胥慶，首都師范大學(xué)附屬中學(xué)教學(xué)主任、數(shù)學(xué)高級(jí)教師，北京市首屆高中教師基本功大賽一等獎(jiǎng)獲得者，海淀區(qū)骨干教師，首都師范大學(xué)兼職研究生導(dǎo)師。在全國(guó)或北京市各類(lèi)評(píng)比中獲一、二等獎(jiǎng)文章十余篇。目前主持北京市“十三五”規(guī)劃一般課題1項(xiàng)，海淀區(qū)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題1項(xiàng)。

[摘 ? 要]學(xué)生所犯的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤通常包括馬虎型錯(cuò)誤、誤解概念造成的錯(cuò)誤、與表述相關(guān)的錯(cuò)誤以及由于工具使用不正確而引起的錯(cuò)誤。教師應(yīng)對(duì)不同種類(lèi)的錯(cuò)誤進(jìn)行識(shí)別，并根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情，選擇采取糾正、探究或包容的方式處理這些錯(cuò)誤。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué);錯(cuò)誤類(lèi)型;探究;包容

錯(cuò)誤在數(shù)學(xué)課堂中起著核心作用，因?yàn)樗鼈兎从沉藢W(xué)生推理的方式，并闡明了學(xué)生嘗試構(gòu)建自己知識(shí)的過(guò)程[1]。教師處理錯(cuò)誤的方式是否得當(dāng)，關(guān)系到學(xué)生的概念性理解，從而會(huì)增強(qiáng)或限制學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知。在中學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，處理錯(cuò)誤的方法并不都是合適的，特別是存在厭惡錯(cuò)誤、躲避錯(cuò)誤和認(rèn)為處理錯(cuò)誤就是在補(bǔ)救的思想[2]。教師通過(guò)分析學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的原因，可以更好地通過(guò)錯(cuò)誤促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

一、對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的分析

1.不正確解答的原因

學(xué)生無(wú)法獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確解答有很多原因，包括但不限于粗心、缺乏數(shù)學(xué)概念的知識(shí)或不理解數(shù)學(xué)任務(wù)的要求[3]。“失誤”“錯(cuò)誤”和“誤解”常被用于描述偏離預(yù)期結(jié)果的情況，但它們的具體含義不同，代表了不同類(lèi)型的“不正確”。通?！笆д`”是指由于粗心而犯的錯(cuò)，因?yàn)樗皇菍?duì)概念產(chǎn)生“誤解”，所以比較容易糾正。但是“錯(cuò)誤”通常是系統(tǒng)性的，它們定期發(fā)生，普遍并且持續(xù)存在。而所謂誤解，是指導(dǎo)致錯(cuò)誤的潛在概念框架。誤解常常會(huì)導(dǎo)致一系列并非偶然的錯(cuò)誤。

那么，誤解又是怎么產(chǎn)生的呢？建構(gòu)主義理論認(rèn)為，人們以先驗(yàn)知識(shí)為基礎(chǔ)，積極構(gòu)建認(rèn)知升級(jí)以建立新知識(shí)，這是一個(gè)吸收和適應(yīng)的過(guò)程。即將新知識(shí)“融合”到現(xiàn)有模式中，當(dāng)新知識(shí)與現(xiàn)有架構(gòu)發(fā)生沖突并且需要對(duì)架構(gòu)進(jìn)行重組、合并時(shí)，需要“適應(yīng)”，而適應(yīng)新知識(shí)的過(guò)程比吸收知識(shí)更具挑戰(zhàn)性。學(xué)生常常在正確的先驗(yàn)知識(shí)基礎(chǔ)上“過(guò)度概括”新知識(shí)，他們將在某個(gè)領(lǐng)域正確的知識(shí)不正確地應(yīng)用于另一個(gè)領(lǐng)域。這就解釋了錯(cuò)誤不是隨機(jī)產(chǎn)生的原因。但是，錯(cuò)誤對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)來(lái)講是必需的、合理的，轉(zhuǎn)變錯(cuò)誤的過(guò)程將促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展。

2.對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的誤解

“錯(cuò)誤”一詞常有負(fù)面含義。在學(xué)校中廣泛使用的總結(jié)性評(píng)估使學(xué)生認(rèn)為犯錯(cuò)可通過(guò)扣減分?jǐn)?shù)予以“懲罰”。而將誤解視為問(wèn)題可能會(huì)破壞學(xué)生對(duì)已經(jīng)學(xué)到的正確知識(shí)的信心。此外，盡管教師可能沒(méi)有明確地告訴學(xué)生“犯錯(cuò)誤是有問(wèn)題的”，但是如果避免學(xué)生在課堂上犯錯(cuò)誤和討論錯(cuò)誤，就會(huì)暗示學(xué)生“錯(cuò)誤是有問(wèn)題的”。因此，教師應(yīng)對(duì)錯(cuò)誤保持敏感并進(jìn)行有效處理，使錯(cuò)誤可以激勵(lì)學(xué)生，成為促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的工具。教師將學(xué)生的錯(cuò)誤簡(jiǎn)單地歸咎于學(xué)生學(xué)得不好或教師教得不好，都不是正確的教學(xué)理念。

錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)過(guò)程中的正常部分，是學(xué)生參與課堂的重點(diǎn)部分。如果教師努力理解學(xué)生為何會(huì)犯錯(cuò)，就會(huì)更重視學(xué)生的思維，并找到使學(xué)生利用已有知識(shí)創(chuàng)造或接納新知識(shí)的方法。如果教師對(duì)錯(cuò)誤處理不當(dāng)，則可能會(huì)加劇錯(cuò)誤或?qū)е滦碌腻e(cuò)誤。錯(cuò)誤很少是教師教出來(lái)的，但所有學(xué)生，包括優(yōu)秀的學(xué)生，都會(huì)在某個(gè)時(shí)候出現(xiàn)錯(cuò)誤[4]。

3.對(duì)錯(cuò)誤的處理

善于處理學(xué)生錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)教師通常具備以下四個(gè)特征：有充足的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)，有豐富的教育學(xué)知識(shí)，有了解學(xué)生思維的興趣，以及愿意傾聽(tīng)學(xué)生對(duì)思維的解釋。一般教師會(huì)注意到學(xué)生的錯(cuò)誤，但缺乏對(duì)錯(cuò)誤來(lái)源的分析，只是要求學(xué)生重新學(xué)習(xí)（其中很多是學(xué)生已知的知識(shí)），有的教師能夠部分理解學(xué)生的思維方式，但不能激活學(xué)生需要的方法論，不能使他們完全理解進(jìn)而解決錯(cuò)誤。因此，只有同時(shí)具備以上四個(gè)特征的教師才能更適當(dāng)?shù)靥幚礤e(cuò)誤。此外，教師不能將錯(cuò)誤視為學(xué)習(xí)工具的原因還包括：擔(dān)心公開(kāi)指明錯(cuò)誤會(huì)使學(xué)生自尊心受挫，擔(dān)心錯(cuò)誤被強(qiáng)化、會(huì)“傳染”等。

處理錯(cuò)誤的形式有四種：識(shí)別、糾正、探究和包容。如果教師糾正錯(cuò)誤，則表明教師已經(jīng)識(shí)別并評(píng)估了錯(cuò)誤，但還未從學(xué)生的角度解釋錯(cuò)誤。探究錯(cuò)誤是教師引導(dǎo)學(xué)生理解錯(cuò)誤對(duì)學(xué)習(xí)的意義，幫助學(xué)生重構(gòu)推理，解釋自己的思維并證明自己觀點(diǎn)的合理性，獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的思維過(guò)程。包容錯(cuò)誤是教師建設(shè)性地使用錯(cuò)誤為犯錯(cuò)誤的學(xué)生和其他學(xué)生提供新知識(shí)的方法，將錯(cuò)誤用作認(rèn)知升級(jí)的工具，這也是包容策略與探究策略的不同之處。

二、對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的識(shí)別

在數(shù)學(xué)課堂上一般會(huì)發(fā)生四類(lèi)錯(cuò)誤：馬虎型錯(cuò)誤，由于誤解概念而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，與表達(dá)相關(guān)的錯(cuò)誤，以及因工具使用不正確而引起的錯(cuò)誤。

1.馬虎型錯(cuò)誤

如教師請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出36÷2的結(jié)果，學(xué)生回答“13”。顯然學(xué)生是將36看成了26。這種因?yàn)榇中拇笠舛鴮?dǎo)致的錯(cuò)誤為馬虎型錯(cuò)誤，通過(guò)檢查計(jì)算可以輕松糾正。

2.由于誤解概念而產(chǎn)生的錯(cuò)誤

學(xué)生解釋其計(jì)算過(guò)程為：將分子和分母分別相加。這表明學(xué)生將整數(shù)的加法過(guò)分概括成了分?jǐn)?shù)加法，也可能是把基于分?jǐn)?shù)的乘法遷移到了加法，即這種誤解是受到某些已有的正確知識(shí)干擾產(chǎn)生的。當(dāng)然，諸如分?jǐn)?shù)的乘法和除法之類(lèi)新知識(shí)的學(xué)習(xí)也可能會(huì)干擾先前已學(xué)會(huì)的加法[5]。這名學(xué)生的解答還有第二個(gè)錯(cuò)誤，即學(xué)生在將分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)化為小數(shù)時(shí)，用分母18除以分子12，可能是對(duì)相加、相乘的交換性質(zhì)存在過(guò)度遷移。再如，學(xué)生推理“由“ab，bc，得到ac”，就是將“a//b，b//c能得到a//c”這一正確知識(shí)的過(guò)度遷移。這類(lèi)錯(cuò)誤中存在對(duì)概念的誤解，需要深入分析，挖掘?qū)W生的思維。

3.與表述相關(guān)的錯(cuò)誤

如當(dāng)教師要求學(xué)生對(duì)“直線和平面”進(jìn)行直觀解釋時(shí)，可能會(huì)發(fā)生與表述有關(guān)的錯(cuò)誤。如學(xué)生無(wú)法說(shuō)清楚“無(wú)限延伸”和“無(wú)限延展”的區(qū)別，這些涉及不同的數(shù)學(xué)對(duì)象或過(guò)程。

如在立體幾何中，借用集合符號(hào)表示的“點(diǎn)A∈平面？琢”讀作“點(diǎn)A屬于平面？琢”。當(dāng)學(xué)生用符號(hào)表示“直線l屬于平面？琢”時(shí)，會(huì)寫(xiě)成“直線l∈平面？琢”，實(shí)際上正確的寫(xiě)法應(yīng)該是“直線l？奐平面？琢”，表述為“直線l包含于平面？琢”，因?yàn)樵诟咧辛Ⅲw幾何中，點(diǎn)A是元素，直線l、平面？琢是集合，元素與集合之間的關(guān)系用是否“屬于”表示，集合與集合之間的關(guān)系用是否“包含于”表示。又如寫(xiě)出方程組y=3xx2+y2=10的解集，正確表述應(yīng)該是兩組解x=1y=3或x=-1y=-3，如果學(xué)生寫(xiě)成x=±1y=±3，代表的則是四組解，這是錯(cuò)誤的。

以上可歸類(lèi)為與表述相關(guān)的錯(cuò)誤，不是由于馬虎和誤解，而是由于學(xué)生未完全理解有關(guān)概念導(dǎo)致的。

4.因工具使用不正確而引起的錯(cuò)誤

如學(xué)生在使用計(jì)算器計(jì)算“l(fā)n52”時(shí)，常常計(jì)算為“（ln5）2”，這是沒(méi)有考慮到計(jì)算器的計(jì)算順序。又如在計(jì)算“5+3×2”時(shí)，如果直接在計(jì)算器中按順序輸入算式，很容易被計(jì)算為“（5+3）×2”，違反了“先乘除，后加減”的運(yùn)算法則。這些錯(cuò)誤的產(chǎn)生都是因?yàn)閷W(xué)生在計(jì)算器中鍵入表達(dá)式時(shí)沒(méi)有考慮計(jì)算器的工作原理。這些錯(cuò)誤是概念性的，并可能會(huì)被重復(fù)。

