(dǎo)系統(tǒng)的俯仰、偏航和滾轉(zhuǎn)。對(duì)于大型轉(zhuǎn)臺(tái)，外部還擴(kuò)展了兩個(gè)自由度，作為紅外目標(biāo)模擬器，即大型五軸轉(zhuǎn)臺(tái)。這種大扭矩轉(zhuǎn)臺(tái)一般采用臥式布局，外框由2個(gè)液壓馬達(dá)同時(shí)驅(qū)動(dòng)，其扭矩大，可以實(shí)現(xiàn)很高的加速度和很快的響應(yīng)速度。然而由于存在外框的機(jī)械耦合和中框偏心旋轉(zhuǎn)帶來的慣量擾動(dòng)，對(duì)外框2個(gè)馬達(dá)的同步控制帶來很大挑戰(zhàn)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量研究[2-8]。其中自適應(yīng)魯棒控制器[9-10]結(jié)合了自適應(yīng)控制器和滑模控制器的優(yōu)點(diǎn)，即能夠應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的不確定參數(shù)，同時(shí)對(duì)非結(jié)構(gòu)不確定性有很強(qiáng)的魯棒性[11-12],是提高轉(zhuǎn)臺(tái)雙馬跟蹤和同步性能的有效手段。

然而，自適應(yīng)魯棒的控制效果很大程度上依賴于建模精度。目前針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的同步控制方法均是將由中框偏心旋轉(zhuǎn)帶來的慣量擾動(dòng)作為干擾來進(jìn)行處理，不能有效的改善2個(gè)馬達(dá)的跟蹤和同步性能。為此，本研究推導(dǎo)了轉(zhuǎn)臺(tái)的詳細(xì)動(dòng)力學(xué)模型，該模型考慮了外框機(jī)械耦合和中框慣量擾動(dòng)對(duì)2個(gè)馬達(dá)的影響?；谠撃Ｐ?，提出了變慣量自適應(yīng)魯棒同步控制算法。通過Lyapunov方法證明，選擇合適的控制器增益，該算法可以保證系統(tǒng)的跟蹤誤差和同步誤差同時(shí)收斂到一定鄰域。最后基于Simulink仿真，通過與傳統(tǒng)的PID控制器對(duì)比，驗(yàn)證了該算法的有效性。

1 轉(zhuǎn)臺(tái)建模

1.1 建模假設(shè)

圖1為所研究雙馬達(dá)驅(qū)動(dòng)電液伺服轉(zhuǎn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，是典型的三自由度臥式轉(zhuǎn)臺(tái)。轉(zhuǎn)臺(tái)采用O形外框，由2個(gè)液壓馬達(dá)同時(shí)驅(qū)動(dòng)繞俯仰軸運(yùn)動(dòng)；中框?yàn)閁形，由1個(gè)液壓伺服馬達(dá)單端驅(qū)動(dòng)繞偏航軸運(yùn)動(dòng)；內(nèi)框由力矩電機(jī)驅(qū)動(dòng)繞滾轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)。零位時(shí)，O形外框位于垂直平面內(nèi)。

圖1 臥式轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

由于本研究主要考慮外框2個(gè)馬達(dá)的同步控制，為簡(jiǎn)化建模流程，給出如下假設(shè)：

假設(shè)1：忽略內(nèi)框沿滾轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的偏心影響；

假設(shè)2：將中框運(yùn)動(dòng)等效為質(zhì)點(diǎn)繞偏航軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；

假設(shè)3：認(rèn)為馬達(dá)1與外框剛性固連，馬達(dá)2與外框的連接剛度為K；

假設(shè)4：由于馬達(dá)的頻寬遠(yuǎn)高于轉(zhuǎn)臺(tái)的機(jī)械頻寬，因此忽略馬達(dá)的動(dòng)態(tài)特性。

對(duì)于假設(shè)3，由于外框的剛度很大，可以用馬達(dá)1的轉(zhuǎn)角來近似外框的轉(zhuǎn)角。實(shí)際使用中，為馬達(dá)1安裝旋轉(zhuǎn)編碼器測(cè)量外框角度和角速度；馬達(dá)2與外框的連接軸上安裝力矩傳感器，測(cè)量其與外框的角度差。

1.2 轉(zhuǎn)臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型

簡(jiǎn)化后的系統(tǒng)模型如圖2所示，其中J1，J2，Jo分別為馬達(dá)1、馬達(dá)2、外框的等效旋轉(zhuǎn)慣量；m為中框與內(nèi)框的等效質(zhì)點(diǎn)；d為中框等效質(zhì)點(diǎn)的偏心距；α1，α2分別為馬達(dá)1、馬達(dá)2繞俯仰軸的旋轉(zhuǎn)角度；β為中框繞偏航軸的旋轉(zhuǎn)角度；T1，T2分別為馬達(dá)1、馬達(dá)2處的合力矩。

圖2 坐標(biāo)系

建立如圖坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)O位于外框中心；Y軸平行于俯仰軸并指向馬達(dá)1；Z軸通過圓心并垂直向上。

