四川省攀枝花市第七高級(jí)中學(xué)校

不管是初等教育還是高等教育,不可否認(rèn)課堂教學(xué)依然是教育各個(gè)階段不可或缺而且非常重要的組成部分.如果課堂教學(xué)僅僅是以考試分?jǐn)?shù)為導(dǎo)向的,那么學(xué)生失去的不僅僅是三年的時(shí)光,可能也錯(cuò)過了思維品質(zhì)發(fā)展的黃金時(shí)期.而“核心素養(yǎng)”概念的提出,讓我們不得不重新去審視現(xiàn)有的課堂模式以及學(xué)生綜合表現(xiàn)的評(píng)價(jià)方式.如果我們不想培養(yǎng)只會(huì)考試的學(xué)生,那么就必須對(duì)現(xiàn)有的課堂模式做出改變和調(diào)整,與之相對(duì)應(yīng)的學(xué)生評(píng)價(jià)方式也需要改變.要真正實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.筆者認(rèn)為最關(guān)鍵的是,轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式——從單一的簡單模仿被動(dòng)地“接受”知識(shí)過渡到以個(gè)人或者小組為單位以問題為導(dǎo)向的主動(dòng)“探索”知識(shí).

知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和升華其實(shí)都孕育在“問題的解決”之中.正如四川省教科所的吳中林教研員所言——培育核心素養(yǎng),關(guān)鍵在于“注重過程,落實(shí)四基,提升四能”,(“四基”指知識(shí)、技能、思想和經(jīng)驗(yàn),“四能”指發(fā)現(xiàn)、提出問題和分析解決問題)抓住這個(gè)關(guān)鍵,就培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者想從教材和課本中的有限的素材出發(fā),探討如何“提問題”、如何根據(jù)問題“做示范”進(jìn)而怎么讓學(xué)生增長相關(guān)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),進(jìn)而讓整個(gè)“提出問題”、“分析問題”和“解決問題”的過程能夠源源不斷地進(jìn)行輪轉(zhuǎn)下去.筆者認(rèn)為,以問題為導(dǎo)向的驅(qū)動(dòng),是學(xué)生后繼學(xué)習(xí)和提升自身素養(yǎng)的關(guān)鍵.

1 立體幾何中“蘊(yùn)含”的反問題

立體幾何與平面幾何相比較最大的差異是,識(shí)別空間中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系以及利用幾何體的“三視圖”進(jìn)行三維的反向構(gòu)建.這兩方面對(duì)學(xué)生的空間想象力以及空間抽象能力提出了更高的要求.如何讓“二維”過渡到“三維”更加的平穩(wěn)和自然,筆者認(rèn)為積累原始素材是一方面,更重要的要幫助學(xué)生在大腦中形成從平面圖形“搭建”空間幾何體這樣的一個(gè)過程.筆者在《從三維反向構(gòu)建來初探高中學(xué)生思維的培養(yǎng)》重點(diǎn)探討了這一個(gè)過程.

在此過程中,筆者關(guān)注到了立體幾何中所“蘊(yùn)含”的另外一個(gè)問題——“反問題”.

“三視圖”是三維的幾何體在二維的平面上形成了三個(gè)不同的投影圖.只要掌握了平行投影的規(guī)則,識(shí)別并畫出“三視圖”并不困難.但反過來,通過三視圖構(gòu)建幾何體則需要更多的方法和技巧.那么這樣反向構(gòu)建的空間幾何體是否是唯一的?!似乎我們很少做出這樣的回答.筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)了如下的案例:

例如:一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為( ).

解析:該立方體是由一個(gè)四棱錐和半個(gè)圓柱組合而成的,所以體積為故選D.