有四位教師在一個(gè)學(xué)期內(nèi)有意識(shí)地對(duì)學(xué)生所犯的錯(cuò)誤進(jìn)行了觀察，在所記錄的共69個(gè)錯(cuò)誤中，有馬虎型錯(cuò)誤7個(gè)、誤解型錯(cuò)誤55個(gè)、表述錯(cuò)誤5個(gè)、工具使用不當(dāng)錯(cuò)誤2個(gè)?？梢?jiàn)，學(xué)生的大多數(shù)錯(cuò)誤是由誤解造成的，這表明大多數(shù)錯(cuò)誤答案可能源自對(duì)正確先驗(yàn)知識(shí)的過(guò)度遷移。誤解引起一系列錯(cuò)誤，從一個(gè)概念錯(cuò)誤會(huì)引發(fā)許多類(lèi)似性質(zhì)的錯(cuò)誤，這也是因誤解導(dǎo)致的錯(cuò)誤發(fā)生頻率明顯高于其他錯(cuò)誤的原因。

三、處理數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的方式

在識(shí)別錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上，教師對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的處理方式包括糾正、探究和包容。例如，教師讓學(xué)生按照1∶2∶3的比例分享12種糖果，請(qǐng)學(xué)生分別回答該比例中的1、2、3代表多少種糖果。教師問(wèn)：比例3代表幾種糖果？有的學(xué)生回答“3個(gè)”。教師于是讓其他學(xué)生幫助這名學(xué)生，有學(xué)生說(shuō)出了正確答案“6個(gè)”。在這個(gè)例子中，教師“糾正”了學(xué)生的錯(cuò)誤，肯定了正確答案。但教師并沒(méi)有幫助學(xué)生弄清楚為什么會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤，所以這種糾正錯(cuò)誤的方法是無(wú)效的[6]。不涉及造成錯(cuò)誤的概念基礎(chǔ)，只糾正答案并不能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的升級(jí)。

又如，教師提出問(wèn)題：如果n+m=11，請(qǐng)學(xué)生寫(xiě)出n+m+p的結(jié)果。以下是教師與學(xué)生的對(duì)話，其中涉及對(duì)錯(cuò)誤探究與包容的處理方式。

教師：如果n+m=11，n+m+p的結(jié)果是什么？

生A：可能是15.5。

教師：15.5，為什么？

生A：因?yàn)閚等于5.5，而m等于5.5，所以p又是5.5。

教師：對(duì)。你如何得到15.5？

學(xué)生：16.5（發(fā)現(xiàn)自己算錯(cuò)了）。

教師：為什么它們都是5.5？

生A：因?yàn)?.5加5.5等于11。

教師：對(duì)。但為什么只能是5.5，有什么依據(jù)嗎？（學(xué)生A不能回答，于是教師轉(zhuǎn)問(wèn)學(xué)生B）

生B：教師，我認(rèn)為它是18，因?yàn)閙加n等于11。所以m可以是5，n可以是6，p 可以是7，加起來(lái)是18。

教師：你為什么說(shuō)m可以是5，n可以是6？

生B：因?yàn)閙+n=11。

教師：m和n是什么？我們?nèi)绾畏Q(chēng)式子中的m和n？

生B：變量。

教師：它們是？

生B：變量，未知數(shù)字。

教師：對(duì)。那什么是變量？（學(xué)生B答不出，教師又問(wèn)學(xué)生C）

生C：代表數(shù)字的字母。

教師：那是字母表中代表數(shù)字的字母。不錯(cuò)，所以有同學(xué)說(shuō)m用5表示時(shí)，n就可以用6表示。兩者相加時(shí)，可能是m為2，n 為9;如果m為7，n 會(huì)是什么？

生D：4。

教師：好。m和n是變量，它們代表數(shù)字。因此，它們可以是任何數(shù)字?，F(xiàn)在為什么有人說(shuō)p為7？這是從哪里得到的？我們剛剛說(shuō)過(guò)m和n是變量，p也是。當(dāng)變量值不確定的時(shí)候，我們可以怎么做？