建立沿Y軸旋轉(zhuǎn)方向的力矩平衡方程：

(1)

(2)

其中J′=J1+Jo+m(sinβd)2為轉(zhuǎn)臺(tái)與馬達(dá)1的等效總慣量；g為重力加速度。式(1)為轉(zhuǎn)臺(tái)與馬達(dá)1的力矩平衡方程；式(2)為馬達(dá)2的力矩平衡方程。

1.3 摩擦力模型

僅考慮2個(gè)馬達(dá)的黏性摩擦力矩和庫(kù)倫摩擦力矩：

(3)

其中,τfi為馬達(dá)i的摩擦力矩；cfi為黏性摩擦系數(shù)；bfi為庫(kù)倫摩擦系數(shù)；Sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。因此合力矩可以表達(dá)為：

Ti=ui-τfi

(4)

其中，ui為馬達(dá)i的力矩輸入。將式(3)、式(4)帶入式(1)、式(2)，并將結(jié)果寫成矩陣形式，得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型：

(5)

從系統(tǒng)模型(5)可以看出，其慣量矩陣是時(shí)變非線性的，等效總慣量J′體現(xiàn)了中框旋轉(zhuǎn)造成的慣量擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。

重新定義如下狀態(tài)變量：

(6)

由此可得系統(tǒng)狀態(tài)方程如下：

其中,x=[x1,x2]T，y為系統(tǒng)輸出。定義系統(tǒng)誤差變量：

(7)

(8)

假設(shè)5：系統(tǒng)所有的不確定性參數(shù)和集中不確定性都是有界的，即滿足：

(9)

其中,θmin=[θ1min,θ2min,…,θ8min]為不確定性參數(shù)的下界常數(shù)向量；θmax=[θ1max,θ2max,…,θ8max]為不確定性參數(shù)的上界常數(shù)向量；δ為已知正向量，始終為2個(gè)向量各元素的比較。

2 變慣量自適應(yīng)魯棒同步控制(ARSCI)

針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)際工作中，外框兩側(cè)馬達(dá)由于機(jī)械耦合、變慣量干擾等原因造成的不同步問題，本研究所設(shè)計(jì)控制器旨在保證轉(zhuǎn)臺(tái)外框跟蹤性能的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步減小兩側(cè)馬達(dá)的同步誤差，從而提高轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)性能。

2.1 不連續(xù)映射與參數(shù)自適應(yīng)律

(10)

其中，i=1,…,8。采用如下自適應(yīng)律：

(11)

其中，Γ為正定的自適應(yīng)律參數(shù)矩陣，τ為需要后續(xù)章節(jié)設(shè)計(jì)的自適應(yīng)函數(shù)向量。對(duì)于任意自適應(yīng)函數(shù)τ，不連續(xù)映射式(10)均具備以下性質(zhì)：

2.2 自適應(yīng)魯棒同步控制器設(shè)計(jì)

給定如下控制率：

u=ua+us,us=us1+us2

(12)

(13)

其中,ε為任意小正數(shù)，代表了對(duì)集中不確定性的抑制水平。由文獻(xiàn)[13]可以給出非線性魯棒補(bǔ)償項(xiàng)的一種表達(dá)形式：

其中,ξ為正向量，其每個(gè)元素滿足：

ξi≥||Φi||||θM||+δi

其中,Φi為Φ的第i列；θM=θmax-θmin；δi為δ的第i個(gè)元素。

系統(tǒng)控制框圖如圖3所示。

圖3 控制框圖

2.2 控制器性能分析

設(shè)計(jì)如下Lyapunov函數(shù)：

V(t)=eTΛ1e

(14)

其中

顯然,Λ1和J均為正定矩陣，因此V(t)也是正定的。

對(duì)控制律(12)給出如下定理：

給定如下自適應(yīng)函數(shù)：

τ=ΦTe2

(15)

且設(shè)定合適的參數(shù)矩陣H1，H2使得如下矩陣Λ2正定：

則控制律(12)保證：

(1) 系統(tǒng)所有狀態(tài)變量有界，且李雅普諾夫函數(shù)滿足如下約束：

(2) 如果不存在集中不確性參數(shù)，即Δ=0，則系統(tǒng)所有狀態(tài)變量漸進(jìn)收斂，即當(dāng)t→∞時(shí)，e→0。

證明：對(duì)Lyapunov函數(shù)(14)兩邊求導(dǎo)，并帶入式(8)和控制律(12)可得：

利用不等式(13)可得：

為證定理(2)，重新定義以下Lyapunov函數(shù)：

對(duì)上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，假設(shè)Δ=0，并帶入自適應(yīng)律(11)和自適應(yīng)函數(shù)(15)可得：

由不連續(xù)映射的性質(zhì)2和不等式(13)可得：

由此定理(2)得證。

值得注意的是，定理(1)表明，無論自適應(yīng)函數(shù)如何選取，只要選擇合適的增益，所設(shè)計(jì)控制器都能保證所有系統(tǒng)狀態(tài)收斂到一定領(lǐng)域內(nèi)。自適應(yīng)參數(shù)的收斂方向是確保所有系統(tǒng)狀態(tài)收斂到此領(lǐng)域，而不是朝向其真實(shí)值。