但此題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是由于是組合體,上方的幾何體在下方的投影容易和下方的幾何體的投影重疊造成識(shí)別上的偏差.容易將這個(gè)幾何體識(shí)別看作是由一個(gè)三棱錐和半個(gè)圓柱組合而成的.(其實(shí)如果頂部是三棱錐,那么正視圖上方的三角形應(yīng)該有虛線的.),因而錯(cuò)認(rèn)為體積為

反思:隨著空間直角坐標(biāo)系的引入,讓原本的幾何問題趨于“代數(shù)化”.雖然極大地緩解了部分學(xué)生空間想象力不足的弊端,但也同時(shí)錯(cuò)過了最重要的空間想象和空間抽象的原始素材,進(jìn)而也錯(cuò)過了學(xué)生最佳的想象力培養(yǎng)時(shí)期.與此同時(shí)我們教會(huì)學(xué)生從正面處理問題,同時(shí)也需要從反面去思考問題.“正難則反”不僅僅是一種解題策略,更是一種數(shù)學(xué)思想.解題過程從本質(zhì)上講,也是一個(gè)反向構(gòu)建的過程.從問題的局部出發(fā),搭建條件和結(jié)論之間的“橋梁”,從而最終還原問題本身的“面貌”.例如:交換定義域和值域的反函數(shù)與原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,又比如在立體幾何中的“平行”和“垂直”關(guān)系,在線線(平行或垂直)關(guān)系的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出線面和面面(平行或垂直)的關(guān)系,那么反向推導(dǎo)時(shí),反問題就出現(xiàn)了.

“反問題”現(xiàn)象在高中數(shù)學(xué)中是普遍存在的.其核心點(diǎn)是“交換”條件和結(jié)論,進(jìn)行反向推導(dǎo).更一般的情形是,在解題的過程中,如何利用局部條件反向推導(dǎo)分析已知條件,本質(zhì)上也是“反問題”思考問題的一種方式.在如今耳熟能詳?shù)摹?D”打印,計(jì)算機(jī)在圖象處理中的“降噪”等一系列問題都是反問題的直接應(yīng)用.

因此在如今的高中階段我們?nèi)绾伟l(fā)現(xiàn)這樣的“反問題”,并用數(shù)學(xué)的語言準(zhǔn)確地描述與表達(dá)是第一步.其次如何做好典型例題的引導(dǎo)和示范,讓學(xué)生增強(qiáng)用“反問題”思考問題的意識(shí),勇于嘗試增加解決問題的經(jīng)驗(yàn).最后讓學(xué)生能夠獨(dú)立地根據(jù)現(xiàn)有的教材所提供的案例,做“反問題”思考的梳理,嘗試提出類似的問題.

2 三角恒等變換中的發(fā)散與重構(gòu)教學(xué)

三角函數(shù)的引入,讓我們對(duì)“角”的認(rèn)識(shí)從內(nèi)涵和外延都上升到了新的層次.隨著正余弦和差角公式、輔助角公式以及三角形的正余弦定理的引入,讓我們可以更方便地解決平面甚至是空間中的諸多度量和角度問題.與此同時(shí)注意到三角函數(shù)的難點(diǎn)在于“三角恒等變換”,其是否順利將直接影響歸結(jié)為三角函數(shù)最終問題的求解.但如何能讓“紛繁復(fù)雜”的三角函數(shù)找到同一個(gè)“歸屬點(diǎn)”,筆者從以下的典例中得到了些許啟發(fā).

分析:本例考查三角恒等變換的知識(shí)點(diǎn),關(guān)鍵是如何理解諸如:“正余弦的和差角公式”、“倍角差角公式”、“輔助角公式”等一系列公式.

解法一:sin 15°=sin(45°-30°)

cos 15°=cos(45°-30°)=

解法二:從輔助角公式入手:

解法三:從正余弦的齊次式入手,分子分可以同除以cos 15°,構(gòu)造正切,可以聯(lián)想正切的和差角公式

解法四:注意到sin 15°與cos 15°是同角的正余弦,聯(lián)想二倍角的正余弦公式,可以考慮先將原式平方

解法五:注意到分子分母是兩個(gè)數(shù)和差,容易聯(lián)想平方差公式,再利用二倍角的余弦公式

解法六:利用和差化積公式

反思:問題的切入點(diǎn)決定了問題的解決策略和方法的優(yōu)劣.這一點(diǎn)在解析幾何中,代數(shù)問題和幾何問題的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)地十分明顯.華羅庚曾提到,“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”,可見數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的重要性.

在平時(shí)的教學(xué)中,可以根據(jù)教材深入挖掘一些學(xué)生容易理解的典型例題,在此基礎(chǔ)上從不同的角度闡釋,利用“一題多解”開拓學(xué)生的視野,培養(yǎng)多元化的思考問題的意識(shí).

3 直線系方程蘊(yùn)含的“一般化”思想

如果說“一題多解”側(cè)重于發(fā)散思維,那么“多題一解”則檢測(cè)的是歸納總結(jié)的能力.如何能站上更高的層次“俯看”問題,是問題解決的更高境界.直線系方程中所包含的“交點(diǎn)系方程”和“平行系方程”是我們“俯看”相關(guān)直線問題非常好的素材,如何“挖掘”好這部分素材,是提升學(xué)生歸納總結(jié)一般問題解決策略的關(guān)鍵性環(huán)節(jié).

例如:求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.

分析:本例由于在“交點(diǎn)”和“平行”的理解上的不同,可以有多種不同的解法.其實(shí)“直線方程”的難點(diǎn)在于“直線方程的的設(shè)法”,如何選擇合適的直線方程形式,是學(xué)生初學(xué)直線方程,必須學(xué)會(huì)嘗試增加解題經(jīng)驗(yàn)的不可或缺的過程.讓這樣“試錯(cuò)”過程更加高效的策略是——嘗試用不同的直線方程形式成功解決“同一個(gè)問題”,比較在解題過程中的“優(yōu)劣”,為優(yōu)化解題提供必要的參考依據(jù).其實(shí)“直線系方程”的核心是如何在不直接求出“交點(diǎn)”坐標(biāo)的前提下,可以將兩條直線的“交點(diǎn)信息”包含在所設(shè)直線方程之中.

方法一:由于直線l和直線3x+y-1=0平行,則直線l的斜率k=-3,根據(jù)點(diǎn)斜式有即所求直線方程為15x+5y+16=0.

方法二:由于直線l和直線3x+y-1=0平行,因此設(shè)直線l的方程為3x+y+d=0,又知直線l過點(diǎn)所以因此所求直線方程為15x+5y+16=0.

方法三:因?yàn)橹本€l過直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn),可設(shè)直線l的方程為:(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,即:(λ+2)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0,又由于直線l和直線3x+y-1=0平行,所以解之得從而所求所求直線方程為15x+5y+16=0.

反思:(1)與l:Ax+By+C=0平行的直線系方程為Ax+By+D=0(DC)

(2)經(jīng)過兩條直線:

與

交點(diǎn)的直線系方程:

(其中λ為參數(shù)),但要注意此方程不包括直線l2.

(3)將一類問題歸結(jié)在一起尋找“一般化”的過程,是數(shù)學(xué)從“理論”上升為“思想”必不可少的一個(gè)關(guān)鍵性環(huán)節(jié).其核心要點(diǎn)是,尋找和把握事物發(fā)展的本質(zhì).

下面這個(gè)例子給了筆者很大的啟發(fā):橢圓中內(nèi)接矩形面積最大值問題

分析:本例可以利用橢圓的參數(shù)方程.設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(x,y),為內(nèi)接矩形的面積由橢圓的參數(shù)方程可知:即P(2 cosθ,sinθ)那么點(diǎn)P關(guān)于x軸與y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為P1(2 cosθ,-sinθ),P2(-2 cosθ,sinθ),進(jìn)一步可知:

因此:Smax=4.

如果考慮線性變換,那么本例還可以得到如下的解法:

令線性變換:P(x,y)→P′(x′,y′):則即:橢圓經(jīng)過線性變換將變成一個(gè)圓,易知在單位圓中內(nèi)接矩形面積最大的情形是——圓的內(nèi)接正方形,其面積最大值為S′max=2.因此由可逆線性變換可知橢圓中的內(nèi)接矩形面積的最大值為Smax=2S′max=4.

