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        定積分的背景:面積和路程問題

        2015-11-15 11:25:44王瑰麗
        新課程(中學(xué)) 2015年8期
        關(guān)鍵詞:曲邊估計值梯形

        王瑰麗

        (陜西省寶雞市鳳翔縣彪角中學(xué))

        一、教學(xué)內(nèi)容分析

        課題:定積分的背景—面積和路程問題

        課型:新授課

        教材:《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)選修2-2》(北師大版)

        教材分析:本節(jié)的主要內(nèi)容是展現(xiàn)定積分的實際背景,形成定積分的概念。教材設(shè)計了3個實例:求曲邊梯形的面積、根據(jù)物體運動的速度求路程、求物體拉力做的功。通過這些問題的解決,總結(jié)這些問題的解決思路:即通過分割求和、加細(xì)、減小誤差,然后再提高精確度的過程,這個過程是定積分思想的核心,為定積分概念的引入奠定了背景和方法的基礎(chǔ)。

        二、學(xué)情分析

        從學(xué)生的思維特點看,會從物理角度對問題進(jìn)行解決。這是積極因素,應(yīng)因勢利導(dǎo)。

        教學(xué)對象是學(xué)生,雖然經(jīng)過一年多的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),具有一定的分析問題和解決問題的能力,邏輯思維能力也初步形成,但思維盡管活躍、敏捷,卻缺乏冷靜、深刻,因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)。

        三、設(shè)計思想

        《新課程改革綱要》提出,要“改變課程實施過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀,倡導(dǎo)學(xué)生主動參與、樂于探究、勤于動手,培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”。對這一目標(biāo)本人認(rèn)為更加注重培養(yǎng)學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的能動性、獨立性、創(chuàng)造性、發(fā)展性。

        四、教學(xué)目標(biāo)

        1.知識與技能:(1)了解定積分的實際背景。

        (2)借助幾何直觀體會定積分的基本思想,初步了解定積分的概念。

        2.過程與方法:通過洞察不同背景問題中蘊(yùn)涵的相同數(shù)學(xué)內(nèi)涵的過程,領(lǐng)會如何先考慮得到近似解,然后再研究提高精確程度的定積分的解決問題的基本方法,提高從數(shù)學(xué)角度分析和看待問題的能力。

        3.情感、態(tài)度與價值觀:通過對不同背景下的問題用統(tǒng)一數(shù)學(xué)方法的揭示,認(rèn)識數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系,以及數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用。

        五、教學(xué)重點與難點

        1.教學(xué)重點:對實際問題解決的分析(即如何通過分割、求和、取極限求出曲邊梯形面積和變速直線運動物體的路程),這個過程是積分思想的靈魂。

        2.教學(xué)難點:例題的分析及解題思路的總結(jié)提煉。

        六、教學(xué)工具

        借助多媒體

        七、教學(xué)過程

        (一)創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

        我們學(xué)過如何求正方形、長方形、三角形等的面積,這些圖形都是由直線段圍成的。那么,如何求曲線圍成的平面圖形面積呢?

        1.曲邊梯形定義

        我們把如圖由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的圖形叫曲邊梯形。

        曲邊梯形概念的理解:

        (1)曲邊梯形是由曲線段和直線段所圍成的平面圖形。

        (2)曲邊梯形與“直邊圖形”主要區(qū)別在于前者有一邊是曲線段而“直邊圖形”的所有邊都是直線段。

        2.問題提出

        問題1圖中陰影部分由拋物線y=x2,直線x=1及x軸圍成的平面圖形,試估計這個曲邊梯形的面積S。

        圖1

        圖2

        (二)操作探究

        活動1:方案提出

        引導(dǎo)學(xué)生回顧曾經(jīng)用正多邊形逼近圓的方法(即“以直代曲”的思想)求出了圓的面積,讓學(xué)生初步形成“以直代曲”的思想,在具體“以直代曲”的過程中能通過小組討論的方式提出多種方案。

        活動2:方案落實

        方案落實1:將區(qū)間[0,1]平均分成5份,如圖所示。

        圖3

        圖4

        在圖3中所有小矩形的面積之和S1顯然大于所求曲邊梯形的面積,我們稱S1為S的過剩估計值,在圖4中所有小矩形的面積之和S1顯然小于所求曲邊梯形的面積,我們稱S1為S的不足估計值,有 S1=(0+0.22+0.42+0.62+0.82)×0.2=0.24

        我們可以用s1或S1近似表示S,但是都存在誤差,二者之差為S1-s1=0.2,但是無論是用s1還是S1來表示曲邊梯形的面積,誤差都不會超過0.2,如圖5所示。

        圖5

        圖6

        方案落實 2:為減小誤差,我們將區(qū)間[0,1]10等分,則所求面積的過剩估計值為 S2=(0.12+0.22+…+12)×0.1=0.385的解決過程是相似的,都是通過分割自變量的區(qū)間得到過剩估計值和不足估計值,分割的越細(xì),估計值就越接近精確值;當(dāng)分割成的小區(qū)間的長度趨于0時,過剩估計值和不足估計值都趨于要求的值。)

        (三)初步應(yīng)用

        1.計算直線x=0,x=1,y=0和曲線y=x3圍成的陰影圖形的面積。

        2.火箭發(fā)射 t s 后的速度為 v(t)(單位:m/s),假定 0,對函數(shù)v(t)按上式所做的和具有怎樣的實際意義?

        (四)小結(jié)

        本節(jié)課主要內(nèi)容是展現(xiàn)定積分的實際背景,通過對實際問題的求解總結(jié)出這類問題的解決思路,即通過分割—以直代曲—作和—逼近。

        (五)課后作業(yè)習(xí)題4-1 A組1,2,3

        不足估計值為 S2=(02+0.12+0.22+…+0.92)×0.1=0.285

        二者的差值為S2-S2=0.1,此時,無論用S2還是S2來表示S,誤差都不超過0.1。

        活動3:探究總結(jié)

        將區(qū)間[0,1]平均分成許多小區(qū)間,把曲邊梯形拆分成一些小曲邊梯形,對每個小曲邊梯形“以直代曲”,即用矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積,得到每個小曲邊梯形的面積,對這些近似值求和,就得到曲邊梯形面積的近似值。

        可以想象,區(qū)間拆分的越細(xì),近似程度就越好,亦即:用化歸為計算矩形面積和逼近思想來求曲邊梯的面積??赏ㄟ^以下幾個步驟具體實施:(1)分割;(2)近似代替(過剩和不足估計值);(3)逼近。

        活動4:動手實踐

        (1)司機(jī)猛踩剎車,汽車滑行5 s后停下,此過程中汽車的速度 v 是時間 t的函數(shù):v(t)=t2-10t+25(0≤t≤5)

        請估計汽車在剎車過程中滑行的距離s。

        (2)做功問題:一根彈性系數(shù)0.4N/cm的彈簧,其拉力F=F(x)=0.4x。彈簧的一端固定在墻上,另一端固定在物體上,在不考慮摩擦的情況下物體在力F作用下勻速移動,從原來位置移動10 cm。估計這一過程中拉力所做的功。

        (此過程讓學(xué)生自己完成,讓學(xué)生體會:在上面的討論中,面積問題、路程問題以及做功問題是三個實際意義完全不同的問題,但他們

        八、板書設(shè)計

        1.1定積分的背景—面積和路程問題(一)創(chuàng)設(shè)情景,提出問題1.曲邊梯形的定義2.問題提出(二)操作探究1.方案落實2.探究總結(jié)3.動手實踐(三)初步應(yīng)用

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