吳明珠，陳瑛，李興民

1.廣州工程技術(shù)職業(yè)學(xué)院信息工程學(xué)院，廣東廣州510075；2.華南師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東廣州510631；3.南方醫(yī)科大學(xué)珠江醫(yī)院，廣東廣州510280

前言

1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

使用誤差BP算法的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，包括了兩段學(xué)習(xí)過(guò)程［21］：（1）信號(hào)的正向傳播，首先輸入信號(hào)，然后通過(guò)隱含層作用于輸出層的節(jié)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)非線(xiàn)性變換，產(chǎn)生輸出層每個(gè)節(jié)點(diǎn)的實(shí)際輸出值；（2）對(duì)輸出誤差進(jìn)行BP，若前個(gè)過(guò)程得到的實(shí)際輸出值與理想的輸出值不相符合，則通過(guò)隱含層向輸入層逐層反傳，遞歸地計(jì)算出誤差，根據(jù)此誤差來(lái)循環(huán)調(diào)整權(quán)值，這也是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)訓(xùn)練的循環(huán)過(guò)程［22］。具體算法過(guò)程包括以下主要組成部分。

1.1 模式順傳播過(guò)程

將BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)定義為BPnet，樣本輸入向量Ak=(a1,a2,…,an)，輸出向量Yk=(y1,y2,…yq)。在隱含層，輸入向量Sk=(s1,s2,…sp)，輸出向量Bk=(b1,b2,…bp)；在輸出層，輸入向量Lk=(l1,l2,…lq)，輸出向量Ck=(c1,c2,…,cq)。其中，k= 1,2,…,m，為樣本數(shù)，輸入層設(shè)置的節(jié)點(diǎn)數(shù)為n，隱含層設(shè)置的節(jié)點(diǎn)數(shù)為p，輸出層設(shè)置的節(jié)點(diǎn)數(shù)為q［22］。

從輸入層到隱含層的權(quán)值設(shè)為wij，其中i=1,2,…,n;j= 1,2,…,p。從隱含層到輸出層的權(quán)值設(shè)為vjt，其中j= 1,2,…,p;t= 1,2,…,q。隱含層閾值為θj，j= 1,2,…,p；輸出層閾值為γt，t= 1,2…,q。

隱含層輸出為：

輸出層輸入為：

輸出層輸出為：

作者用詩(shī)意的筆調(diào)，描述了她在虛擬的“海邊草屋”，聽(tīng)到“竹林聽(tīng)雨”的誦讀聲，竟宿命般地被這位語(yǔ)言表達(dá)者磁性的聲音吸引了，變得如醉如癡。從此，“竹林聽(tīng)雨”成為她尋尋覓覓的知音。作者對(duì)他們?cè)谔摂M空間的聊天，寫(xiě)得詩(shī)意雋永，禪味幽遠(yuǎn)，又恣意汪洋，顯示兩個(gè)人精神的標(biāo)高。這樣的聊天，是知的相遇，也應(yīng)當(dāng)是情的融合，愛(ài)的訴說(shuō)，以至夜夜相見(jiàn)，不見(jiàn)不散。這一聊就是七年時(shí)光。

1.2 誤差BP過(guò)程

把輸出誤差經(jīng)過(guò)隱含層向輸入層逐層進(jìn)行BP，在這個(gè)過(guò)程中，誤差沿梯度方向減小，并且對(duì)應(yīng)于最小誤差的權(quán)值和閾值在反復(fù)訓(xùn)練和學(xué)習(xí)后得以確定［23］。

輸出層權(quán)值調(diào)整量為：

其中，α∈(0,1)，t= 1,2,…,q；j= 1,2,…,p。

輸出層閾值調(diào)整量為：

隱含層到輸入層連接權(quán)值調(diào)整量為：

隱含層閾值調(diào)整量為：

每個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)值調(diào)整與每個(gè)學(xué)習(xí)樣本的誤差Ek成比例，這種思想即為標(biāo)準(zhǔn)誤差BP 算法。但是如果把所有學(xué)習(xí)樣本的全局誤差全部輸入到網(wǎng)絡(luò)后再統(tǒng)一進(jìn)行連接權(quán)值的調(diào)整，這種思想即為累積誤差BP算法［23］，本研究使用的便是全局誤差。

1.3 記憶訓(xùn)練

將一組樣本輸入網(wǎng)絡(luò)后反復(fù)進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練，通過(guò)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)參數(shù)即權(quán)值和閾值來(lái)控制實(shí)際輸出值在規(guī)定的范圍內(nèi)。

1.4 學(xué)習(xí)收斂

網(wǎng)絡(luò)的全局誤差通過(guò)多次訓(xùn)練之后趨于最小值。在訓(xùn)練過(guò)程中，為避免收斂到局部最小點(diǎn)，本研究將一個(gè)小隨機(jī)數(shù)即動(dòng)量因子添加到每個(gè)權(quán)值上，并且適當(dāng)改變隱含層單元的個(gè)數(shù)。

2 Stein-Weiss解析函數(shù)

Stein［24］在高維的Hardy空間中推廣解析函數(shù)，引進(jìn)了Stein-Weiss 解析函數(shù)的定義。設(shè)在Rn區(qū)域中的向量函數(shù)集F=(μ1,μ2,…,μn) ，若F是該區(qū)域上實(shí)調(diào)和函數(shù)的梯度，則稱(chēng)F是該區(qū)域的Stein-Weiss解析函數(shù)，也稱(chēng)為共軛調(diào)和函數(shù)系［21］。

F=(μ1,μ2,…,μn) 滿(mǎn)足廣義Cauchy-Riemann 方程：，特別當(dāng)n=2 時(shí)，F(xiàn)=u+iv的解析充要條件是：(u,v)是Stein-Weiss解析函數(shù)［21］。

設(shè)：

血管的生長(zhǎng)恰好是多方向的，而Stein-Weiss 解析函數(shù)是高維函數(shù)理論，這為研究血管分割提供了適合的高維數(shù)學(xué)工具。與同為高維數(shù)學(xué)理論的八元數(shù)分析相比較，Stein-Weiss 相比八元數(shù)解析性更好。文獻(xiàn)［21］中首次使用Stein-Weiss 解析函數(shù)特征進(jìn)行血管分割，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法分割出的血管更加精細(xì)。然而隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在醫(yī)學(xué)圖像分割技術(shù)領(lǐng)域也應(yīng)用廣泛，為了更好地提高自動(dòng)診斷的準(zhǔn)確度，本研究將Stein-Weiss 解析函數(shù)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)相結(jié)合，提出一種新的血管分割算法。

3 基于Stein-Weiss解析性的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)血管分割算法由于對(duì)血管樣本進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)收斂的速度較慢，所以花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)；而且網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練程度也會(huì)影響識(shí)別效果，這也可能會(huì)導(dǎo)致識(shí)別率不高［25］。因此本研究提出了一種新的基于Stein-Weiss解析性的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)血管分割算法。因?yàn)樵谌S醫(yī)學(xué)圖像數(shù)據(jù)中血管的分布方向大多數(shù)是垂直的或者是傾斜的，所以本研究的算法綜合考慮三維體素在斜方向和垂直方向的結(jié)構(gòu)特征，即使用了體素的六鄰域結(jié)構(gòu)，然后將依據(jù)Stein-Weiss 函數(shù)解析性質(zhì)所得到的特征值輸入到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練，最終得到血管的分割結(jié)果。

3.1 定義體素的Stein-Weiss函數(shù)

定義六維向量空間中的向量函數(shù)f(x)，f(x)=f1e1+f2e2+f3e3+f4e4+f5e5+f6e6。其中f1、f2、f3、f4、f5、f6分別是體素點(diǎn)6個(gè)鄰域的灰度值。向量函數(shù)的虛部e1、e2、e3、e4、e5、e6對(duì)應(yīng)的數(shù)值是體素的上、下、左、右、前、后這6 鄰域的坐標(biāo)值［21］。體素的6 鄰域如圖1所示。

3.2 向量函數(shù)的差分式

將向量函數(shù)f(x)代入廣義Cauchy-Riemann 式，得到差分形式，其中i≠j。

3.3 提取特征值

圖1 體素的6鄰域示意圖Fig.1 Six neighborhoods of a voxel

實(shí)際圖像的解析性不會(huì)都完全符合上面公式，根據(jù)Stein-Weiss 函數(shù)的解析性定理，使用恰當(dāng)?shù)拈撝礣來(lái)判斷該體素點(diǎn)是否滿(mǎn)足解析性。將步驟3.2中得到的公式改寫(xiě)成，并將它們展開(kāi)得到如下16個(gè)特征值：

3.4 獲取訓(xùn)練樣本

設(shè)閾值T=0.6，若a0,a1,…,a15這16 個(gè)特征值均小于T，則認(rèn)為該體素在血管內(nèi)部，反之，則視該體素處于血管邊緣。重復(fù)以上步驟。

3.5 記憶訓(xùn)練

將步驟3.4 即基于Stein-Weiss 解析函數(shù)的特性分割所得到的血管樹(shù)作為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本，輸入樣本向量進(jìn)行訓(xùn)練，直至誤差達(dá)到設(shè)定閾值時(shí)停止，并保存權(quán)值和閾值。