這里可以進(jìn)一步解決:橢圓中內(nèi)接多邊形面積最大值.具體的解決方法可以是利用線性變換轉(zhuǎn)化為圓的內(nèi)接正多邊形面積的最大值情況.比如:求橢圓內(nèi)接八邊形面積的最大值

4 學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的分析

4.1 核心素養(yǎng)在課堂中的落實(shí)問題

高中數(shù)學(xué)中所涵蓋的六大核心素養(yǎng),分別是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.首先應(yīng)該明確的是不能將這些素養(yǎng)割裂看待,在解決一個(gè)實(shí)際問題的過程中這些素養(yǎng)是蘊(yùn)含其中的.既然素養(yǎng)蘊(yùn)含在解決問題的過程中,理應(yīng)把素養(yǎng)的培育的著眼點(diǎn)和落腳點(diǎn)放在問題的解決中.在解決問題的過程中核心素養(yǎng)自然也提高了.

其次核心素養(yǎng)在課堂中的落實(shí),并不是每節(jié)數(shù)學(xué)課簡單的堆砌.而應(yīng)該遵循如下的思維閉環(huán):

教師提出問題→學(xué)生(或者學(xué)生合作)獨(dú)立思考→提出解決問題的方案或策略→師生共同點(diǎn)評(píng)可行性→問題改善或者解決→→總結(jié)歸納在解決問題中的一般處理方法和思路,建立類似問題的方法體系→在“新”問題中,嘗試用這種思路來處理思考問題,進(jìn)而獨(dú)立解決.

簡單地說,就是不斷地“提出問題——解決問題”,再“提出問題——解決問題”.

更為具體地表現(xiàn)為:課堂教學(xué)僅僅是這個(gè)思維閉環(huán)中的一個(gè)“局部”,如何讓閉環(huán)完整地并且不斷地推動(dòng)下去才是素養(yǎng)落實(shí)的關(guān)鍵.筆者認(rèn)為讓學(xué)生有這樣一種解決問題的“意識(shí)”,讓學(xué)生保持好奇心和想象力是素養(yǎng)培育的源泉.其實(shí)中學(xué)的教學(xué)素材不少,如何去挖掘素材所蘊(yùn)含的“深刻性”,讓有限的“典例”催生出無限的解決問題的方法和策略才是我們應(yīng)該關(guān)注的重點(diǎn).

4.2 個(gè)人學(xué)習(xí)層次將直接影響核心素養(yǎng)培養(yǎng)的高效性

1946年,美國學(xué)者埃德加.戴爾(Edgar Dale)提出了“學(xué)習(xí)金字塔”(Cone of Learning)的理論(如下圖),之后美國緬因州國家訓(xùn)練實(shí)驗(yàn)室也做了相同的實(shí)驗(yàn),并發(fā)布了“學(xué)習(xí)金字塔”報(bào)告.

報(bào)告稱:人的學(xué)習(xí)分為“被動(dòng)學(xué)習(xí)”和“主動(dòng)學(xué)習(xí)”兩個(gè)層次.在被動(dòng)學(xué)習(xí)中,聽講、閱讀、試聽和演示,學(xué)習(xí)內(nèi)容的平均留存率為5%、10%、20%、30%.存在一個(gè)遞增的趨勢(shì).而在主動(dòng)學(xué)習(xí)中,通過討論、實(shí)踐和教授給他人,能將原來被動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)容留存率,從最高的30%,提升到50%、75%和90%.從結(jié)果來看,從被動(dòng)學(xué)習(xí)到主動(dòng)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容平均留存率存在一個(gè)“倒三角形”,這個(gè)模型很好地展示了不同學(xué)習(xí)深度和層次之間的對(duì)比.

從以上的結(jié)果不僅可以看出,我們現(xiàn)行的課堂教學(xué)模式需要做出調(diào)整,課堂外學(xué)生的核心素養(yǎng)也需要及時(shí)固化下來.前面提到的“解題意識(shí)”不僅僅存在與課堂內(nèi)的教學(xué),課堂外的主動(dòng)學(xué)習(xí)(包括主動(dòng)提出問題、主動(dòng)討論問題的解決方案、實(shí)踐方案的可行性、有意識(shí)地推廣結(jié)果)才是真正形成核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.若這個(gè)閉環(huán)沒有“銜接”到位,課堂上教師的一切努力可能都沒有實(shí)際成效.所謂的核心素養(yǎng)落實(shí)也是不切實(shí)際的“空談”.