3 仿真研究

3.1 仿真對(duì)比

設(shè)置以下兩組仿真，以驗(yàn)證所提算法的有效性：

(1) PID：2個(gè)馬達(dá)均采用PID控制器?？刂破鲄?shù)為：KP=15000，KI=1000,KD=30000；

(2) ARSCI：采用變慣量自適應(yīng)魯棒同步控制。控制器參數(shù)H1=diag(5000, 5000)，H2=diag(2000, 2000)；自適應(yīng)參數(shù)矩陣Γ=diag(0.01,0.01,0.001,1e6,0.1,0.1,1,1)；不確定性參數(shù)初始值θ0=[40.6，0.6，0.6，8000，5，5，40，40]；不確定性參數(shù)上界θmax=[46，16.25，1，15000，10，10，100，100]；不確定性參數(shù)下界θmin=[35.5，0，0.5，5000，2，2，20，20]。

輸入曲線分別采用0.5 Hz低頻和2 Hz高頻正弦曲線：

運(yùn)動(dòng)過程中，中框做轉(zhuǎn)角為30°的1 Hz正弦運(yùn)動(dòng)。仿真參數(shù)見表1。

表1 仿真參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果

圖4和圖5分別給出了低頻輸入指令下，PID控制器和ARSCI控制器的外框跟蹤誤差曲線，即αd-α1。PID控制器下，最大跟蹤誤差0.2°，且呈周期性變化；雖然ARSCV控制器的初始跟蹤誤差為0.2°，但15 s 后迅速收斂至0附近，這是因?yàn)樵诜抡婺Ｐ椭?，集中不確性為0，符合定理(2)的結(jié)論。

圖6和圖7為低頻輸入指令下，PID控制器和ARSCV控制器的同步誤差曲線，即α1-α2。PID控制器，最大同步誤差為0.2°；ARSCI控制器最大同步誤差0.1°，且迅速收斂到0。由此可見低頻輸入下，ARSCI的跟蹤和同步性能均顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制器。

圖4 低頻與PID控制器下的跟蹤誤差

圖5 低頻與ARSCI控制器下的跟蹤誤差

圖6 低頻與PID控制器下的同步誤差

圖7 低頻與ARSCI控制器下的同步誤差

圖8和圖9為高頻輸入指令下，PID控制器和ARSCI控制器的外框跟蹤誤差曲線。與圖4相比，高頻下PID控制器的跟蹤誤差顯著增大，而ARSCI控制的跟蹤性能沒有顯著變化。

圖8 高頻與PID控制器下的跟蹤誤差

圖9 高頻與ARSCI控制器下的跟蹤誤差

圖10和圖11分別為高頻輸入指令下，PID控制器和ARSCI控制器的同步誤差輸入?？梢妭鹘y(tǒng)PID控制器在不改變控制器參數(shù)的情況下，高頻性能迅速衰減。而ARSCI的跟蹤和同步性能在低頻和高頻輸入下均能保證優(yōu)異的性能。

圖10 高頻與PID控制器下的同步誤差

圖11 高頻與ARSCI控制器下的同步誤差

圖12和圖13分別給出了低頻和高頻輸入指令下，ARSCI控制器不確定性參數(shù)在自適應(yīng)控制率下的收斂情況?？梢?，隨著時(shí)間的推移，所有不確定性參數(shù)均收斂到特定值。但是收斂值并不是參數(shù)的真實(shí)值。根據(jù)所給出的定理，參數(shù)的收斂方向是確保系統(tǒng)狀態(tài)變量收斂。

圖12 低頻下ARSCI不確定性參數(shù)變化

圖13 高頻下ARSCI不確定性參數(shù)變化

4 結(jié)論

本研究針對(duì)臥式電液伺服轉(zhuǎn)臺(tái)外框馬達(dá)的同步問題，推導(dǎo)了轉(zhuǎn)臺(tái)的詳細(xì)動(dòng)力學(xué)模型。該模型考慮由中框旋轉(zhuǎn)造成的慣量擾動(dòng)對(duì)外框驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的影響。根據(jù)所推導(dǎo)的模型，提出了變慣量自適應(yīng)魯棒同步控制算法，通過Lyapunov方法，證明所提控制算法的穩(wěn)定性。仿真研究表明，所提算法在低頻和高頻下，均能保證系統(tǒng)的跟蹤和同步性能，且隨著時(shí)間的推移，跟蹤誤差和同步誤差均收斂到一定領(lǐng)域。

同時(shí)，從仿真結(jié)果也可以看出，所給出的自適應(yīng)控制率保證不確定性參數(shù)向系統(tǒng)誤差減小的方向收斂，顯然該方向不一定是不確定性參數(shù)的真實(shí)值。如何能夠在確保系統(tǒng)誤差減小的同時(shí)，保證不確定性參數(shù)收斂到真實(shí)值，是本研究未來的主要工作。