3.6 學(xué)習(xí)收斂

選擇待分割血管圖像，提取該血管的特征值a0,a1,…,a15，以這16 個(gè)特征值輸入到BP 網(wǎng)絡(luò)的輸入層，利用步驟3.5 已經(jīng)訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入向量進(jìn)行訓(xùn)練，動(dòng)量因子設(shè)置為0.85，直到誤差收斂到指定值0.001，最后輸出的即為分割結(jié)果。本研究使用的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層有16節(jié)點(diǎn)，輸出層有2個(gè)節(jié)點(diǎn)。合適的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)的設(shè)置對(duì)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練影響很大，故本研究根據(jù)文獻(xiàn)［26］所提出來(lái)的確定方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，選取最佳節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為8。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本研究是在Window7 系統(tǒng)上做的實(shí)驗(yàn)；算法是使用Visual Studio 和MATLAB7.0 編程工具來(lái)實(shí)現(xiàn)；所有腹部CT 序列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都是由南方醫(yī)科大學(xué)珠江醫(yī)院提供。選取肝靜脈的造影數(shù)據(jù)S70 中的300張CT 切片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，CT 數(shù)據(jù)大小為512×512×320。隨機(jī)選取其中200 張CT 切片，將其作為文獻(xiàn)［25］中的傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的輸入樣本；同時(shí)，分別利用文獻(xiàn)［20］中提出的八元數(shù)和本研究提出的Stein-Weiss 解析函數(shù)的特性對(duì)這200 張CT 切片先進(jìn)行分割并得到血管樹(shù)邊緣，然后將它們分別作為文獻(xiàn)［20］提出的算法和本文算法中的BP 網(wǎng)絡(luò)的輸入樣本。余下的100 張CT 切片圖像作為網(wǎng)絡(luò)測(cè)試樣本，并將造影數(shù)據(jù)S70 中的第109 張CT 切片作為測(cè)試樣本（圖2）。

圖2 S70第109張CT切片F(xiàn)ig.2 The 109th CT slice of S70

本研究對(duì)比了文獻(xiàn)［20］中提出的基于八元數(shù)函數(shù)解析性質(zhì)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分割算法以及文獻(xiàn)［25］中的傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，分別對(duì)圖2進(jìn)行了血管分割，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。從這3個(gè)分割結(jié)果切片可以看出這3種算法都可以將大部分血管提取出來(lái)，然而相對(duì)于圖3b和圖3c，圖3a能夠分割出更多的血管分支。

圖3 3種算法對(duì)S70的分割切片圖Fig.3 Results of S70 segmentation by 3 algorithms

為了更直觀(guān)地進(jìn)行比較，分別對(duì)這3種算法的分割結(jié)果進(jìn)行三維重建，得到的血管模型如圖4所示。從這3 個(gè)三維重建結(jié)果比較可以看出圖4a 利用本文算法分割出來(lái)的血管相對(duì)于圖4b和圖4c而言分割出來(lái)的分支要多，而且噪聲點(diǎn)要少，所以本文算法分割效果更精細(xì)、更清晰。

為了客觀(guān)評(píng)價(jià)本文算法的分割效果，使用醫(yī)生手工分割結(jié)果作為分割評(píng)價(jià)的金標(biāo)準(zhǔn)［27］。對(duì)上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)S70，分別運(yùn)用本文算法、基于八元數(shù)解析性的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分割算法以及傳統(tǒng)的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，計(jì)算出血管分割效果的敏感度和特異度，同時(shí)記錄下3種算法各自所用的平均運(yùn)行時(shí)間，最終測(cè)試結(jié)果如表1所示。

圖4 3種算法對(duì)S70肝血管分割重建結(jié)果圖Fig.4 Reconstruction results based on S70 hepatic vessel segmentation by 3 algorithms

表1 3種算法的分割效果評(píng)價(jià)Tab.1 Evaluation of results of segmentation by 3 algorithms

從表1可以看出本研究所提出的基于Stein-Weiss 解析性的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)血管分割算法對(duì)血管圖像的分割有較好的實(shí)驗(yàn)效果。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果的敏感度和特異度分析來(lái)看，相對(duì)于基于八元數(shù)解析性的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)血管分割算法和傳統(tǒng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，本文算法分割出的血管會(huì)更清晰、更精細(xì)。在運(yùn)行時(shí)間方面，使用相同的機(jī)器配置，實(shí)驗(yàn)中選取200張S70數(shù)據(jù)圖像作為樣本進(jìn)行訓(xùn)練，傳統(tǒng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要訓(xùn)練迭代的次數(shù)較多，比較耗時(shí)，算法平均運(yùn)行時(shí)間為68 s；基于八元數(shù)解析性的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分割算法雖然訓(xùn)練迭代的次數(shù)較少，但是前期進(jìn)行八元數(shù)血管分割也需要耗費(fèi)一些時(shí)間，所以該算法的平均運(yùn)行時(shí)間為50 s；本研究所使用的血管分割算法，需要訓(xùn)練迭代的次數(shù)最少，然而同樣需要前期進(jìn)行Stein-Weiss 解析函數(shù)的血管分割，本文算法的平均運(yùn)行時(shí)間為35 s，相對(duì)于前面兩種算法而言，節(jié)省了時(shí)間。本研究所提出的基于Stein-Weiss解析性的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)血管分割算法具有較大的優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)語(yǔ)

本研究結(jié)合高維數(shù)學(xué)工具Stein-Weiss 解析函數(shù)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提出一種基于Stein-Weiss 解析性的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)血管分割算法。和傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法比較，該算法提高了三維重建圖像的精度，運(yùn)算時(shí)間也達(dá)到了實(shí)時(shí)應(yīng)用。不過(guò)從重建出來(lái)的三維血管樹(shù)中可以看到一些噪聲點(diǎn)，因此接下來(lái)的研究方向是：如何在保證分割精度和效率的前提下，提高分割的抗噪性。