另外如今的時(shí)代,知識(shí)的獲取已經(jīng)不再是一個(gè)難題,但在如今知識(shí)極大豐富的背景下,知識(shí)的創(chuàng)造運(yùn)用卻十分有限.在下圖的閱讀金字塔中,不難發(fā)現(xiàn),其實(shí)更多地我們?cè)跍\意識(shí)地“消費(fèi)”知識(shí),并沒有沒有深度學(xué)習(xí)運(yùn)用甚至“創(chuàng)造”知識(shí).

在如今的課堂教學(xué)中如何讓每一堂課既有“輸入”也有“輸出”,也是核心素養(yǎng)在課堂中落實(shí)的重要參考指標(biāo).讓學(xué)生將課堂中的有效知識(shí),及時(shí)整理形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和知識(shí)體系,并且通過解決問題及時(shí)“輸出”是現(xiàn)在亟待解決的核心問題.當(dāng)然“輸出”的過程可以是多樣的,做規(guī)定的書面作業(yè)是最基礎(chǔ)的一環(huán),可否考慮在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)形成的過程中增加一些“開放性”的問題,讓學(xué)生體會(huì)到“運(yùn)用”知識(shí)來解決一些實(shí)際問題.也讓學(xué)生的思維從課堂逐步過渡到生活,讓學(xué)生真正體會(huì)知識(shí)是靈活的,知識(shí)的增加不僅僅是課本上的一個(gè)“點(diǎn)”,更是生活中問題解決的方式和手段.不斷地學(xué)習(xí)和積累讓問題的解決更加多元化,更加常態(tài)化.

4.3 問題提出和解決的方向性

我們應(yīng)該更加關(guān)注高中數(shù)學(xué)中的工具性知識(shí)板塊,這是提出問題和解決問題的出發(fā)點(diǎn),也是提出問題靈感和觸發(fā)解題意識(shí)的核心關(guān)注點(diǎn).

例如:向量、三角函數(shù)、不等式、復(fù)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)等一系列的工具性知識(shí)板塊,讓其真正發(fā)揮作用才能從本質(zhì)上談“知識(shí)運(yùn)用”.(如表1)

表1 知識(shí)與思維層次

在講解結(jié)束之后的一個(gè)章節(jié),應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行有效地梳理和總結(jié),是我們?nèi)菀缀雎缘膯栴}.可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行思考:

(1)本章節(jié)解決了一些什么問題?是在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上,拓寬了問題的廣度和深度?還是提出了一些新的問題?

(2)解決問題的核心方法和策略是什么?有什么核心的定理或者公理?

(3)當(dāng)遇到新問題時(shí),能否有一些標(biāo)志性(可以識(shí)別)的“局部”引導(dǎo)我們利用這部分知識(shí)進(jìn)行更加深入的思考(只要能推動(dòng)問題向簡化方面轉(zhuǎn)化,我們認(rèn)為問題都可以認(rèn)為是有進(jìn)展的.)

(4)能否與其他的知識(shí)板塊建立聯(lián)系(不同知識(shí)板塊的融合和交織)

問題的解決是一個(gè)很抽象的過程,但確立一個(gè)可以嘗試的方向是問題解決的第一步.其次是相關(guān)經(jīng)驗(yàn)(之前解決過類似的問題)作為輔助,最終推動(dòng)問題向已知的可測(cè)(可以大致看到問題最終的方向)的方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化,逐步解決越來越可控的問題,最終有望問題得到真正解決.

4.4 關(guān)于核心素養(yǎng)的后繼思考

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí),并不是每節(jié)數(shù)學(xué)課簡單的堆砌,是一個(gè)以學(xué)生思維發(fā)展、素養(yǎng)培育為主線的“漫長”過程.在這個(gè)過程中不僅僅是教師在起作用,學(xué)生必須在課前和課后有意識(shí)地去消化吸收數(shù)學(xué)思想,最終以問題為導(dǎo)向,驅(qū)動(dòng)學(xué)生利用所學(xué)勇于嘗試解決一些新的問題,并在不斷的問題解決中提升自己的素養(yǎng).

另外筆者還在積極地探索如何利用教育教學(xué)的前瞻性培養(yǎng)學(xué)生更為廣闊的視野,以及如何利用多媒體教學(xué),計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)進(jìn)一步推動(dòng)核心素養(yǎng)的落實(shí).