生E：答案是11+p。

教師：對(duì)，答案是11+p。

在與學(xué)生A的對(duì)話中，教師用問(wèn)題使學(xué)生思考其如何得到15.5的答案，為什么每個(gè)字母都是5.5，題目中是否有條件信息支持這種解決問(wèn)題的方式。教師通過(guò)錯(cuò)誤答案與學(xué)生互動(dòng)，以探究學(xué)生的推理并支持其反思自己的推理過(guò)程，從而對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤作出回應(yīng)。在與學(xué)生B的對(duì)話中，教師使用了相同的方法。在這兩種情況下，學(xué)生的推理顯然都是有意義的，但他們?yōu)樽兞窟M(jìn)行了不必要的分配值，于是教師使用提問(wèn)策略與學(xué)生共同探究了錯(cuò)誤。到了與學(xué)生C和D的對(duì)話部分，學(xué)生答出了變量的定義，教師開(kāi)始對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整理，使用“變量代表數(shù)字”的定義，在保證和為11的條件下，用不同數(shù)值替代m和n，以表明變量不代表唯一的數(shù)字。最后，學(xué)生E在之前引導(dǎo)的基礎(chǔ)上，給出了正確答案。在整個(gè)過(guò)程中，教師都沒(méi)有對(duì)學(xué)生說(shuō)他們錯(cuò)了，而是用問(wèn)題來(lái)支持和引導(dǎo)學(xué)生理解變量和可以代表總數(shù)為11的任意兩個(gè)數(shù)字，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)可以用11代表m+n，由此m+n+p可以寫(xiě)成11+p。

以上，教師不僅包容錯(cuò)誤，而且將其用于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知升級(jí)，使學(xué)生了解到代數(shù)式中的變量可以有一組有限的值，也可以代表無(wú)窮多數(shù)字，進(jìn)一步支持學(xué)生發(fā)展對(duì)方程式和表達(dá)式中變量的概念性理解。教師處理錯(cuò)誤的方式使學(xué)生意識(shí)到他們所犯的錯(cuò)誤是“合理”的，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的一部分。這一過(guò)程指出了如何將錯(cuò)誤“作為與學(xué)生的思想接觸和對(duì)話的點(diǎn)，引發(fā)關(guān)于數(shù)學(xué)思想的討論”[7]，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的豐富和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

以探究錯(cuò)誤并包容錯(cuò)誤的方式轉(zhuǎn)變錯(cuò)誤很耗時(shí)，但卻可以真正促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。從教師處理錯(cuò)誤的記錄中發(fā)現(xiàn)，與探究錯(cuò)誤和包容錯(cuò)誤的數(shù)量相比，教師更多地采取了糾正錯(cuò)誤的方式，反映出大多數(shù)教師處理錯(cuò)誤的常態(tài)。

總之，教師需要基于專(zhuān)業(yè)知識(shí)和學(xué)情建設(shè)性地處理學(xué)生的錯(cuò)誤，要在課堂上識(shí)別不同的錯(cuò)誤類(lèi)型，從而恰當(dāng)?shù)夭扇〖m正、探究或包容錯(cuò)誤的方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更豐富的理解，不斷發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

參考文獻(xiàn)

[1]周懷友.錯(cuò)題集的價(jià)值探討[J].基礎(chǔ)教育參考，2011（20）：58-59.

[2]王彥力.中小學(xué)教育中批評(píng)教育的藝術(shù)[J].基礎(chǔ)教育參考，2007（9）：59-61.

[3]付海倫.數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)中的心理性錯(cuò)誤分析[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1996（12）： 1-2，51.

[4]劉發(fā)昌.捕捉介入時(shí)機(jī) 提升課堂效益——淺談“先學(xué)后教”模式下的概念教學(xué)[J].基礎(chǔ)教育參考，2017（23）：50-52.

[5]曾春燕，姚靜.反例作用的實(shí)驗(yàn)研究——以高一數(shù)學(xué)教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（1）：77-81.

[6]華應(yīng)龍.融錯(cuò)課堂 求真育人——我的數(shù)學(xué)教學(xué)思想與實(shí)踐探索[J].基礎(chǔ)教育參考，2013（1）：71-75.

[7]李娜，莫雅慈，吳立寶.初中數(shù)學(xué)課堂中教師對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤反饋的類(lèi)型研究——基于24節(jié)錄像課的分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（5）：55-60.

（責(zé)任編輯 ? 郭向和）