廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

1 引言

1.1 高觀點(diǎn)的內(nèi)涵

“高觀點(diǎn)”是“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”的簡(jiǎn)稱(chēng)[1].19世紀(jì)末20世紀(jì)初,德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家菲利克斯·克萊因在其著作《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中提出了“高觀點(diǎn)”下的中學(xué)數(shù)學(xué)的思想.“高觀點(diǎn)”是指運(yùn)用高等數(shù)學(xué)(包括經(jīng)典高等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué))的知識(shí)、方法、思想等,去分析和解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題[2].它包含三個(gè)方面的內(nèi)容:在中學(xué)數(shù)學(xué)中滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法;高等數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的具體指導(dǎo);在高等數(shù)學(xué)的背景下分析中學(xué)數(shù)學(xué)某些難以處理的問(wèn)題[3].

1.2 初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系

高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)這兩個(gè)領(lǐng)域聯(lián)系緊密而且有交叉和融合,這就意味著用“高觀點(diǎn)”的數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的教學(xué)具有可行性[4].初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間存在著緊密的聯(lián)系,初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和發(fā)展[5].即高等數(shù)學(xué)建立在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上,高等數(shù)學(xué)的發(fā)展推動(dòng)著初等數(shù)學(xué)的發(fā)展.用高觀點(diǎn)的視角剖析初等數(shù)學(xué)問(wèn)題,分析高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系,可以進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 “高觀點(diǎn)”下的典型案例

高觀點(diǎn)題是指與高等數(shù)學(xué)相聯(lián)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題,這樣的問(wèn)題或以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景,或體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法和推理方法[6].高觀點(diǎn)題有利于區(qū)分考生能力,切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

2.1 用柯西不等式解決最值問(wèn)題

柯西不等式是由偉大的數(shù)學(xué)家柯西發(fā)現(xiàn)的.其定義及表現(xiàn)形式如下:

二維形式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d為任意實(shí)數(shù).而等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc(即時(shí).

案例探究1(2019年高考桂林市、賀州市、崇左市聯(lián)合調(diào)研考試,理科數(shù)學(xué),第23題):設(shè)函數(shù)

(1)若a=1,b=0,求f(x)≥2的解集;

(2)若f(x)的最小值為8,求a+2b的最大值.

解析:(1)因?yàn)閍=1,b=0,所以當(dāng)x＜0時(shí),1-x-x≥2,解得當(dāng)0≤x＜1時(shí),1-x+x≥2,此時(shí)1≥2矛盾,即無(wú)解;當(dāng)x≥1時(shí),x-1+x≥2,解得

(2)因?yàn)?/p>

又根據(jù)柯西不等式知:

則

a+2b(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),故a+2b的最大值為

案例探究2(2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試押題卷七,文科數(shù)學(xué),第23題):已知a,b,c,d均為正實(shí)數(shù),

(2)求a2+b2+c2+d2的最小值.

解析:(1)由基本不等式,可知:

當(dāng)且僅當(dāng)a2=4b2=9c2=16d2時(shí)取到等號(hào).

即原命題成立.

(2)根據(jù)柯西不等式:

注:最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題,在近年的文科數(shù)學(xué)題和理科數(shù)學(xué)題中均有涉及.兩個(gè)典型例題都運(yùn)用了柯西不等式這種高等數(shù)學(xué)方法:例1 應(yīng)用的是柯西不等式的二維形式,例2 應(yīng)用的是柯西不等式的一般形式,它們都使得最值問(wèn)題迎刃而解.

值得注意的是,我們?cè)趹?yīng)用柯西不等式解答一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),應(yīng)仔細(xì)對(duì)照柯西不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式、各個(gè)變量所對(duì)應(yīng)的關(guān)系,以及等號(hào)成立所滿足的條件[8].運(yùn)用柯西不等式解題,使得解法更自然、簡(jiǎn)潔.

2.2 用洛必達(dá)法則解決含參問(wèn)題

不定式極限是指兩個(gè)無(wú)窮小量或兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限,以導(dǎo)數(shù)為工具研究型或型這種不定式極限的方法叫做洛必達(dá)(L’Hospital)法則[9].

案例探究3(2019屆“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考卷,理科數(shù)學(xué),第21題):已知函數(shù)為實(shí)數(shù).

(1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)如果對(duì)任意x≥0,f(x)≤x+1 恒成立,求a的取值范圍.

解析:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=(x2+2x+1)e-x,則f′(x)=-(x+1)(x-1)e-x,要求出的單調(diào)遞增區(qū)間,令f′(x)＞0,即f′(x)=-(x+1)(x-1)e-x＞0,則(x+1)(x-1)＜0,得-1＜x＜1,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1).

(2)由f(x)≤x+1,得:整理,得:

令

則

令

則

而

則h′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,所以h′(x)＞h′(0)=0,則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)＞h(0)=0,則

則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由洛必達(dá)法則,得

即當(dāng)x →0+時(shí),g(x)→2,又

故a≤2.

注:極限的計(jì)算方法有很多,應(yīng)用洛必達(dá)法則求解不定式極限就是其中一種重要的方法[10].本例巧妙地運(yùn)用了洛必達(dá)法則進(jìn)行求解,首先要注意題中所給的比式極限是否為不定式極限,其次看它是否滿足洛必達(dá)法則的其他條件.該題涉及的解題方法為《數(shù)學(xué)分析》中的“洛必達(dá)法則”,用高等數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題,這是一種高觀點(diǎn).

3 啟迪與思考

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開(kāi)解題教學(xué).在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,我們關(guān)注的是其中最基本的知識(shí)和方法,落腳點(diǎn)是學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).基于“高觀點(diǎn)”的教學(xué)有以下三點(diǎn)建議:

(1)教師要善于運(yùn)用高觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)思想來(lái)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)中處理問(wèn)題的基本觀點(diǎn),高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,如極限思想、轉(zhuǎn)化思想等,同時(shí)也隱藏于中學(xué)數(shù)學(xué)中,它們組成了指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的“高觀點(diǎn)”.因此,教師在解題教學(xué)中要注重滲透高觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)思想.

(2)教師要站在更高的視角去剖析中學(xué)數(shù)學(xué)試題.近年來(lái),很多地區(qū)的高考命題中都體現(xiàn)著高觀點(diǎn).因此,教師應(yīng)努力尋找高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn),如搜集一些典型的“高觀點(diǎn)”文獻(xiàn)資料,自己開(kāi)發(fā)練習(xí)題等[11],從更高的角度去分析相關(guān)的初等數(shù)學(xué)問(wèn)題.

(3)教師要在高觀點(diǎn)的新形勢(shì)下夯實(shí)自身的專(zhuān)業(yè)知識(shí).隨著新課程改革的不斷深入,高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想、方法等在中學(xué)教材中均有體現(xiàn).因此,中學(xué)數(shù)學(xué)教師要樹(shù)立終身學(xué)習(xí)的觀念,加強(qiáng)對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的再學(xué)習(xí),提高自身的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng).